摘 要：文章分別用代數(shù)方法和幾何方法對2012年高考四川理科第15題進(jìn)行了解答，同時(shí)對其進(jìn)行了一般性探究，給出了一個(gè)結(jié)論.

關(guān)鍵詞：對稱；周長；面積

題目 橢圓■+■=1的左焦點(diǎn)為F，直線x=m與橢圓相交于點(diǎn)A，B，當(dāng)△FAB的周長最大時(shí)，△FAB的面積是____________.

解法一：將x=m代入■+■=1得：y=±■■（-2

不妨記Am，■■，

由對稱性得△FAB的周長L=2FA+AB=2■+■=m+4+■（-2

所以L′=1-■.

所以由L′=0得2■-6m=0，解得m=1.

所以當(dāng)-20；當(dāng)1

所以m=1時(shí)，△FAB的周長L有最大值8，此時(shí)AB=■=3.

左焦點(diǎn)F到直線x=m的距離為2c=2，所以△FAB的面積為S=■×2×3=3.

解法二：不妨設(shè)A（2cosα，■sinα）（α∈（0，π）），

由對稱性得△FAB的周長L=2FA+AB

=2■+2■sinα

=2■+2■sinα

=2（cosα+2）+2■sinα

=4sinα+■+4.

由△FAB的周長L有最大值8，得α=■，此時(shí)A1，■，

所以AB=■=3.

左焦點(diǎn)F到直線x=m的距離為2c=2，所以△FAB的面積為S=■×2×3=3.

解法三：設(shè)直線x=m與x軸的交點(diǎn)為C，F(xiàn)1為右焦點(diǎn)，直線x=1與橢圓相交于點(diǎn)A1，B1.

由對稱性得△FAB的周長L=2FA+2AC.

當(dāng)-2

L=2FA+2AC<2FA+2F1A=2FA1+2F1A1=8；

當(dāng)-1

當(dāng)1

綜上所述，當(dāng)m=1時(shí)，△FAB的周長L有最大值8，此時(shí)A1，■，AB=■=3，左焦點(diǎn)F到直線x=m的距離為2c=2，所以△FAB的面積為S=■×2×3=3.

對試題進(jìn)行進(jìn)一步探究，有以下一般性結(jié)論：

橢圓M：■+■=1（a>b>0）的焦點(diǎn)F，直線x=m與橢圓相交于點(diǎn)A，B，當(dāng)△FAB的周長有最大值4a時(shí)，△FAB的面積為定值■.？搖？搖

以上結(jié)論在橢圓M：■+■=1（a>b>0）中也成立.

證法一：記F為左焦點(diǎn).

將x=m代入■+■=1（a>b>0）得y= ±■■（-a

不妨記Am，■■，

由對稱性得△FAB的周長L=2FA+AB=2■+■■=■+■■（-a

所以L′=■-■.

所以由L′=0得2ac■-2abm=0，解得m=c.

所以當(dāng)-a0；當(dāng)c

所以m=c時(shí)，△FAB的周長L有最大值4a，此時(shí)AB=■=■.

焦點(diǎn)F到直線x=m的距離為2c，所以△FAB的面積為S=■×2c×■=■.

證法二：記F為左焦點(diǎn).

不妨設(shè)A（acosα，bsinα）（α∈（0，π）），由對稱性得△FAB的周長L=2FA+AB=2■+2bsinα=2■+2bsinα=2（ccosα+a）+2bsinα=2asin（α+φ）+2atanφ=■.

由△FAB的周長L有最大值4a時(shí)，得α=■-φ，此時(shí)Ac，■，

所以AB=■，

焦點(diǎn)F到直線x=m的距離為2c，

所以△FAB的面積為S=■×2c×■=■.

證法三：記F為左焦點(diǎn).設(shè)直線x=m與x軸的交點(diǎn)為C，F(xiàn)1為右焦點(diǎn)，直線x=c與橢圓相交于點(diǎn)A1，B1. 由對稱性得△FAB的周長L=2F1A+2AC.

當(dāng)-a

當(dāng)-c

當(dāng)c

綜上所述，當(dāng)m=c時(shí)，△FAB的周長L有最大值4a，此時(shí)AB=■=■，左焦點(diǎn)F到直線x=m的距離為2c，所以△FAB的面積為S=■×2c×■=■.

上述三種解法（或證法）中的一和二是代數(shù)方法，代數(shù)法運(yùn)算量大，對運(yùn)算能力的要求較高. 特別在方法一中，利用橢圓的普通方程求解時(shí)，要利用導(dǎo)數(shù)，涉及無理方程的解法，對學(xué)生來說難度還是很大的.方法二利用橢圓的參數(shù)方程求解，稍容易一些. 方法三用幾何方法求解，結(jié)合橢圓的第一定義，利用圖形直觀地探究出直線x=m通過橢圓■+■=1（a>b>0）的另一焦點(diǎn)時(shí)，△FAB的周長L有最大值4a，進(jìn)而求出△FAB的面積為定值■. 在教學(xué)中強(qiáng)化此類問題的不同解法，有助于學(xué)生的邏輯思維能力和直覺思維能力的培養(yǎng)，同時(shí)對提高學(xué)生的解題能力也是很有好處的.？搖