陳 維

(天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)，中國 天津300222)

0 前言

在試驗(yàn)法研究調(diào)查中，我們常常采取最傳統(tǒng)的方法，分為試驗(yàn)組和對(duì)照組兩組進(jìn)行研究。然而，在實(shí)際生活中由于研究問題的復(fù)雜性，往往需要研究多于兩組的研究對(duì)象之間的差異，其中多組數(shù)據(jù)位置的比較就是最基本的問題，我們正是通過方差分析來解決這一問題。在參數(shù)統(tǒng)計(jì)中，常常需要數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布假定[1-3]，但是，當(dāng)先驗(yàn)信息不滿足或者不足以支持正態(tài)分布時(shí)，就要采取非參數(shù)方法解決。

1 方差分析法的說明

根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的不同，我們采取不同的方差分析方法

1.1 完全隨機(jī)設(shè)計(jì)

當(dāng)影響因素只有一個(gè)時(shí)，如例1，分析這樣的數(shù)據(jù)的方法就叫做單因素方差分析，這是最簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。

例1：對(duì)三個(gè)工廠生產(chǎn)的燈泡進(jìn)行壽命測(cè)試，每品牌隨機(jī)試驗(yàn)，結(jié)果得如下數(shù)據(jù)（單位：天）

表1

完全隨機(jī)設(shè)計(jì)必須具備的兩個(gè)條件：

（1）試驗(yàn)材料（材質(zhì)，地質(zhì)，動(dòng)植物）是同質(zhì)

（2）每種處理（溫度，照明）要隨機(jī)安排試驗(yàn)材料

假設(shè)檢驗(yàn)H0∶μ1=μ2=μ3H1∶?i，j，i≠j，i，j=1，2，3，μi≠μj（至少有一種處理的均值不等）

1.2 完全隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)

假設(shè)需要對(duì)A,B,C三種處理的車（在這里三種處理就相當(dāng)于三種品牌，車包括自行車，摩托車和汽車）油耗設(shè)計(jì)比較試驗(yàn)，每種處理方法重復(fù)觀測(cè)5次。也就是說，將15輛車分為五組，每組三輛，分別接受三種不同的處理，共生成3×5=15份報(bào)告，供三種處理方法進(jìn)行比較。而實(shí)際中，我們知道，由于每輛車自身的不同，油耗的差異可能比較大，若剛好油耗少的分配到較好的處理方法，而油耗大的分配到較差的處理方法，結(jié)果可能測(cè)不到哪種處理方法更好。這是由于在該實(shí)驗(yàn)中，不同的車自身構(gòu)成除了處理之外的另一個(gè)因素，稱為區(qū)組。如果只取汽車，這就是完全隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)，如例2，其中汽車為區(qū)組。

例2：下表是世界三大汽車公司的五種不同的車型某年產(chǎn)品的油耗

表2

完全區(qū)組的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的需具備的條件：

（1）試驗(yàn)材料不同應(yīng)根據(jù)需要分成幾組，幾個(gè)性質(zhì)相近的實(shí)驗(yàn)單位為一區(qū)組，從而減小區(qū)組內(nèi)個(gè)體差異，增大區(qū)組間差異。

（2）每個(gè)區(qū)組內(nèi)的試驗(yàn)個(gè)體隨機(jī)的全部參加各種處理。

（3）每個(gè)區(qū)組內(nèi)的試驗(yàn)數(shù)等于處理數(shù)。

假設(shè)檢驗(yàn)H0∶μ1=μ2=μ3H1∶μi≠ μj，?i，j

1.3 均衡的不完全區(qū)組設(shè)計(jì)

因?yàn)椴荒鼙ＷC每個(gè)區(qū)組都有對(duì)應(yīng)的樣本出現(xiàn)，這就產(chǎn)生了不完全區(qū)組設(shè)計(jì)。如處理組很大，但同一組的樣本數(shù)又不允許太大，在一個(gè)區(qū)組中可能不能完全包含所有的處理，則只能在一個(gè)區(qū)組內(nèi)安排部分處理，也就是說不是所有區(qū)組的處理都被用于各組的試驗(yàn)中[4]，稱這種區(qū)組設(shè)計(jì)為不完全區(qū)組設(shè)計(jì)，其中最常用的就是均衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)。

均衡區(qū)組設(shè)計(jì)，記為BIB（k，b，r，t，λ），需具備以下條件：

（1）在同一區(qū)組中每個(gè)處理最多出現(xiàn)一次。

（2）每個(gè)區(qū)組的樣本數(shù)為t，t小于處理個(gè)數(shù)k。

（3）每個(gè)處理出現(xiàn)在同樣多的r個(gè)區(qū)組中。即：b≥r或kffgt;t

（4）在同一區(qū)組中，每?jī)蓚€(gè)區(qū)組相遇次數(shù)一樣（λ次）。

即：（1）kr=bt

（2）λ(k-1)=r(t-1) （1.1）

（3）b≥r或kffgt;t

特別的：t=k,r=b,則為完全隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)

2 方差分析的檢驗(yàn)方法

2.1 Cochran檢驗(yàn)

對(duì)于一個(gè)完全區(qū)組設(shè)計(jì)，如果觀測(cè)值只有“是”或“否”，“同意”或“不同意”，“1”或“0”等等，這些二元定性數(shù)據(jù)。因?yàn)橹貜?fù)的數(shù)據(jù)太多，秩方法受到了限制，這就要使用Q檢驗(yàn)法，來分析多數(shù)據(jù)之間的差異是否存在。

假設(shè)有k個(gè)處理和m個(gè)區(qū)組，樣本為計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)，如表3。

假設(shè)檢驗(yàn)

H0：k個(gè)總體分布相同（或各處理發(fā)生概率相等）

H1：k個(gè)總體分布不相同（或各處理發(fā)生概率不相等）

表3

分析：

n.j為第j個(gè)處理中1的個(gè)數(shù)，即之間的差異可以顯示出各個(gè)處理之間的差異。ni.為每一個(gè)區(qū)組中1的個(gè)數(shù)表示每格成功概率。

H0成立時(shí)，每一區(qū)組i內(nèi)的成功概率Pi，j相等，對(duì)?j=1,2,…,k,?I,Pi1=Pi2=…=Pik=Pi.,nij服從兩點(diǎn)分布b(1,Pi.)。

一般n.j之間并非相互獨(dú)立，但是當(dāng)n.j足夠大時(shí)，認(rèn)為n.j近似獨(dú)立，得到自由度為v=k-1的近似χ2分布，即Cochran值為

結(jié)論：當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值Q＜χ2

0.05，k-1，不能拒絕H0，反之接受H1。

2.2 Durbin不完全區(qū)組分析法

由前面提到，數(shù)據(jù)組很大，但是區(qū)組允許的樣本量有限，一個(gè)區(qū)組中很難包含所有處理。較常見的就是BIB設(shè)計(jì)，這里我們介紹一種秩檢驗(yàn)，能夠應(yīng)用于均衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)。

分析：

Xij表示第j個(gè)處理第i個(gè)區(qū)組中的觀測(cè)值，Rij為第i個(gè)區(qū)組中第j個(gè)處理的秩，Ri.=Rij，i=1,2,…,b。

H0成立時(shí),k個(gè)處理的秩和非常接近，反之，當(dāng)某處理效應(yīng)大時(shí)，秩和與總體平均之間的差異也較大，于是統(tǒng)計(jì)量為

結(jié)論：對(duì)于顯著性水平α，如果D很大，比如大于或等于D1-α，D1-α為最小滿足PH0(D≥D1-α)=α的值，就可以拒絕零假設(shè)。在零假設(shè)下，對(duì)于固定的k和t，當(dāng)r→∞時(shí)，D→χ2(k-1)。

3 實(shí)際應(yīng)用

試驗(yàn)一：現(xiàn)有A,B,C,D四種殺蟲劑，在南方四個(gè)地區(qū)試用，由于試驗(yàn)用蚊子不足，故每種藥劑只能使用于三個(gè)地方，每一次試驗(yàn)使用400只蚊子，其死亡數(shù)如下。如何檢驗(yàn)四種藥劑的藥效是否不同？

表4

分析數(shù)據(jù)：得到下表，括號(hào)內(nèi)的數(shù)，為各組內(nèi)按4種處理觀測(cè)值大小。

表5

假設(shè)檢驗(yàn)問題為

H0：四種藥劑的藥效相同

H1：四種藥劑的藥效不同

統(tǒng)計(jì)分析：

t=3,k=4,r=3,自由度v=4-1=3，由（1.1）可知此設(shè)計(jì)為不完全區(qū)組設(shè)計(jì)。要采用Durbin不完全區(qū)組分析法，由（2.2）則：

結(jié)論：實(shí)際測(cè)得D=6.75＜χ20.05，3=7.82，不能拒絕H0，沒有明顯的跡象表明四種藥劑藥效之間存在差異。

實(shí)驗(yàn)二：為了考察其中三種殺蟲劑的殺蟲能力，又設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)[5]，選取12位使用者，對(duì)產(chǎn)品投票，若使用者認(rèn)為滿意，則給1分，否則給0分，所得結(jié)果如下，分析三種產(chǎn)品效果是否相同。

表6

分析數(shù)據(jù)，得到下表，分別求出每一區(qū)組，和每種處理的得分和

表7

假設(shè)檢驗(yàn)問題為

H0：三種產(chǎn)品滿意程度相同

H1：三種產(chǎn)品滿意程度不同

統(tǒng)計(jì)分析：

由于各使用者每人殺蟲的手法和使用習(xí)慣的不同，對(duì)藥劑的殺蟲效果也有差異，故應(yīng)以使用者為區(qū)組，由（2.1），則

結(jié)論：實(shí)際測(cè)得Q=8.2222＞χ20.05，2=5.991，接受H1，表明三種殺蟲劑滿意程度不同，即表明三種藥劑殺蟲效果不同，C比較受歡迎。

實(shí)際上，我們也可以計(jì)算一下三種藥劑的概率點(diǎn)估計(jì)

由計(jì)算可得p^.,1=0.12，p^.,2=0.35，p^.,3=0.53也支持了這一結(jié)論。

通過以上兩種試驗(yàn)設(shè)計(jì)，第一組試驗(yàn)并沒有表明四種藥劑的藥效區(qū)別，依然無法決策。而第二組試驗(yàn)，則分析出了其中三種之中C產(chǎn)品的滿意度最好，即藥效最好，這就方便了我們做決策。同樣的道理，我們還可以分別將三種藥劑進(jìn)行試驗(yàn)，最終得到四種藥劑中效果最好的產(chǎn)品。

［1］Rice J.Mathematical Statistics and Date Analysis[M].3rd ed.Boston:Duxbury Press India 2007：22-57.

［2］Vapnik V N.Statistical Learning Theory[M].New York:Wiley-Interscience 1998：8-27.

［3］張堯庭.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:北京大學(xué)出版社，1998：4-34.

［4］劉勤，金丕煥.分類數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析及SAS編程[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，2002：57-75.

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