張希銘，曲仕茹，馬志強(qiáng)

(西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，陜西西安710072)

0 引言

四旋翼飛行器系統(tǒng)具有欠驅(qū)動(dòng)、高階次、強(qiáng)耦合和非線性等特點(diǎn)。與傳統(tǒng)的直升機(jī)相比，四旋翼直升機(jī)具有4個(gè)固定傾斜角的螺旋槳，從而使其結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)特性得到了簡(jiǎn)化。又因其機(jī)體本身易小型化、具備實(shí)驗(yàn)平臺(tái)特性和起飛場(chǎng)地要求低等特點(diǎn)，受到了各界的廣泛關(guān)注。目前來自澳洲臥龍崗大學(xué)的Mckerrow對(duì)四旋翼飛行器完成了動(dòng)力學(xué)建模［1］。有多個(gè)研究機(jī)構(gòu)將其作為復(fù)雜受控對(duì)象設(shè)計(jì)了DI控制器、反步法控制器［2］、LQ 增穩(wěn)控制器［3］和欠驅(qū)動(dòng)滑?？刂破鳎?-5］。

上述控制器對(duì)具有完備數(shù)學(xué)模型的飛行器系統(tǒng)具有較好的穩(wěn)定控制效果，其不足在于算法移植對(duì)于飛行器系統(tǒng)參數(shù)依賴性強(qiáng)。DI控制是基于系統(tǒng)模型對(duì)消的基礎(chǔ)上的，其魯棒性不強(qiáng)，在陣風(fēng)干擾和模型參數(shù)攝動(dòng)時(shí)控制效果不理想，而傳統(tǒng)的PID和LQ控制方法忽略了模型中的非線性因素，模型精度較差，影響了控制效果。本文提出一種不依賴精確數(shù)學(xué)模型的模糊滑?？刂疲撍惴ú恍枰陚涞哪Ｐ蛥?shù)，能夠?qū)崿F(xiàn)四旋翼飛行器的姿態(tài)控制和位置控制，并且具備一定的抗干擾能力。

1 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

本系統(tǒng)中的坐標(biāo)系選擇為北、東、地方向，如圖1所示。機(jī)體系的原點(diǎn)與飛行器的質(zhì)心重合，一般認(rèn)為旋翼揮舞時(shí)質(zhì)量可以忽略不計(jì)，所以飛行器中心即為機(jī)體系原點(diǎn)。

圖1 四旋翼飛行原理Fig.1 Flying principles of quadrotor

為簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型，設(shè)槳葉揮舞產(chǎn)生的升力面和重心位于同一個(gè)平面上，即忽略飛行器的厚度。所得數(shù)學(xué)模型為:

式中:m和J分別為系統(tǒng)的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣，J為正定矩陣，其俯仰和滾轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等;V為機(jī)體的速度;δ3= [0 0 1]T為地向軸的單位向量;g為重力加速度;n=Rδ3(R為機(jī)體坐標(biāo)系-地坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣);T和τ分別為作用在機(jī)體上的升力和力矩;η=［φ θ ψ］T為飛行器機(jī)體的歐拉角;ω為機(jī)體坐標(biāo)系下的角速度。

式中:cφ，cθ，cψ，sφ，sθ，sψ分別表示 cos φ，cos θ，cos ψ，sin φ，sin θ，sin ψ。

假設(shè)電機(jī)無時(shí)滯，容易得控制量T和τ與電機(jī)轉(zhuǎn)速ωi之間的關(guān)系如下:

式中:CT和CQ分別為旋翼的拉力和扭矩系數(shù);ρ為空氣密度;A=πr2為槳葉揮舞面積;r為槳葉揮舞半徑;d為電機(jī)到飛行器質(zhì)心的距離。

根據(jù)四旋翼的工作原理，系統(tǒng)俯仰、滾轉(zhuǎn)方向的運(yùn)動(dòng)需要調(diào)節(jié)每一組對(duì)應(yīng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速差，偏航方向的運(yùn)動(dòng)需要調(diào)節(jié)兩組電機(jī)的轉(zhuǎn)速差，飛行器的升降通過同時(shí)增加、減少4個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)速實(shí)現(xiàn)下降的運(yùn)動(dòng)。定義控制變量:ωT，ΔωT，Δωφ，Δωθ，Δωψ分別為使飛行器懸停時(shí)的基本轉(zhuǎn)速、垂直方向運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)速以及滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)速差。

根據(jù)控制量的定義，可以獲得電機(jī)的轉(zhuǎn)速控制量與其對(duì)應(yīng)拉力之間的關(guān)系為:

飛行器在懸停時(shí)，槳葉揮舞產(chǎn)生的拉力和機(jī)體重力平衡，有如下關(guān)系:

在懸停狀態(tài)下，ΔωT，Δωφ，ΔωθΔωψ為極小值，因此有:

將動(dòng)力學(xué)模型展開，獲得如下的動(dòng)力學(xué)方程:

根據(jù)式(4)可得:

且 sin θ≈θ，sin φ≈φ，cosθ≈cosφ≈1，簡(jiǎn)化后為:

由于四旋翼欠驅(qū)動(dòng)、高階次、強(qiáng)耦合和非線性的特性，針對(duì)其使用滑?？刂菩枰O(shè)計(jì)欠驅(qū)動(dòng)部分廣義滑動(dòng)模及欠驅(qū)動(dòng)部分的高度耦合使得設(shè)計(jì)的控制器十分依賴模型的問題，為了在工程領(lǐng)域中更加實(shí)用，本設(shè)計(jì)將系統(tǒng)的內(nèi)環(huán)和外環(huán)控制分離，并分別為其設(shè)計(jì)模糊滑模控制器。系統(tǒng)內(nèi)外環(huán)分離框圖如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)內(nèi)外環(huán)分離框圖Fig.2 Separation of the inner and outer systems

內(nèi)外環(huán)分離的優(yōu)勢(shì)在于系統(tǒng)利用內(nèi)環(huán)控制飛行器的姿態(tài)和高度。在這4個(gè)通道情況下，系統(tǒng)為全驅(qū)動(dòng)的，可為其直接設(shè)計(jì)模糊滑?？刂破鳎摽刂破餍枰?zd，θd，φd，ψd的指令信息，其中 θd，φd可以結(jié)合飛行器基本模型和xd，yd指令獲得，即在xd，yd確定的情況下，根據(jù)基本模型解算內(nèi)環(huán)穩(wěn)定的具體θd，φd。通過內(nèi)環(huán)俯仰和滾轉(zhuǎn)角度的改變，間接使得整個(gè)系統(tǒng)到達(dá)最終穩(wěn)定狀態(tài)。通過調(diào)整內(nèi)環(huán)姿態(tài)，可以將飛行器調(diào)整到任意位置及姿態(tài)，一般認(rèn)為內(nèi)環(huán)調(diào)整時(shí)，穩(wěn)定ψ=0，容易獲得:

根據(jù)式(11)可得:

進(jìn)而獲得內(nèi)環(huán)切換姿態(tài)的θd，φd，具體如下:

結(jié)合式(13)，可以獲得用于設(shè)計(jì)模糊滑模的xd，yd，zd，θd，φd，ψd全部數(shù)據(jù)組成的指令信號(hào)。

2 模糊滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

在模糊滑模控制中，控制目標(biāo)從跟蹤誤差轉(zhuǎn)化為滑模函數(shù)，模糊控制器的輸入不是而是(s，，通過設(shè)計(jì)模糊規(guī)則，使滑模面s為零。模糊滑模控制［6］的優(yōu)點(diǎn)在于其柔化了控制信號(hào)，可以避免一般滑?？刂频亩墩瘳F(xiàn)象。

為了克服參數(shù)不確定性及外干擾的影響，滿足滑模運(yùn)動(dòng)存在的條件，并且削弱滑?？刂频亩墩癯潭龋衫媚：刂埔?guī)則［7］調(diào)整控制量u的大小，確保條件成立。

設(shè)離散系統(tǒng)采樣時(shí)間為T，則:

滑動(dòng)模函數(shù)為:

以θ通道為例說明滑動(dòng)模函數(shù)的設(shè)計(jì)過程。根據(jù)式(14)求取組成滑動(dòng)模的主要元素。

式中:θd根據(jù)外環(huán)航向信息解算獲得為當(dāng)前系統(tǒng)的姿態(tài)信息。為了保證系統(tǒng)最終穩(wěn)定懸停般取為0。從而θ通道的滑動(dòng)模設(shè)計(jì)為:

式中:cθ取為 4.7。

至此，θ通道滑動(dòng)模設(shè)計(jì)完成，其他通道的滑動(dòng)模設(shè)計(jì)與此類似。4個(gè)通道滑動(dòng)模設(shè)計(jì)完畢后，可以確定模糊規(guī)則。本系統(tǒng)采用二維模糊控制器，通過模糊控制規(guī)律直接設(shè)計(jì)模糊控制量u。設(shè)模糊控制器的輸入為s和s˙，它們分別是s(k)和d s(k)的模糊化變量，模糊控制器的輸出ΔU是控制的變化量Δu的模糊化變量。定義如下的模糊集:

表1 模糊規(guī)則Table 1 Fuzzy rules

3 仿真結(jié)果及分析

在Matlab/Simulink中對(duì)本文設(shè)計(jì)的算法進(jìn)行仿真，本算法不依賴數(shù)學(xué)模型具體物理參數(shù)，僅在結(jié)算姿態(tài)信息時(shí)需要機(jī)體質(zhì)量參數(shù)和重力加速度信息，本設(shè)計(jì)中使用的機(jī)體質(zhì)量為0.8 kg。假設(shè)飛行器起始位置為［0，0，0］m，期望位置為［1，1，1］m，起始和期望姿態(tài)都為定點(diǎn)懸停，即初始姿態(tài)為［0，0，0］rad，期望姿態(tài)為［0，0，0］rad。

圖3和圖4分別為姿態(tài)控制和位置控制效果。由圖可以發(fā)現(xiàn)，獨(dú)立通道z，ψ從初始狀態(tài)到達(dá)期望狀態(tài)時(shí)間更短，其他通道由于存在耦合及解算誤差，上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間都略長(zhǎng)。姿態(tài)調(diào)整過程比較平穩(wěn)，保證了飛行器在小角度范圍(［－0.1，0.1］rad)內(nèi)進(jìn)行姿態(tài)改變，符合簡(jiǎn)化模型的假設(shè)條件。

圖3 飛行器位置控制效果Fig.3 Aircraft position control effect

圖4 飛行器姿態(tài)控制效果Fig.4 Aircraft attitude control effect

仿真結(jié)果表明，本文設(shè)計(jì)的控制器能夠在4 s內(nèi)將飛行器調(diào)節(jié)至期望的位置和姿態(tài)，實(shí)現(xiàn)定點(diǎn)懸停，具有很好的控制效果。通過上述分析可知，利用內(nèi)外環(huán)分離設(shè)計(jì)的模糊滑?？刂破麽槍?duì)四旋翼飛行器具有很好的控制效果，能夠執(zhí)行從起始位置到達(dá)任意位置的任務(wù)。

下面一組試驗(yàn)主要驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的控制器抗周期性擾動(dòng)的性能。為了說明問題，使用內(nèi)外環(huán)PID控制器作為對(duì)比。假設(shè)飛行器在控制過程中各個(gè)通道均受到周期性擾動(dòng)，擾動(dòng)量設(shè)計(jì)為:

將式(20)中的擾動(dòng)量線性疊加到各個(gè)通道，在不改變?cè)刂破鲄?shù)的情況下進(jìn)行驗(yàn)證。

圖5為周期性干擾下PID控制器的控制效果。由圖5可知，增加了擾動(dòng)的控制器在位置穩(wěn)定控制上受到一定影響，穩(wěn)定狀態(tài)下存在周期性誤差。圖6為本文設(shè)計(jì)的控制器(FSMC)在受到周期性擾動(dòng)下的位置控制效果。由圖6可知，由于滑模控制中切換控制量的作用，周期性擾動(dòng)誤差受到了一定程度的抵消，提高了控制精度。

圖5 周期干擾PID算法位置控制效果Fig.5 Control effect of PID with periodic interference

圖6 周期干擾FSMC位置控制效果Fig.6 Control effect of FSMC with periodic interference

表2列出了兩類控制器的性能指標(biāo)。從這些指標(biāo)中可以看出，PID控制器具有很快的上升時(shí)間，相應(yīng)犧牲了超調(diào)性能，由于積分作用明顯，z軸向的超調(diào)特別明顯;在穩(wěn)態(tài)性能和調(diào)節(jié)時(shí)間方面，兩類控制器效果基本一致，能夠?qū)崿F(xiàn)姿態(tài)和航向的穩(wěn)定。通過仿真可以發(fā)現(xiàn)，在受到位置擾動(dòng)時(shí)，本文設(shè)計(jì)的控制器與內(nèi)外環(huán)PID控制器相比，具有較強(qiáng)的抗干擾能力。

表2 控制器性能Table 2 Controller Performance

4 結(jié)束語

本文針對(duì)四旋翼飛行器的欠驅(qū)動(dòng)及級(jí)聯(lián)特性，分析了飛行器數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行了簡(jiǎn)化，通過設(shè)計(jì)內(nèi)環(huán)及外環(huán)控制間接解決欠驅(qū)動(dòng)對(duì)控制的影響，設(shè)計(jì)了四旋翼飛行器具體的模糊滑?？刂破?。仿真結(jié)果表明，通過內(nèi)外環(huán)分離設(shè)計(jì)和簡(jiǎn)化模型的內(nèi)外環(huán)解算關(guān)系分析，所設(shè)計(jì)的模糊滑?？刂破髂軌?qū)崿F(xiàn)飛行器的姿態(tài)控制和位置控制，當(dāng)系統(tǒng)受到未知干擾時(shí)，與傳統(tǒng)PID控制器相比，本文設(shè)計(jì)的控制器能夠削弱未知干擾帶來的控制誤差影響，增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。

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