張恩賓 劉紅敏

摘 要 本文主要研究了一類耦合超混沌系統(tǒng)的同步控制問題，基于實際應用背景給出了一種可行的同步控制定義，在此定義下分別對兩個典型耦合超混沌系統(tǒng)的同步控制進行了研究，利用全局Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性理論分析方法，分別給出了針對不同耦合方式的耦合超混沌系統(tǒng)的同步控制方法，并且這種方法對所有初值都是成立的。

關鍵詞 超混沌系統(tǒng) 同步控制 Lyapunov函數(shù)

中圖分類號：O415.5文獻標識碼：A

Synchronization of Some Coupled Hyperchaotic Systems

ZHANG Enbin， LIU Hongmin

（Information Engineering Department， He'nan College of Finance & Taxation， Zhengzhou， He'nan 451464）

Abstract This paper studies mainly of synchronization of some coupled hyperchaotic systems， Base on the application of communications， we has been a new viable definition of synchronization. Following this definition， we have been studied on two well-known hyperchaotic systems， and a new result on the systems synchronized for all initial conditions has been given， which has been proved using the Lyapunov function method.

Key words Hyperchaotic systems; synchronization; Lyapunov function

0 引言

近年來，混沌系統(tǒng)的同步控制及其在保密通信中的應用研究得到了廣泛的關注，混沌同步技術更是其中的關鍵問題（[1][2][3]）。對混沌同步控制的研究有以下主要結論：

定理1[3] 給定兩個混沌系統(tǒng)

= ?（） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

= ?（） + （） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

其中，（）為一對角陣，系統(tǒng)（1）稱為驅動系統(tǒng)，系統(tǒng)（2）稱為受迫系統(tǒng)。若||（0）（0）||充分小，則存在一個有限值（ = 1，2，…，）對 = （，，…，）有≥使得系統(tǒng)（1）和（2）是同步的（證明參見[3]）。

這種方法主要通過計算Lyapunov指數(shù)來整定反饋系數(shù)矩陣，這就存在幾個問題。首先，在計算Lyapunov指數(shù)時計算量大且右端項 （）必須可微;其次，必須保證初值相差很小。這些都為實際應用帶來了很多不便，特別是對高維超混沌系統(tǒng)就不太適用了。

由于高維超混沌系統(tǒng)能產生更復雜的動態(tài)特性，因此成為了研究的重點，在文獻[4][5]基礎上，通過分析兩類典型的耦合混沌系統(tǒng)的同步控制，給出了基于Lyapunov函數(shù)的一種中給出了一種基于觀測器的方法，給出了對任意初值的同步控制方法，本文在文獻[5]的基同步控制方法，并且這種方法對任意初值都是有效的。

1 耦合超混沌同步控制

本文基于保密通信的實際應用背景，結合文獻中已有的方法，給出了一種可行的混沌同步定義，下文主要基于此定義進行討論：

定義1 設有下面兩個系統(tǒng)：

= ?（） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

= ?（） + （） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

其中， （，）是與 （）有關的適當反饋項，記（） = （）（）為誤差系統(tǒng)，若||（）|| = 0，我們就稱系統(tǒng)（1）、（2）是同步的。

1.1 線性耦合超混沌系統(tǒng)的同步控制

我們考慮Chua系統(tǒng)[6]：

（5）

其中 （） = 3（）1.6（∣∣∣+1∣）為一分段線性函數(shù)。

在定義1中?。ǎ?= （），其中 = （，，，）， = [，，，]， = [，，，]，可得系統(tǒng)（5）的受迫系統(tǒng)為：

（6）

設 = ， = ， = ， = 。則得誤差方程：

（7）

取Lyapunov函數(shù)為（） = ?+ ?+ ?+ ，顯然對于任意的≠0都有（）>0，考慮：

（） = · + · + 2· + · ? ? ? ? ? ?（8）

由（7）得：（） = 2（）[ （） （）]2（） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）

我們的目的是使（）<0，下面考慮 （） （）的估計。

為了方便不妨記 = 、 = ?，我們分別在區(qū)間（，]，（]，（1，）上簡單計算可得：

≤（（）（））（）≤

又 = 則

（（）（））≤

代入（9）得

（）≤2（）

（10）

因為總是非正的，故我們取>0，>0，>0，>0則（）<0也即是說誤差方程（7）是在Lyapunov意義下是漸近穩(wěn)定的，所以系統(tǒng)（5）、（6）當反饋矩陣滿足上述條件時是同步的，且對任意初值成立。又由（10）我們可以看 = 0， = 0，>0， = 0時，同樣可以得到混沌系統(tǒng)的同步控制，即可以用一個非零元素來控制，這在應用中有實際意義。

圖1 Chua系統(tǒng)同步誤差（ = 0， = 0， = 0， = 0）

1.2 非線性耦合超混沌系統(tǒng)同步控制

本節(jié)我們考慮系統(tǒng)[7]：

（11）

由于該系統(tǒng)含有非線性耦合項，因此不能直接采用上節(jié)的控制方法。我們對此設置觀測項，取 = ?+ （），其中 = （，）， = [，，，]， = [，，，]，給出定義1中的受迫系統(tǒng)形式為：

（12）

下面我們對進行整定，使系統(tǒng)（12）是對系統(tǒng)（11）的全局觀測，即實現(xiàn)系統(tǒng)同步。

記 = 得誤差系統(tǒng)方程：

（13）

構造Lyapunov函數(shù)為（） = ?+ ?+ ?+ ，≠0有（）>0，考慮（） = ?+ ?+ ?+ 代入（13）得

（） = （）（）（）（）0.5（ + ）0.50.25

（14）

因為0.5（ + ），0.5，0.25都是非正項，故我們取>0.5，>0.75，>0.75，>0.8則有（）<0，即當上述條件滿足時誤差方程（13）漸近穩(wěn)定，所以此時系統(tǒng)（11）和（12）是同步的，并且對任意初值成立。

圖2 系統(tǒng)同步誤差仿真結果（ = 1， = 2， = 2， = 2.5）

2 結束語

上述方法主要針對不同的耦合形式，構造不同的同步系統(tǒng)，使得以誤差方程為線性系統(tǒng)，通過構造相應的Lyapunov函數(shù)，利用穩(wěn)定性判別方法，理論分析證明了其（下轉第244頁）（上接第206頁）有效性，并且可以得到同步控制參數(shù)的估計，從而實現(xiàn)混沌系統(tǒng)的同步控制，并且在實際應用中也是可行的，從計算機模擬結果可以看出本文的方法是有效的。另外，這種方法可以類似的推廣到一般的耦合超混沌系統(tǒng)。

參考文獻

[1] T. L. Carroll and L. M. Pecora， “Synchronization chaotic circuits，” IEEE Trans. Circuit Systems， vol 38，pp. 456. Apr. 1991.

[2] L. kocarev， K. S. Halle， K. Eckert， L. O. Chua. Experimental demonstration of secure communication via chaotic synchronization[J].Int. J. Bifurc. Chaos，1992.2（3）：709-713.

[3] L. Kocarev， A. Shang， and L. O. Chua， “Transtitions in dynamical regimes by driving： a unified method of control and synchronization of chaos，” Int.J.Bifurc.Chaos，1993：479-483.

[4] O. Morgul and E. Solak， “Observer based synchronization of chaotic systems，” Phys. Rev. E， vol. 54， no. 5， pp. 4803～4811，1996.

[5] Giuseppe Grassi and Saverio Mascolo， “Nonlinear Observer Design to Synchronize Hyperchaotic Systems via a Scalar Signal，” IEEE Trans. Circuits Systems， vol. 44， NO. 10， Oct. 1997：1011～1014.

[6] T. Matsumoto， L. O. Chua， and K. Kobayashi， “Hyperchaos： Laboratory experiment and numerical confirmation，” IEEE Trans. Circuits Systems， vol. CAS-38， no. 11， pp. 1143-1147， Nov. 1986.

[7] O. E. R？ssler， “An equation for hyperchaos，” Phs. Lett.， vol. 71A， no. 2-3， pp. 155-157，1979.