摘 要：新課程改革的基本理念之一就是要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識. 數(shù)學(xué)建模實現(xiàn)了實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)換. 因此，如何進行數(shù)學(xué)建模教學(xué)，是擺在中學(xué)數(shù)學(xué)教師面前的一個重要課題. 本文以一節(jié)三角函數(shù)建模課為例，通過對課堂教學(xué)的實錄和親身執(zhí)教感受，有針對性地闡述了建模教學(xué)設(shè)計及授課過程中的幾點思考.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；數(shù)學(xué)建模；教學(xué)設(shè)計；教學(xué)反思

■背景

近日，安徽省宿州市數(shù)學(xué)教科研基地在蕭縣中學(xué)舉辦了一次面向全縣中學(xué)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)觀摩活動. 筆者有幸在該校高一實驗班上了一節(jié)三角函數(shù)建模課（注：蕭縣中學(xué)是安徽省省級重點中學(xué)，高一實驗班是該校高一基礎(chǔ)最好的一個班級）. 本節(jié)內(nèi)容是三角函數(shù)一章的最后一節(jié)，屬三角函數(shù)的具體應(yīng)用問題，也恰好與高一的教學(xué)進度相適應(yīng).筆者通過一個實際案例，借助多媒體，與學(xué)生一起探討、深入思考，共同感受了整個建模和應(yīng)用的過程，并總結(jié)了利用三角函數(shù)作為函數(shù)模型來研究實際問題的方法和步驟.

■研究過程

教師：同學(xué)們感覺今天的天氣怎么樣？冷不冷??？

學(xué)生：冷！

教師：其實最近一段時間的氣溫基本上控制在-5到10攝氏度的范圍內(nèi).而每天的氣溫變化具有一定的規(guī)律性，每天都是夜間比較冷，從早上到中午這段時間，氣溫有所回升，中午比較暖和，而從中午到傍晚這段時間氣溫是逐漸下降的. 每天基本如此，因此，氣溫的變化規(guī)律具有什么特點呢？

學(xué)生（很自然地）：具有周期性變化規(guī)律.

教師：你還能舉出生活中一些呈周期性變化規(guī)律的事物嗎？

學(xué)生：四季交替、地球公轉(zhuǎn)、水車的轉(zhuǎn)動……

教師：很好！他們都具有周期性變化規(guī)律，我們剛剛學(xué)習(xí)了一類重要的函數(shù)——三角函數(shù)，大家知道，三角函數(shù)也具有一個顯著的函數(shù)性質(zhì)，那就是周期性. 那么，我們能否利用三角函數(shù)作為函數(shù)模型來研究日常生活中的這些呈周期性變化的事物呢？這就是本節(jié)課我們要共同探討的一個問題——三角函數(shù)的簡單應(yīng)用（板書）.

教師：下面同學(xué)們看這張圖片（多媒體演示）.

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圖1

教師：他們在干什么？

學(xué)生：觀潮！

教師：潮水起落，驚濤拍岸，波瀾壯闊！古今很多文人墨客關(guān)于潮水漲落的描述都留下了很多精美絕倫的詩句，其中南宋詩人王十朋在溫州江心嶼觀潮之后，留下一副知名對聯(lián)：

云朝朝朝朝朝朝朝朝散

潮長長長長長長長長消

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教師：這副對聯(lián)說的是云卷云舒常常出現(xiàn)，潮起潮落天天發(fā)生，表面上看是對兩個現(xiàn)象的描寫，但其本身也蘊涵著兩件事物發(fā)展的周期性.今天我們就以這種潮汐現(xiàn)象為背景，借助三角函數(shù)來研究它的變化規(guī)律.

例題：海水受日月的引力，在一定時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道. 靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋，下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深的關(guān)系表：

探究1：觀察表格中的數(shù)據(jù)，每天水深的變化具有什么規(guī)律性？

這時教師引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)特點：最大值、最小值、有無規(guī)律？

教師：如果想直觀地刻畫數(shù)據(jù)特征，該怎么處理？

探究2：設(shè)想水深y是時間x的函數(shù)，作出表中的數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖，你認為可以用哪個類型的函數(shù)來擬合這些數(shù)據(jù)？

這是一個描點的過程，也是建模的重要步驟，教師在此并沒有急于輕描淡寫地畫出各點，而是讓學(xué)生拿出一張大白紙，給出充足的時間（5分鐘左右）引導(dǎo)學(xué)生親自畫出平面直角坐標(biāo)系，親手描出各個點，體驗這個看似簡單的過程，并讓他們在各自小組內(nèi)部進行對比，評出最漂亮的一份展示給全班學(xué)生.（電腦呈現(xiàn)作圖結(jié)果）

教師：要想更加直觀形象地反映水深隨時間的變化規(guī)律，應(yīng)該怎么做？

探究3：用一條光滑曲線連結(jié)這些點，得到一個函數(shù)圖象，該圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可以是哪種形式？

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圖2

此時很多學(xué)生回答用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+h來近似擬合上述曲線，教師沒有急于認可，而是提出為什么不用y=Acos（ωx+φ）+h？讓學(xué)生進行思考和討論，并展示自己選用y=Asin（ωx+φ）+h的原因.

探究4：用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+h來刻畫水深和時間之間的對應(yīng)關(guān)系，如何確定解析式中的參數(shù)值？

由于前面幾節(jié)對此類問題已經(jīng)作了大量的訓(xùn)練，因此，教師讓學(xué)生快速做出解答，在此并沒必要留出太多計算時間.

探究5：經(jīng)過上述計算可知，此港口的水深與時間的關(guān)系可用函數(shù)y=2.5sin■x+5來近似描述，你能根據(jù)這個函數(shù)模型，求出港口在各個整點時刻水深的近似值嗎？（精確到0.001）

此處需要進行9次計算，教師并沒有讓每個學(xué)生都計算出來，而是采取了分工合作的教學(xué)模式，一組計算三個，最后再列表匯總.

探究6：一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4 m，若要求至少要有2.25 m的安全間隙（船底與洋底的距離），那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間？（忽略離港所用的時間）

教師：貨船能夠進入港口所需要滿足的條件是什么？

由學(xué)生自由討論，得出結(jié)果：只需解不等式2.5sin■x+5≥6.25，

即y=2.5sin■x+5≥6.25，x∈[0，24]，所以sin■≥■，

■x∈2kπ+■，2kπ+■，k=0，1，

所以x∈[1，5]或t∈[13，17].

（對于解此類不等式，前面已經(jīng)做了大量的訓(xùn)練，再加上學(xué)生的基礎(chǔ)較好，因此學(xué)生完全有能力給予準(zhǔn)確的解答. 教師電腦呈現(xiàn)圖象）

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圖3

教師：得到了結(jié)果后，大家結(jié)合圖象說說貨船應(yīng)該選擇什么時間進出港才能在港口一天內(nèi)停留時間最長？（學(xué)生討論，交流）

學(xué)生甲：貨船可以在1時進港5時出港或者13時左右進港17時左右出港，可在港口待大約4個小時.

學(xué)生乙：由于題目要求是當(dāng)天安全離港，因此可以凌晨1時左右進港，下午17時左右離港，才能使得在港內(nèi)停留時間最長，即16個小時.

教師： 上述兩位同學(xué)的方案，哪種比較好呢？大家可以自由發(fā)表一下自己的見解. （經(jīng)過學(xué)生激烈辯論，一致認為方案甲比較符合現(xiàn)實情況，因為在5時到下午13時這段時間內(nèi)，有段時間的實際水深比吃水深度還要小，因此船會出現(xiàn)擱淺甚至陷入淤泥的危險情況）

教師：船在港口卸貨的過程中，由于整體重量減小，因此吃水深度也會減小，安全水深（吃水深度和安全間隙之和）也跟著減小，而實際水深也是變化的，那么要使貨船安全離港，船長應(yīng)該如何選取時間呢？

探究7：若某船的吃水深度為4 m，若要求安全間隙為1.5 m，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3 m的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？

教師：在海水的深度和吃水深度都在變化的過程當(dāng)中，如何刻畫安全水深？

學(xué)生：安全水深是船的吃水深度和安全間隙之和，即y=5.5-0.3（x-2）（x≥2）.

教師：什么時候停止卸貨比較安全呢？

學(xué)生（經(jīng)過討論）：可拿實際水深和安全水深作比較，當(dāng)實際水深快要小于或等于安全水深的時候，就必修停止卸貨.

教師：很好！只需解不等式2.5sin■x+5≥5.5-0.3（x-2），大家會解嗎？

學(xué)生：不會.

教師：那如何能夠直觀形象地進行比較呢？

學(xué)生：畫圖象（此時教師借助多媒體圖片展示圖象）.

教師：通過圖象可以看出，在點P的左側(cè)，實際水深大于安全水深，時間在6時到7時之間，有一個交點，我們?nèi)绾吻筮@個交點的橫坐標(biāo)呢？

表3

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？搖教師：通過計算，你認為什么時候離港較好？

學(xué)生：上午六時.

教師：假如老板想讓工人多干些時間，他會樂意看到六點就停止卸貨嗎？

學(xué)生：不樂意！

教師：那幾點離港較好呢？我們算算當(dāng)時間是早上六點半時，實際水深和安全水深的關(guān)系是怎么樣的.

表4

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教師：通過計算可知，早上六點半離港較好. 但是，如果有人給老板提建議，先用二分法計算出點P的橫坐標(biāo)，假如是a，就在a時刻停止卸貨，然后離港，駛向較深水域，對老板來說不是更好嗎？實際上，這樣能行得通嗎？請學(xué)生討論.

學(xué)生（經(jīng)過討論）：這樣不符合實際情況，因為停止卸貨以后，還要有一段準(zhǔn)備離港的時間段.

教師：這說明我們通過建模得到的結(jié)果要符合實際情況，即對答案的合理性進行進一步檢驗，這是一個“驗?zāi)！钡倪^程.

最后師生共同進行課時總結(jié)：

1. 三角函數(shù)模型是研究周期現(xiàn)象最重要的數(shù)學(xué)模型. 三角函數(shù)模型在研究物理、生物、自然界中的周期現(xiàn)象（運動）有著廣泛的應(yīng)用.

2. 三角函數(shù)模型構(gòu)建的步驟

（1）收集、觀察數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)是否具有周期性的重復(fù)現(xiàn)象.

（2）制作散點圖，選擇函數(shù)模型進行擬合.

（3）利用三角函數(shù)模型解決實際問題.

（4）根據(jù)問題的實際意義，對答案的合理性進行檢驗.

■幾點思考

1. 關(guān)于例題選取

數(shù)學(xué)建模問題點的選取要與現(xiàn)實社會或生活有一定的聯(lián)系，對大部分學(xué)生來說，要有一定的背景常識，使他們感覺親切，樂于主動參與教學(xué)實踐活動，切實感到數(shù)學(xué)有用，同時也要減少對問題不必要的人為加工和刻意雕琢，但也要有一定的可操作性. 此題是一個經(jīng)典例題，有一定的難度，但是考慮到實驗班學(xué)生的基礎(chǔ)較好，主動學(xué)習(xí)的能力較強，再加上前不久剛剛學(xué)習(xí)過函數(shù)的建模知識，因此，選取這樣一個經(jīng)典例題作為研究對象是合理的.

2. 關(guān)于描點

新課程標(biāo)準(zhǔn)提出，“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識. 通過豐富的實例引入數(shù)學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，經(jīng)歷探索、解決問題的過程，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值”. 既然是為了發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，提高實踐能力，那就要突出學(xué)生的主體地位，重視讓學(xué)生分析建模的數(shù)學(xué)思維過程. 很多教師在描散點圖的時候都是一帶而過，或者直接通過多媒體展示給學(xué)生描點結(jié)果，他們覺得簡單的幾個坐標(biāo)點，沒必要讓學(xué)生親自動手來畫. 而筆者在教學(xué)過程中，不僅給學(xué)生留出了大量描點的時間，還對描點的準(zhǔn)確性、美觀性進行比較、評價、展示，目的是讓他們親自感受建模過程，體驗數(shù)學(xué)建模中美的一面，而不只是在表面意識上去讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的幾個簡單步驟.

3. 關(guān)于分解探究

由于數(shù)學(xué)建模的思維方式與長期以來傳統(tǒng)知識學(xué)習(xí)有著顯著差異，因此，學(xué)生普遍感到數(shù)學(xué)建模難度大. 面對一個較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)建模案例，如果我們能夠?qū)ζ溥M行合理的分解探究，將一個高難度的問題分解成若干個較為簡單的小問題，再針對不同部分的不同側(cè)面來設(shè)置提問，在具體的局部教學(xué)環(huán)節(jié)上選擇合適的討論點來組織學(xué)習(xí)活動，這樣就會使學(xué)生樂于參與其中，也利于學(xué)生快速體驗成功，樹立信心，從而使問題逐層深入，各個擊破，迎刃而解. 筆者在授課的過程中，將一個復(fù)雜的問題分解成八個探究性小問題，由易到難，環(huán)環(huán)相扣，步步遞進，引導(dǎo)學(xué)生討論、合作、交流、分析，使他們在不知不覺中體驗了知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程.

4. 一些困惑

在探究6中，原來題目中本身給出的數(shù)據(jù)是1.5 m的安全間隙，這樣一來的話，學(xué)生就要解不等式2.5sin■x+5≥5.5，即sin■x≥0.2，這樣學(xué)生就無法親自動筆解出答案，而筆者將其改為2.25 m，即解不等式sin■x≥0.5，這樣就具有很強的可操作性.在探究7中，為了更好地理解問題，需要在同一坐標(biāo)系中準(zhǔn)確地畫出y=2.5sin■x+5和y=5.5-0.3（x-2）（x≥2）的大致圖象，如果不借助計算機或改變題目數(shù)據(jù)，學(xué)生能否獨立完成上述計算和作圖呢？如果處處利用多媒體來輔助完成建模過程，是否會使學(xué)生對知識產(chǎn)生一種“不踏實”的心理錯覺？毋庸置疑，隨著計算機技術(shù)在課堂教學(xué)中的廣泛應(yīng)用，傳統(tǒng)的課堂教學(xué)發(fā)生了翻天覆地的革新. 但是，新的教學(xué)理念提倡信息技術(shù)要與課程內(nèi)容進行有機整合，整合的基本原則是有利于學(xué)生認識數(shù)學(xué)的本質(zhì).但是教師在授課的過程當(dāng)中，怎樣做才能將多媒體輔助教學(xué)和整體教學(xué)模式進行“有機整合”？如何把握好這個“度”的問題？也就是說，怎樣做才不至于導(dǎo)致通過多媒體對知識結(jié)果的呈現(xiàn)而束縛了學(xué)生親自動手實踐（包括計算、畫圖、操作等）的能力和思維過程，從而導(dǎo)致“方便了老師，冷落了學(xué)生”的不良后果，這是我們應(yīng)該思考的一個問題.