摘 要：作為教師，要站在學(xué)生的思維起點上看問題，不能忽視學(xué)生合情推理能力的教學(xué)培養(yǎng)，要把解題經(jīng)驗與學(xué)生的思維活動銜接起來，才能達到最佳的教學(xué)效果.

關(guān)鍵詞：合情推理；解題教學(xué)

■講與不講的討論

最近在高三的一次學(xué)情調(diào)研檢測中，筆者遇到了這樣一道壓軸填空題：

題目1 已知實數(shù)a，b滿足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，則a+b=_______.

筆者任教的理科班56名學(xué)生，解答正確的只有2人，其正確率幾乎為0，筆者私下找了他們2人，了解了一下他們的答題情況，他們表示不會做，是胡亂猜到答案的. 在接下來的集體備課中，備課組在討論這份試卷的評講問題時，又談到了這道壓軸填空題講與不講的問題，以下是當(dāng)時部分教師的看法.

教師A：這道題的難度很大，學(xué)生的正確率十分低，我認為可以放棄這道題的評講，不要浪費時間. 試想一下，我們講了這道題之后，能保證產(chǎn)生什么效益？能保證以后再碰到類似這樣的問題，學(xué)生就會做嗎？

教師B：這道題的難度確實很大，但也可以評講一下，讓班上少數(shù)成績好的學(xué)生了解一下方法，對他們以后的解題可能會有些幫助，當(dāng)然，我們不要期望評講了這道題后會帶來多大的效益，對95%的學(xué)生來講是沒有用的.

教師C：教師A與教師B的觀點基本上是一致的，講與不講沒有太大的區(qū)別，我認為如果要講，也不要花太多的時間，讓幾個學(xué)生了解一下方法即可，我看可以這樣辦，找?guī)讉€成績好的學(xué)生，與他們單獨談一談解題方法，課堂上不講.

對這道題的評講問題，筆者在集體備課會上由于思考沒有成熟，也就沒有表態(tài)發(fā)言. 但講與不講的問題，會后筆者仍在繼續(xù)思考，筆者也同意以上幾位教師的觀點，講了之后，如果不能帶來什么效益，確實不如不講；如果要講，那么就要產(chǎn)生效益. 我們是否可以從解題教學(xué)上下工夫而產(chǎn)生效益呢？為此，筆者對這道題的解題教學(xué)作了一個優(yōu)化設(shè)計，并選擇了相關(guān)試題對學(xué)生進行補償訓(xùn)練，整體上感覺效果不錯，現(xiàn)整理成文，與同行研討.

■解題教學(xué)的分析

1. 函數(shù)的構(gòu)造過程

對于條件a3-3a2+5a=1與b3-3b2+5b=5，如何構(gòu)造函數(shù)？大多數(shù)學(xué)生往往會構(gòu)造函數(shù)f（x）=x3-3x2+5x，從而有f（a）=1與f（b）=5，這時教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生怎樣構(gòu)造出更好的函數(shù)，使f（a）與f（b）有較強的聯(lián)系. 教師可以適當(dāng)?shù)攸c撥學(xué)生，最終達到的目的是構(gòu)造出函數(shù)f（x）=x3-3x2+5x-3，從而使得f（a）=-2且f（b）=2，但學(xué)生又隨后發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)，這時教師還要繼續(xù)給學(xué)生指明方向，函數(shù)值f（a）與f（b）為相反數(shù)，接下來我們解決問題的關(guān)鍵是什么呢？學(xué)生自然會想到要研究函數(shù)f（x）的性質(zhì)，教師應(yīng)追問：我們有什么辦法發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）的性質(zhì)呢？

2. 性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程

如何發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）=x3-3x2+5x-3的性質(zhì)？是合情推理中的歸納法！在教學(xué)中，教師應(yīng)指引學(xué)生如何發(fā)現(xiàn)問題的一個解題策略：先猜后證，并且要強化此解題策略，因為大多數(shù)學(xué)生只有在含有探究字眼的題目中，才能想到運用此策略.

在這次教學(xué)中，筆者首先用問題引導(dǎo)學(xué)生，“我們在高一學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)時，是怎么得到這兩個函數(shù)的性質(zhì)的？”學(xué)生大多數(shù)會答“描點法”，繼而又問“我們通過描出函數(shù)圖象的部分點，得到函數(shù)圖象，從而發(fā)現(xiàn)了函數(shù)的性質(zhì)，這里用了什么樣的數(shù)學(xué)方法？”通過引導(dǎo)，學(xué)生就知道歸納法了，還可以進一步強調(diào)，“對一些特殊的數(shù)列，我們是怎么發(fā)現(xiàn)它的規(guī)律的”，學(xué)生容易回答“是由a1，a2，a3等歸納出來的”. 如此，學(xué)生自然而然地就會繼續(xù)處理這道題了，他們能求出f（0）=-3，f（1）=0，f（2）=3，f（3）=12，f（4）=33，可能有少數(shù)學(xué)生需要教師點撥，提示他們再求出f（-1）=-12，f（-2）=-33，從而最終師生共同發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）關(guān)于點（1，0）中心對稱，所以a+b=2.

3. 本質(zhì)的揭示過程

通過歸納法，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了函數(shù)的性質(zhì)，再揭示問題的本質(zhì)就不是太困難的事情了，我們可以從以下幾個角度來引導(dǎo)學(xué)生證明.

法1：（坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法直接驗證）f（1+x）+f（1-x）=（1+x）3-3（1+x）2+5（1+x）-3+（1-x）3-3（1-x）2+5（1-x）-3？搖？搖=2[（1+x）2-（1+x）（1-x）+（1-x）2]-3（1+x）2-3（1-x）2+4= -2（1+x2）-2（1-x2）+4=0.

總結(jié)重現(xiàn)：函數(shù)f（x）關(guān)于點（m，n）對稱，即f（m+x）+f（m-x）=2n.

法2：（與二項式定理聯(lián)系）結(jié)合二項式定理，考慮系數(shù)關(guān)系，由于x3，x2的系數(shù)為1，-3，從而聯(lián)想到（x-1）3的二項式系數(shù)，于是可將函數(shù)的系數(shù)配成f（x）=x3-3x2+3x-1+2x-2=（x-1）3+2（x-1），所以函數(shù)f（x）是由奇函數(shù)y=x3+2x向右平移1個單位得到的，它關(guān)于點（1，0）中心對稱. 這個處理方法比較簡潔，但不太容易想到，需要教師合理的引導(dǎo).

法3：（平移的視角與奇函數(shù)聯(lián)系）與學(xué)生分析，利用歸納的手段很容易得到函數(shù)f（x）關(guān)于點（1，0）中心對稱，而奇函數(shù)是關(guān)于原點對稱的，這說明只要將函數(shù)f（x）向左平移1個單位，我們就會得到奇函數(shù). 于是，由函數(shù)f（x）的解析式，可轉(zhuǎn)化到函數(shù)g（x）=（x+1）3-3（x+1）2+5（x+1）-3=x3+2x為奇函數(shù)，故函數(shù)f（x）關(guān)于點（1，0）中心對稱. 由此教師可以說明命題者是怎樣設(shè)計這道試題的：他是先選擇了奇函數(shù)g（x）=x3+2x，然后將其向右平移1個單位后得到函數(shù)f（x）=x3-3x2+5x-3關(guān)于點（1，0）對稱，最后運用函數(shù)值f（a）=-2，f（b）=2，整理得出了條件，要求學(xué)生求出a+b的值. 命題者的高明之處就是把函數(shù)的性質(zhì)隱藏在平移中，使我們不容易看出來.

4. 練習(xí)的反饋過程

為了了解學(xué)生對這道壓軸填空題評講后的掌握程度，也為了進一步強化歸納法在解題中的策略性應(yīng)用，筆者通過反復(fù)尋找，最后看中了2012年高考數(shù)學(xué)四川卷理科數(shù)學(xué)第12題，由學(xué)生當(dāng)場練習(xí)反饋.

題目2 設(shè)函數(shù)f（x）=2x-cosx，{an}是公差為■的等差數(shù)列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，則[f（a3）]2-a1a5=（ ）.

A. 0？搖 B. ■π2

C. ■π2？搖？搖？搖 D. ■π2

大多數(shù)學(xué)生能用數(shù)學(xué)歸納法得到答案.

投影展示一學(xué)生的解答：由函數(shù)可求出f（0）=-1，f■=π，f（π）=2π+1，f■=3π，f（2π）=4π-1，f-■=-π，f（-π）=-2π+1，由此歸納出函數(shù)f（x）關(guān)于點■，π對稱，根據(jù)條件{an}是公差為■的等差數(shù)列，知a1，a2，a3，a4，a5關(guān)于a3對稱，且f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，所以a3=■，所以[f（a3）]2-a1a5=2·■-cos■■-■-■·■+■=■π2.

教師追問：能不能揭示這道高考題的本質(zhì)呢？

也有不少學(xué)生想到了函數(shù)的轉(zhuǎn)換：由f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，得f（a1）-π+f（a2）-π+…+f（a5）-π=0， 所以f（x）-π=2x-cosx-π=2x-■-cosx=2x-■+sinx-■，若以x代替x-■，則f（x）-π可轉(zhuǎn)化為g（x）=2x+sinx，所以函數(shù)g（x）是由函數(shù)f（x）向左平移■個單位，再向下平移π個單位得到的，另外容易驗證：g（-x）=-g（x）且g′（x）>0，即函數(shù)g（x）在R上為奇函數(shù)且為增函數(shù).

令an-■=bn，則g（b1）+g（b2）+…+g（bn）=0，且{bn}也是以■為公差的等差數(shù)列. 由奇函數(shù)的對稱性以及g（x）為增函數(shù)可知，b3有且只有一解0，于是a3=■，所以[f（a3）]2-a1a5=■π2.

教師點評：與原題一樣，我們通過歸納法發(fā)現(xiàn)了這道高考題中函數(shù)的性質(zhì)，于是有些學(xué)生就有目的地將原函數(shù)進行轉(zhuǎn)換，最終揭示了這道高考題的本質(zhì)，是命題者將一個單調(diào)遞增的奇函數(shù)通過左右、上下平移形成的新函數(shù)，再結(jié)合等差數(shù)列的對稱性命制的，我們從解題實踐的角度出發(fā)，還是要想辦法先發(fā)現(xiàn)結(jié)論，作為平時學(xué)習(xí)也需要通過論證來揭示本質(zhì).

■教學(xué)實踐的感悟

1. 不能忽視學(xué)生合情推理能力的教學(xué)培養(yǎng). 本文中題目1與題目2從考查的要求來看，考生只需具有本文中大膽歸納猜想處理手段即可. 從大的方面來講，合情推理能夠讓我們發(fā)現(xiàn)問題，給數(shù)學(xué)的持續(xù)發(fā)展提供保障；在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)實踐中，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納猜想的意識，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納猜想的方法，也只有如此，才能讓我們的學(xué)生也能發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)結(jié)論，才能真正地激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生的學(xué)習(xí)才能是輕松快樂的事.

2. 教師要把解題經(jīng)驗與學(xué)生的思維活動銜接起來. 長期的教學(xué)活動，使得教師往往有很豐富的解題經(jīng)驗，很多題目一拿到手，立即就能看出問題的本質(zhì)，很快就能找出解決問題的辦法，迅速得出結(jié)論，但這些問題對學(xué)生而言，它們都是陌生的，因而我們的學(xué)生要從零開始思考. 教學(xué)中，如果不能把教師的解題經(jīng)驗與學(xué)生的“零思考”銜接好，就會使部分學(xué)生跟不上學(xué)習(xí)步伐，就會使他們喪失學(xué)習(xí)興趣，就會使他們的學(xué)習(xí)產(chǎn)生困難. 作為教師，要站在學(xué)生的思維起點上看問題，要充分了解學(xué)生的思維過程，要充分估計學(xué)生在解決問題中可能遇到的困難，再結(jié)合自身解題的優(yōu)勢，設(shè)計出合理的教學(xué)過程，以突破學(xué)生的思維障礙，從而才能達到最佳的教學(xué)效果.