摘 要：一種教材，一般要經(jīng)得起千錘百煉，因?yàn)樗墙處熼_展日常教學(xué)的依據(jù)，是學(xué)生學(xué)習(xí)仿照的模板. 因此，無(wú)論是教材的編寫者還是教學(xué)的設(shè)計(jì)者，都要盡量考慮從學(xué)生的角度出發(fā)，要從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)去設(shè)計(jì)教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)地探索知識(shí)，發(fā)展其探索創(chuàng)新的能力與潛力.

關(guān)鍵詞：認(rèn)知結(jié)構(gòu)；數(shù)學(xué)思想方法；過(guò)程性教學(xué)

■問(wèn)題的提出

中等職業(yè)教育國(guó)家規(guī)劃教材《數(shù)學(xué)》（基礎(chǔ)版）中的《8.11圓與直線的位置關(guān)系》中關(guān)于直線與圓的位置關(guān)系交點(diǎn)個(gè)數(shù)研究有這樣一段敘述：

點(diǎn)M（x，y）是直線l：Ax+By+C=0與圓x2+y2=r2的交點(diǎn)，？圳點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y） 是方程組Ax+By+C=0，x2+y2=r2，（1）的實(shí)數(shù)解.

我們來(lái)討論方程組（1）有沒(méi)有實(shí)數(shù)解？有多少個(gè)實(shí)數(shù)解？

不妨設(shè)B≠0，從（1）的第一式得y= -■， （2）

將（2）式代入（1）的第二式，得x2+-■■=r2.

整理，得（A2+B2）x2+2ACx+（C2-B2r2）=0. （3）

kfa60PyhRUE92tfXEnc0Ig==一元二次方程（3）的判別式為Δ=（2AC）2-4（A2+B2）（C2-B2r2）=4B2[（A2+B2）r2-C2]. （4）

于是Δ≥0？圳（A2+B2）r2-C2≥0？圳r2≥■？圳r≥■？搖 （5）

注意圓心O（0，0） 到直線l的距離d為

d=■=■. （6）

從（5）式和（6）式，得Δ≥0？圳r≥d.？搖？搖（7）

（以下解答過(guò)程從略）

■問(wèn)題的探討

很明顯，在討論方程組（1）有沒(méi)有實(shí)數(shù)解，（1）的第一式y(tǒng)=-■時(shí)，B作為分母就有可能出現(xiàn)0，但編者在此用了一句：“不妨設(shè)B≠0”顯然不妥，在一定程度上是編者裁減了學(xué)生的思考過(guò)程，削弱了學(xué)生思考問(wèn)題的能力，喪失了訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的好機(jī)會(huì). 為此，筆者對(duì)此問(wèn)題做了詳細(xì)e9EslTAACYHUJMFIkQyJUg==的研究并作了如下的改進(jìn).

■問(wèn)題的改進(jìn)

討論方程組Ax+By+C=0，x2+y2=r2，（1）的實(shí)數(shù)解.

由第一式，得B2y2=[-（Ax+C）]2

由第二式，得B2y2=B2（r2-x2）.

上述兩式相減， 得（A2+B2）x2+2ACx+（C2-B2r2）=0. （8）

因?yàn)锳2+B2≠0，

所以一元二次方程的判別式為Δ=（2AC）2-4（A2+B2）（C2-B2r2）=4B2[（A2+B2）r2-C2].？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

當(dāng)B≠0時(shí)，Δ≥0？圳（A2+B2）r2-C2≥0？圳r2≥■？圳r≥■.？搖

注意圓心O（0，0）到直線l的距離d為d=■=■.？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

所以Δ≥0？圳r≥d，Δ<0？圳r

當(dāng)B=0時(shí)，則（8）式變?yōu)锳2x2+2ACx+C2=0 ，解得x=-■.

當(dāng)-■>r時(shí)，則直線與圓相離；當(dāng)-■=r時(shí)，則直線與圓相切；當(dāng)-■

■問(wèn)題的感悟

1. 樹立“以生為本”的教學(xué)理念

根據(jù)布魯納的認(rèn)知發(fā)展理論，學(xué)習(xí)本身是一種認(rèn)識(shí)過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，個(gè)體的學(xué)習(xí)總是要通過(guò)已知的內(nèi)部認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)“從外到內(nèi)”的輸入信息進(jìn)行整理加工，以一種易于掌握的形式加以儲(chǔ)存. 作為中職教師，我們必須認(rèn)識(shí)到課堂的主體仍然是學(xué)生，只有學(xué)生想學(xué)、會(huì)主動(dòng)學(xué)，這樣的課堂才會(huì)有效. 所以，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)必須充分考慮到學(xué)生的學(xué)情，要在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”處設(shè)計(jì)教學(xué)問(wèn)題，緩坡度、小步伐開展數(shù)學(xué)課堂教學(xué).

2. 落實(shí)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)觀念和創(chuàng)新思維的載體. 中職學(xué)生基本數(shù)學(xué)思想方法的欠缺已嚴(yán)重阻礙了他們的數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng). 其實(shí)很多本是初中生應(yīng)具備的最基本的數(shù)學(xué)思想方法，他們卻不具備或欠缺. 因此，教師在平時(shí)的教學(xué)中要注意數(shù)學(xué)思想方法的落實(shí)與滲透，特別是在定理、性質(zhì)、公式的推導(dǎo)過(guò)程和例題的講解過(guò)程中充分地挖掘其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，如在上述研究的問(wèn)題中就蘊(yùn)涵了化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想方法，而這些思想方法也常見于數(shù)學(xué)的每一節(jié)課中. 如果教師總是不加以充分挖掘與留意，必定會(huì)錯(cuò)失良機(jī)，長(zhǎng)此以往，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力終將得不到提升. 古人云：“授人以魚，不如授人以漁”，數(shù)學(xué)思想方法就是學(xué)生思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的工具，“工欲善其事，必先利其器”，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)就是一個(gè)提高中職課堂教學(xué)效率的很好的武器.

3. 強(qiáng)化過(guò)程性的學(xué)習(xí)體驗(yàn)

新課程強(qiáng)調(diào)過(guò)程性教學(xué)，提倡關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，這是學(xué)生獲得體驗(yàn)、產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)積極情感的重要途徑，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，幫助學(xué)生在參與的過(guò)程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗(yàn)和創(chuàng)造，要讓學(xué)生“知其然，更要知其所以然”，而絕不能因?yàn)檫^(guò)程煩瑣等主觀原因，就任意裁減其探索過(guò)程.其實(shí)就上述問(wèn)題而言，筆者在上課時(shí)就按問(wèn)題改進(jìn)的方法進(jìn)行分析與講解，這樣不但使學(xué)生掌握了研究直線與圓位置關(guān)系的兩種方法（△法與d-r法）內(nèi)在的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，同時(shí)也讓學(xué)生深刻體會(huì)兩種方法的優(yōu)劣性與思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，這樣既訓(xùn)練了方法，又提高了能力. 因此，中職數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該提倡以知識(shí)的發(fā)生發(fā)展和認(rèn)知形成的內(nèi)在聯(lián)系為線索，充分展現(xiàn)和經(jīng)歷其中的思維活動(dòng)，使學(xué)生真正參與到發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中來(lái)，使學(xué)生能夠積極主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，自主地學(xué)習(xí)，主動(dòng)地探索知識(shí)，發(fā)展其探索創(chuàng)新的能力與潛力.