摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)力求自然，返璞歸真. 教師要樹立“教會(huì)學(xué)生思考”的教學(xué)觀，以生為本，以學(xué)定教，突出學(xué)生的主體性；創(chuàng)設(shè)探究的平臺(tái)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情；依據(jù)教材，靈活施教，讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)知識(shí)的形成過程，體會(huì)蘊(yùn)涵其中的思想方法，形成良好的思維習(xí)慣，進(jìn)而學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)創(chuàng)造.

關(guān)鍵詞：自然；教學(xué)；設(shè)計(jì)；主體；體驗(yàn)

波利亞曾言：“數(shù)學(xué)是一所合情合理的學(xué)?！保蝗私藺版教科書主編寄語中說道：“數(shù)學(xué)是自然的. 整套教科書中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)內(nèi)容是在人類長(zhǎng)期的實(shí)踐中，經(jīng)過千錘百煉的數(shù)學(xué)精華和基礎(chǔ)，其中的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源和發(fā)展都是自然的. 如果有人感到某個(gè)概念不自然，是強(qiáng)加于人的，那么只要想一下它的背景、它的形成過程、它的應(yīng)用以及與其他概念的聯(lián)系，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味.” 但在實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)教學(xué)存在諸多的不自然，比如“重結(jié)果，輕過程”，“以解題教學(xué)代替概念教學(xué)”，嚴(yán)重偏離了數(shù)學(xué)正軌.教師常常急于講解，留不出足夠的時(shí)間讓學(xué)生自己認(rèn)真地思考問題；不經(jīng)過充分準(zhǔn)備，便“硬生生”地拋出一個(gè)概念或形成一個(gè)規(guī)則，將結(jié)論直接告訴學(xué)生，強(qiáng)加于人，讓學(xué)生深感“突?！?，猶如“神兵天降”. 這種“不講理、無過程、冷冰冰”的教學(xué)與數(shù)學(xué)是一門講推理、講道理的學(xué)科格格不入，它嚴(yán)重扼殺了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，直接導(dǎo)致學(xué)生思維的惰性與僵化.正因?yàn)閿?shù)學(xué)本身是自然、入理的，數(shù)學(xué)教學(xué)理應(yīng)追求自然，做到清楚、明了、準(zhǔn)確、生動(dòng)，要生動(dòng)地還原知識(shí)的生成過程，準(zhǔn)確地提煉蘊(yùn)涵其中的思想方法，“將凝結(jié)在知識(shí)中的數(shù)學(xué)家的思維打開”，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)創(chuàng)造，授人以漁，引人入勝.

基于上述思考，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，突出學(xué)生的主體性，著力于能力培養(yǎng)，將知識(shí)生成過程隱藏的思想方法顯性化，力求自然貼切，“潤(rùn)物無聲”. 下面筆者以《二項(xiàng)式定理（一）》的教學(xué)實(shí)踐為例，與同行探討.

■教材及學(xué)情分析

教材分析：二項(xiàng)式定理在多項(xiàng)式運(yùn)算中經(jīng)常用到，特別是在后續(xù)高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，具有非常重要的地位. 二項(xiàng)式定理可以作為計(jì)數(shù)原理的一個(gè)應(yīng)用，也是學(xué)習(xí)隨機(jī)變量及其分布列的基礎(chǔ). 二項(xiàng)式定理與組合數(shù)聯(lián)系密切，綜合性較強(qiáng)，具體解決問題時(shí)有較強(qiáng)的靈活性，是培養(yǎng)學(xué)生思維的絕佳素材.

學(xué)情分析：學(xué)生已初步掌握計(jì)數(shù)原理，清楚多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則，具備探究二項(xiàng)式定理的能力，對(duì)所學(xué)知識(shí)感興趣，有較強(qiáng)的學(xué)習(xí)愿望.

教學(xué)目標(biāo)：通過學(xué)生參與探究二項(xiàng)式定理的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括、類比的能力，體會(huì)從特殊到一般的思維方式，體驗(yàn)二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)歷程，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和學(xué)習(xí)能力.

重點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理分析（a+b）3的展開式，得到二項(xiàng)式定理.

難點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式定理的展開過程，發(fā)現(xiàn)展開各項(xiàng)的規(guī)律.

■教學(xué)設(shè)計(jì)過程簡(jiǎn)錄

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

引入：今天是星期一，那么10天后是星期幾？100天后呢？85天后呢？（學(xué)生輕松突破）

那么8100天后是星期幾？（難度陡增，欲罷不能）

教師：傾畢生之力，也難將8100具體算出，但在二項(xiàng)式定理面前，卻是手到擒來，輕松解決.

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)情境，吸引眼球，激蕩思維，學(xué)生急于尋求解決方案，產(chǎn)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)愿望.

（二）引導(dǎo)探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

教師：二項(xiàng)式定理研究的是（a+b）n的展開式，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，你覺得可以怎樣研究？

設(shè)計(jì)意圖：直接拋出課題，明確本課要解決的問題，啟發(fā)學(xué)生尋找研究的方法.

探究1：（a+b）2的展開式.

問題1：（a+b）2的展開式未合并同類項(xiàng)前是幾項(xiàng)？為什么？

問題2：（a+b）2的展開式中單項(xiàng)式的次數(shù)為什么都是2？

問題3：？搖（a+b）2的展開式合并同類項(xiàng)后是幾項(xiàng)？為什么？

問題4：（a+b）2的展開式中，ab項(xiàng)的系數(shù)為什么是2？

設(shè)計(jì)意圖：理解展開式中每一項(xiàng)的特征，運(yùn)用計(jì)數(shù)原理來解決項(xiàng)數(shù)問題.

探究2：不運(yùn)算（a+b）3，能否回答下列問題（同桌討論）：

問題1：合并同類項(xiàng)之前，展開式有多少項(xiàng)？

問題2：展開式中各項(xiàng)的次數(shù)是多少？

問題3：合并同類項(xiàng)后，展開式中有哪些不同的項(xiàng)？

問題4：各項(xiàng)的系數(shù)是多少？

問題5：從上述三個(gè)問題，你能否得出（a+b）3的展開式？

探究3：仿照上述過程，請(qǐng)你推導(dǎo)（a+b）4的展開式.

設(shè)計(jì)意圖：通過幾個(gè)問題的層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生用計(jì)數(shù)原理對(duì)（a+b）3的展開式進(jìn)行再思考，分析各項(xiàng)的特征，使學(xué)生在推導(dǎo)（a+b）n的展開式過程中有“法”可依.

（三）得到定理，剖析證明

探究4：仿照上述過程，請(qǐng)你猜想（a+b）n的展開式，并證明之.

（a+b）n=C■an+C■an-1b+…+C■an-kbk+…+C■b（n∈N*）——二項(xiàng)式定理

證明：（a+b）n的展開式是n個(gè)（a+b）相乘的結(jié)果，每個(gè)（a+b）在相乘時(shí)，有選a或選b兩種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知展開式共有2n項(xiàng)（含同類項(xiàng)），其中每一項(xiàng)都是an-kbk（k=0，1，…n）的形式組成，它是由k個(gè)（a+b）選了b，n-k個(gè)（a+b）選了a得到的，它出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從n個(gè)（a+b）中取k個(gè)b的組合數(shù)C■，將它們合并同類項(xiàng)，就得二項(xiàng)展開式，這就是二項(xiàng)式定理.

設(shè)計(jì)意圖：通過仿照（a+b）3，（a+b）4展開式的探究方法，學(xué)生自主類比得出（a+b）n的展開式，并嘗試剖析二項(xiàng)式定理的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生從計(jì)數(shù)原理的角度對(duì)展開過程進(jìn)行分析，概括出項(xiàng)的特征.

（四）熟悉定理，簡(jiǎn)單應(yīng)用

二項(xiàng)式定理的特征：（學(xué)生自主歸納）

1. 項(xiàng)數(shù)：共有n+1項(xiàng).

2. 次數(shù)：字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0；

字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n.

各項(xiàng)的次數(shù)都等于n.

3. 二項(xiàng)式系數(shù)：稱C■（k=0，1，…，n）為第k+1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)，依次為C■，C■，C■，…，C■，…，C■.

4. 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：式中的C■an-kbk叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)， 用Tk+1表示，即通項(xiàng)為展開式的第k+1項(xiàng)：Tk+1=C■an-kbk.

變一變：

（1）（a-b）n；（2）（1+x）n.

用一用：

解決引入問題.

例 求2■-■■的展開式.

問題1：展開式的第3項(xiàng)的系數(shù)是多少？

問題2：展開式的第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是多少？

問題3：你能否直接求出展開式的第3項(xiàng)？

設(shè)計(jì)意圖：熟悉二項(xiàng)展開式，辨析項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的差異，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和運(yùn)算能力.

（五） 課堂小結(jié)，課后作業(yè)

小結(jié)（學(xué)生自主歸納）：

1. 二項(xiàng)式定理：（a+b）n=C■an+C■an-1b+…+C■an-kbk+…+C■bn（n∈N*），

通項(xiàng)公式：Tk+1=C■an-kbk.

2. 思想方法：（1）從特殊到一般的思維方式；（2）觀察→歸納→猜想→證明.

3. 二項(xiàng)式定理的形成過程.

作業(yè)：

1. 課本36頁習(xí)題1.3A組1、2、3；

2. 想想明天會(huì)學(xué)什么.

■教學(xué)反思

1. 突出學(xué)生的主體性

波利亞指出：“學(xué)習(xí)任何東西的最好途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”. 學(xué)習(xí)、成長(zhǎng)只能靠學(xué)生自己，教師的任何行為都替代不了學(xué)生自主的學(xué). 教師可以做“助產(chǎn)婆”，但不能越俎代庖，拔苗助長(zhǎng)，否則只能是好心辦壞事.

據(jù)此，在完成（a+b）2的展開式的探究后，讓學(xué)生兩人一個(gè)小組進(jìn)行討論，嘗試推導(dǎo)（a+b）3的展開式，然后自己推導(dǎo)（a+b）4的展開式，接著仿照上述過程，猜想并證明（a+b）n的展開式，整個(gè)過程，筆者將著力點(diǎn)放在搭建有利于學(xué)生思考、探究的平臺(tái)，突出學(xué)生的主體性，讓學(xué)生在自主探究中，獲取知識(shí)，發(fā)展能力.

再如，在得到二項(xiàng)式定理后，讓學(xué)生自己歸納二項(xiàng)式定理的特征，弄清通項(xiàng)是怎么生成的，使學(xué)生快速理解、熟悉定理；小結(jié)時(shí)，讓學(xué)生歸納本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容和體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，目的是啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，提煉蘊(yùn)涵的思想方法. 正如《學(xué)記》上所說：道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而弗達(dá). 教師應(yīng)當(dāng)做到引導(dǎo)學(xué)生，而不牽著學(xué)生走，激勵(lì)學(xué)生，而不強(qiáng)加逼迫，啟發(fā)思考而不直接把結(jié)論告訴學(xué)生. 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)弱化傳授，強(qiáng)化探究，使“教”與“學(xué)”自然銜接，了無痕跡.

2. 讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)知識(shí)的生成過程

每一個(gè)知識(shí)的生成都有其深厚的背景，往往蘊(yùn)藏著豐富的思想方法. 章建躍老師強(qiáng)調(diào)：“要將概念及反映的思想方法放在教學(xué)的首位，概念教學(xué)必須體現(xiàn)概念的形成”；李昌官老師也多次談到讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)“誕生”的“陣痛”過程. 因此，在教學(xué)中教師要舍得花時(shí)間讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)知識(shí)的生成過程，體會(huì)研究問題的方法，促使學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).

據(jù)此，本節(jié)課花了大量的時(shí)間，讓學(xué)生經(jīng)歷（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4的展開式的推導(dǎo)過程，引導(dǎo)學(xué)生用計(jì)數(shù)原理對(duì)（a+b）3的展開式進(jìn)行再思考，分析各項(xiàng)是如何生成的. 在層層鋪墊后再讓學(xué)生研究（a+b）n的展開式，得出二項(xiàng)式定理并證明，接著讓學(xué)生歸納二項(xiàng)展開式特征，目的使學(xué)生經(jīng)歷二項(xiàng)式定理的生成過程，體驗(yàn)二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，使學(xué)生“知其然，知其所以然，也知其所以不然”，弄清二項(xiàng)式定理的來龍去脈，這樣學(xué)生不僅學(xué)到了知識(shí)，而且學(xué)到了方法，還培養(yǎng)了學(xué)生的觀察、分析、概括、類比的能力，這與波利亞倡導(dǎo)的“不僅要交給學(xué)生知識(shí)，而且要交給他們技能、思想方法和有條不紊的工作習(xí)慣”是不謀而合的. 反之，若跳過知識(shí)的生成過程，直接將結(jié)論告訴學(xué)生，學(xué)生缺少觀察、比較、分析、概括的過程，他們就無法真正理解知識(shí)，知識(shí)構(gòu)建也只能是空中樓閣，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)遷移、學(xué)會(huì)創(chuàng)造更是無從談起.

3. 依據(jù)教材，但不唯教材

教材既是學(xué)生掌握知識(shí)和學(xué)習(xí)方法的主要依據(jù)，又是培養(yǎng)學(xué)生能力的載體. 教師應(yīng)認(rèn)真鉆研教材，領(lǐng)會(huì)編寫意圖，深入挖掘教材的潛在價(jià)值，提煉蘊(yùn)涵的思想方法，依據(jù)教材，“用教材教”. 例如本節(jié)課的設(shè)計(jì)，筆者認(rèn)為二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)過程是應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問題的典型過程，依據(jù)教材“先猜后證”的基本思路，將教學(xué)目標(biāo)定為：通過學(xué)生參與探究二項(xiàng)式定理的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括、類比的能力，體會(huì)從特殊到一般的思維方式，體驗(yàn)二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)歷程，培養(yǎng)學(xué)生探究的意識(shí)和學(xué)習(xí)的能力. 這樣就基本把握住了課堂教學(xué)的“命脈”.

另外一方面，教師要擺脫對(duì)教材的依賴，不唯教材，從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，對(duì)教材進(jìn)行適度開發(fā)，創(chuàng)造性地使用教材，以生成豐富多彩的教學(xué)內(nèi)容. 例如在引入課題時(shí)，筆者設(shè)計(jì)如下問題：今天是星期一，那么10天后是星期幾？100天后呢？85天后呢？那么8100天后是星期幾？自然、簡(jiǎn)單、開放的引入，一下子吸引學(xué)生，激起學(xué)生的好奇心，使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)愿望. 因此，教師不能每天照本宣科，要靈活使用教材，對(duì)教材注入自己的思想，創(chuàng)造性地再加工，這樣教學(xué)才會(huì)充滿活力，課堂才會(huì)富有生命力.

4. 樹立“教會(huì)學(xué)生思考”的教學(xué)觀

蘇霍姆林斯基認(rèn)為：“教會(huì)學(xué)生思考”是學(xué)校教學(xué)的首要任務(wù)，那種光靠教師“講深講透”地把知識(shí)喂給孩子的方法會(huì)把學(xué)生教蠢. 用“教會(huì)學(xué)生思考”的教學(xué)觀指導(dǎo)具體教學(xué)，可以使教學(xué)站得更高，看得更遠(yuǎn)，少走很多彎路.

據(jù)此，在拋出二項(xiàng)式定理是研究（a+b）n的展開式后，設(shè)問：根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，你覺得可以怎樣研究？目的是啟發(fā)學(xué)生尋找研究的方法：碰到新問題時(shí)，往往可以試試特殊情形，再猜想一般性的結(jié)論，然后嘗試證明. 再如小結(jié)時(shí)讓學(xué)生歸納所學(xué)知識(shí)及體現(xiàn)的思想方法，布置作業(yè)“想想明天會(huì)學(xué)什么”，目的是培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，教會(huì)學(xué)生思考，教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)，授人以“漁”.

“教會(huì)思考”意味著教師不能局限于知識(shí)的傳授，更應(yīng)該去發(fā)展學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，以及良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成. 在此高觀點(diǎn)下，教學(xué)目標(biāo)的制定變得明了，教學(xué)內(nèi)容的取舍變得簡(jiǎn)單，教學(xué)方式的選擇變得自然，教學(xué)效果得以保障，教學(xué)品質(zhì)得以提升.

總之，“自然”是一種態(tài)度，是一種境界. 數(shù)學(xué)教學(xué)要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，樹立“以人為本”的教育理念和“教會(huì)學(xué)生思考”的教學(xué)觀. 教學(xué)設(shè)計(jì)要依據(jù)教材，適當(dāng)加工，力求自然，合乎情理，教學(xué)要突出學(xué)生的主體性，通過有限的知識(shí)教學(xué)，讓學(xué)生體會(huì)獲得知識(shí)（思想）的方法，從而形成自主探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高學(xué)習(xí)能力與思維能力.