摘 要：高考數(shù)學試題越來越彰顯“考查基礎知識的同時，注重考查能力”的特點，這是課程改革、考試改革的必然趨勢，而在高中數(shù)學教學過程中如何培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)、提高學生綜合探究問題的意識和能力，也是高中教師迫切需要解決的問題. 以“能力立意題”為載體，注重細節(jié)，領悟本質，優(yōu)化思維，綜合探究，恰是解決這一問題的有效途徑.

關鍵詞：能力立意；綜合探究；培養(yǎng)策略

高考命題經歷了由“經驗型命題方式”向“科研型命題方式”的轉化，“能力立意”成為教育改革深化的必然趨勢. 《2013年浙江省普通高考考試說明》中指出：數(shù)學學科的考試，按照“考查基礎知識的同時，注重考查能力”的原則，確立以能力立意命題的指導思想，將知識、能力和素質融為一體，全面檢測考生的數(shù)學素養(yǎng). 浙江數(shù)學高考中幾個“靈活性”較大的試題往往體現(xiàn)了這樣的素養(yǎng)要求，我們把這些題稱為“能力立意”題. 歷年來這些題往往描述簡約，實不簡單，透過現(xiàn)象看本質，又是憑借極其基礎的知識內容，達到學科整體高度和思維價值高度. 學生面對這些問題往往望而生畏，不敢觸碰. 這種現(xiàn)象也反映了當前學生的數(shù)學學習還停留于“模仿+訓練”的階段，缺乏自主探究和綜合應用的能力.

由于能力的形成是一個潛移默化的漸進過程，作為數(shù)學教師，也要適應時代發(fā)展的需要，積極研究能力立意題的命題特點和動向，不應在高三復習階段，而應在整個高中階段，多設計運用并挖掘能力立意題的教學教育功能，以提高教學針對性、有效性，真正提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和綜合探究問題的意識和能力.

■能力立意題的類型和特點

以知識點考查為載體，突出能力立意的數(shù)學問題大致可歸為如下幾種類型：

類型1：以數(shù)學內容為基點， 以基本的推理能力和思維要求為立足點， 突出考查學生一般能力的表現(xiàn)，測量學生的學習能力.

例1 （08年浙江高考理科數(shù)學卷第10題）設AB是平面α的斜線段，A為斜足；點P在平面α內運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（ ）（選項略）.

分析：該題考查空間圖形中的動點軌跡，初看很難，但由條件“△ABP的面積為定值”稍作推理便知點P在圓柱的側面上，再由條件“點P在平面α內運動”便知動點P的軌跡是平面α截圓柱的側面所得的圖形，為一個橢圓.

類型2：以多元化、多途徑、開放式的設問背景， 比較客觀、全面地測量學生觀察、試驗、聯(lián)想、猜測、歸納、類比、推廣等思維活動的水平，激發(fā)學生探索精神、求異創(chuàng)新思維.

例2 （07年上海高考理科卷第10題）平面內兩直線有三種位置關系：相交、平行與重合.已知兩個相交平面α，β與兩直線l1，l2，又知l1，l2在α內的射影為s1，s2，在β內的射影為t1，t2. 試寫出s1，s2與t1，t2滿足的條件，使之一定能成為l1，l2是異面直線的充分條件.

分析：該題具有開放式的設問背景，答案不唯一，需要學生通過觀察、試驗、聯(lián)想、猜測等思維活動，最終歸納出答案.

類型3：以源于社會、源于生活的問題考查學生，有效地測量學生抽象、概括以及建立數(shù)學模型的能力，使學生認識世界，把握問題的本質，籌劃應對的策略.

例3 （08年浙江高考理科卷第19題）一個袋中裝有若干個大小相同的黑球、白球和紅球. 已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是■；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是■.

（Ⅰ）若袋中共有10個球，

（?。┣蟀浊虻膫€數(shù)；

（ⅱ）從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的數(shù)學期望Eξ.

（Ⅱ）求證：從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于■，并指出袋中哪種顏色的球個數(shù)最少.

分析：該題通過具體的摸球模型考查概率統(tǒng)計問題，要求學生能將實際問題抽象成典型的概率模型來計算（第1小題），并通過對數(shù)據(jù)的分析來刻畫實際情景（第2小題）.

■通過能力立意題培養(yǎng)學生自主探究和綜合應用能力的教學策略

能力的含義非常廣泛，就高中數(shù)學教學而言，能力主要指學生的自主探究和綜合應用能力. 為此，在解題教學中通過能力立意題培養(yǎng)學生能力可采取以下策略：

策略1 注重剖析學生解題困難或解題錯誤之細節(jié)所在

當高中學生已具有相當?shù)慕忸}水平和綜合應用能力時，許多問題不能得到圓滿解決并非是因為沒有思路不會做，而是在某些細微環(huán)節(jié)上處理不當，不會調控解題策略導致“卡殼”，作為教師，應該在這種地方做好彌補工作.

例4 （2013年高考全國卷Ⅰ理科題16）若函數(shù)f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的圖象關于直線x=-2對稱，則f（x）的最大值為_________.

分析：由圖象關于直線x=-2對稱，易知函數(shù)有四個零點-5，-3，-1，1，所以可設f（x）=（1-x2）（x+3）（x+5），即f（x）=（1-x2）（x2+8x+15），所以f ′（x）=-4（x3+6x2+7x-2）. 又由圖象關于直線x=-2對稱，易知f ′（-2）=0（-2是函數(shù)f（x）的極值點，如圖1所示），所以f ′（x）=-4（x+2）·（x2+4x-1）. 由f ′（x）=0解得函數(shù)f（x）的極大值點為-2±■，可求得f（x）的最大值等于f（-2±■）=16.

反思：本題利用四次函數(shù)圖象的對稱性，不僅簡潔地求得了解析式，而且克服了對導函數(shù)（是一個三次函數(shù)）分解因式的困難. 由對稱性得到-2是函數(shù)f（x）的極值點是成功解題的關鍵.

策略2 啟發(fā)學生領悟知識與方法的數(shù)學本質

1. 領悟知識本質，實現(xiàn)舉一反三

一個問題的解決，只有從知識與方法角度領悟其數(shù)學本質后，才能真正達到“舉一反三”的效果.

例5 等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，且■=■，求■=______.

解答：■=■=■.

分析：上述解法看似簡便，但沒有觸及等差數(shù)列本質的數(shù)學性質.如果改求■=______，就無法用上述方法完成. 教師應啟迪學生從數(shù)列的函數(shù)本質入手，作如下解答：由■=■，設Sn=kn（5n+3），Tn=kn（2n+7）（k為某非零常數(shù)），則■=■=■，用該方法也能解上述題. 因此，設Sn=kn（5n+3），Tn=kn（2n+7）（k為某非零常數(shù)）是解這類問題的“通法”. 而教師需要進一步指明這種做法的緣由，即知識背景是“等差數(shù)列前n項和一定可表示為Sn=An2+Bn的形式”.

2. 辨析方法本質，審視“巧思妙解”

例6 （2008年高考浙江卷題8）若cosα+2sinα=-■，則tanα等于（ ）

A. ■？搖？搖？搖 B. 2？搖？搖？搖？搖 C. -■？搖？搖？搖？搖？搖D. -2

“巧解”如下：由f ′（α）=-sinα+2cosα=0，解得tanα=2.

分析：f（x）=cosx+2sinx在α處取極（最）大值，所以f ′（α）=-sinα+2cosα=0. 如果忽視這一本質條件，那會造成解題錯誤，比如若cosα+2sinα=-■時tanα=2顯然不能成立.

策略3 引導學生積極反思，優(yōu)化數(shù)學思維過程

數(shù)形結合、等價轉化等都是處理能力立意題的常見思想方法，也是重要的數(shù)學思想方法，在解題后的反思中應突出強化.

例7 （2011屆杭州市二模試題）設實數(shù)x，y滿足不等式組2x-y-1≥0，4x-y-6≤0，2x+y-k-2≥0， 且4x2+y2的最小值為m，當9≤m≤25時，實數(shù)k的取值范圍是______.

分析：如果直接觀察z=4x2+y2的幾何意義，可先化為■+■=1，則■表示動橢圓長半軸的取值.因為觀察動橢圓是否經過可行域內的點比較困難（需對相切或過區(qū)域某頂點進行討論），所以可將問題作如下轉化： 設x′=2x，y′=y，則x′-y′-1≥0，2x′-y′-6≤0，x′+y′-k-2≥0， 目標函數(shù)z=x′2+y′2，那么■表示點（x′，y′）到原點的距離，可求得k∈[■-2，5]（過程略）.

反思：通過換元轉化為線性問題，大大簡化了問題情景.

策略4 引導學生自主探究與發(fā)現(xiàn)，切實提高解決綜合問題的能力

自主探究充分體現(xiàn)了數(shù)學學習的過程與方法，訓練了學生提出新問題、解決新問題的能力.為發(fā)揮教師的主導作用，教師在“如何創(chuàng)設學生自主探究的情景、如何指導學生探究的方法”等方面也是需要深入研究的.

1. 設計變式問題組，引領學生深化探究

例如，向量的數(shù)量積是向量的重要運算內容，教師可以設計系列問題，讓學生在積極探究中對向量數(shù)量積的運算法則、運算的幾何意義、綜合應用有深刻的認識，在掌握知識的同時提升能力. 為此，筆者分以下幾個步驟逐層展開：

（1）回顧基本定義和運算法則.例如 “邊長為1的正△ABC中，■·■=________；平面直角坐標系中，A（-1，0），B（1，0），動點P滿足■·■=3，那么動點P的軌跡是______.”？搖？搖？搖

（2）剖析問題背景，合理尋求解題方案. 例如“已知直線ax+by+c=0與圓O：x2+y2=1相交于A，B兩點，且AB=■，則■·■=______.” 讓學生在數(shù)量積的兩種運算公式中加以辨別和選擇.因為問題背景是解析幾何，具備坐標，很多學生嘗試用數(shù)量積的坐標運算公式來計算，結果由于A，B坐標的不確定性遭受挫折. 考慮到問題背景是直線與圓兩個特殊圖形，■=■=1，只需確定∠AOB=120°，問題便迎刃而解. 這類問題立意在于考查學生的探究能力，要求學生積極探究數(shù)學對象的性質，根據(jù)具體問題的特點，探究解決問題的內在規(guī)律.只有經過這樣的探究，才能深刻體會到兩種公式的應用情景.

（3）變式設問，引導學生積極探究，培養(yǎng)推理論證的能力. 通過變式練習“平面直角坐標系中，A（-1，0），B（1，0），動點P滿足■·■=3，那么■·■的取值范圍為______.” 首先讓學生用特殊情況（點P在坐標軸上時）提出猜想與假設，然后引導學生推理和論證，將公式變?yōu)椤觥ぁ?■=■，從而將問題轉化為求cos∠APB的范圍，問題就得到解決了；進一步可以鼓勵學生提出問題，如“求■+■的取值范圍”；讓學生在體會知識間的聯(lián)系和轉化的過程中提高能力，增強數(shù)學學習興趣.

2. 反思習題能力立意，探究習題教學功能

教師在講解例、習題時絕不能就事論事，告訴學生正確答案就算完工了；在遵循數(shù)學知識的科學性、嚴密性的同時要挖掘數(shù)學的育人功能. 許多例、習題蘊涵著動人的數(shù)學思想方法，承載著深厚的教育價值，教師要高瞻遠矚，把握其能力立意，并向學生及時傳達，這是在潛移默化中培養(yǎng)學生能力的最好途徑.

例8 如圖2，在三棱錐P-ABD中，PA⊥面ABD，AD⊥BD，AD=■BD=1，C為BD的中點.

（1）設PD=x，∠BPC=θ，試求tanθ與x的函數(shù)關系式，并求tanθ的最大值；

（2）在直線PA上是否存在點Q，使∠BQC>∠BAC.

■

分析：該考題巧妙地將代數(shù)與立體幾何綜合起來，考查了學生的空間想象能力和數(shù)據(jù)處理能力、第2小題的設問帶有開放性，考查學生的探究能力和推理論證能力，而且為降低難度，第1小題設問指向性強，又為第2小題作了鋪墊. 學生先結合空間想象認識圖形，由三垂線定理獲得PD⊥BD，然后按設問的指引，容易列出tanθ=tan（∠BPD-∠CPD）=■=■（x>1），所以當x=■時，tanθ取最大值■. 對于第2小題，先注意到tan∠BAC=■<■，可以提出猜想點Q是存在的，在推理論證中可利用第1小題提供的方法，設DQ=t，則tan∠BQC=■（t>1），由■>■，解得1∠BAC成立.

反思：通過以上分析，已向學生展示了該試題四個方面的能力立意，本人又進一步注意到該試題通過構造數(shù)學模型，解決了一個學生很難理解的問題：“已知A，B兩點在平面α內，點C在平面α外，點C在平面α內的射影為C′，若∠ACB=90°，則∠ACB<∠AC′B. 那么當∠ACB≠90°時，是否也有類似結論？”絕大多數(shù)學生都誤認為∠ACB<∠AC′B是恒成立的，教師用幾何圖形舉反例又理解不了，而該試題用圖形和數(shù)量的方式，清楚地設計了一個具體的幾何模型，讓學生很容易理解. 像這樣能對問題進行轉化構造，用數(shù)學模型來解決問題的思想正體現(xiàn)了數(shù)學的應用意識.

■結語

數(shù)學習題的基本功能在于使學生能應用基本概念、公式、定理、法則等解決問題，從而達到熟悉這些基本概念、公式、定理、法則和形成基本技能和解題方法的目的. 要求稍高的習題能承載數(shù)學思想方法，發(fā)展學生的數(shù)學思維能力和理性精神；一些具有選拔功能的習題則是考查學生的綜合應用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力；而更有意思的習題能夠為學生提供一個進一步探究的平臺.

充分發(fā)揮“好”的習題的教育功能還需要教師積極發(fā)揮主導作用. 如何講解習題？如何挖掘習題蘊涵的教育價值？如何用習題來教學生？如何用習題來調動學生的學習自主性？這些問題都是教師應該關注的.