摘 要：法向量是研究二面角問(wèn)題的一個(gè)有效工具，在應(yīng)用中，學(xué)生常困惑于二面角大小與其兩半平面法向量的夾角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)，原因在于難以準(zhǔn)確判斷法向量的方向. 對(duì)于該問(wèn)題，可以通過(guò)構(gòu)造輔助向量，利用數(shù)量積與兩向量夾角的關(guān)系來(lái)準(zhǔn)確判斷出兩法向量的方向，從而有效地解決了學(xué)生的困惑.

關(guān)鍵詞：二面角；法向量；輔助向量；方向

立體幾何中的二面角問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)，向量法是解決該問(wèn)題常用的方法. 該方法簡(jiǎn)單實(shí)用，便于掌握，但學(xué)生常在判斷二面角大小與其兩半平面法向量的夾角是相等還是互補(bǔ)時(shí)產(chǎn)生困難，原因在于難以準(zhǔn)確判斷出法向量的方向. 教學(xué)中常采用直觀觀察的方法，這對(duì)空間想象力弱的學(xué)生來(lái)說(shuō)效果并不好，也有失數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性. 筆者結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)探索出了一個(gè)準(zhǔn)確判斷兩法向量方向的方法.

■法向量方向的判斷方法

教學(xué)中，在判斷二面角大小和其兩法向量夾角的關(guān)系時(shí)，常采用如下方法：

已知二面角α-l-β的大小為θ，向量n1，n2分別為半平面α，β的法向量，若法向量n1，n2均指向二面角的內(nèi)部（或外部），則θ=π-〈n1，n2〉（圖1）；若法向量n1，n2一個(gè)指向二面角的內(nèi)部，另一個(gè)指向二面角的外部，則θ=〈n1，n2〉（圖2）.

■

在應(yīng)用該方法時(shí)，對(duì)法向量方向的判斷是個(gè)難點(diǎn)，本文將給出如下判斷方法：

定理：已知二面角α-l-β，半平面α的法向量為n1，在棱l上任取一點(diǎn)O，在半平面β內(nèi)任取一點(diǎn)A（點(diǎn)A不在棱l上），構(gòu)造輔助向量■，當(dāng)n1·■>0時(shí)，法向量n1指向二面角的內(nèi)部；當(dāng)n1·■<0時(shí)，法向量n1指向二面角的外部（簡(jiǎn)記為“內(nèi)正外負(fù)”）.

證明：根據(jù)數(shù)量積定義，若n1·■>0，則〈n1，■〉∈0，■，因?yàn)閷?duì)平面α，其法向量的方向只有兩個(gè)，所以，易知此時(shí)法向量n1的方向指向二面角的內(nèi)部（如圖1），若n1·■<0，則〈n1，■〉∈■，π，易知此時(shí)n1的方向指向二面角的外部（如圖2）. 同理，可判斷出半平面β的法向量n2的方向，當(dāng)n1，n2方向確定后，即可求出二面角.

該方法的優(yōu)點(diǎn)在于可準(zhǔn)確判斷出每一個(gè)法向量的方向，在實(shí)際應(yīng)用中，輔助向量■并不需要專門(mén)構(gòu)造，只需從已求得的向量中選取即可，這也是該方法簡(jiǎn)便實(shí)用的一個(gè)地方.

評(píng)注：定理中，在半平面β內(nèi)選取輔助向量■時(shí)，我們將起點(diǎn)限定在了棱l上，這主要是為了應(yīng)用方便，并不是必要條件. 實(shí)際上，輔助向量■只需滿足〈■，m〉∈0，■即可，其中向量m是半平面β內(nèi)垂直于棱的一個(gè)向量，其方向如圖3所示.

■方法應(yīng)用舉例

例1 如圖4， 在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=■，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，AF⊥PB.

（1）求PA的長(zhǎng)；

（2）求二面角B-AF-D的余弦值.

■

圖4

解析：（1）略.

（2）如圖4， 連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O. 因?yàn)锽C=CD， AC平分∠BCD，所以AC⊥BD， 過(guò)點(diǎn)O作OM∥AP，則OM⊥平面ABC. 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OM所在直線為x軸，y軸，z軸建立坐標(biāo)系O-xyz.

則OC=CDcos■=1，而AC=4，所以AO=AC-OC=3，易知OD=CDsin■=■，所以A（0，-3，0），B（■，0，0），D（-■，0，0）.

由（1）知F（0，-1，■），故■=（■，3，0），■=（-■，3，0），■=（0，2，■）.

設(shè)平面ABF的法向量為n1=（x1，y1，z1），則由n1·■=0，n1·■=0，得■x1+3y1=0，2y1+■z1=0.取y1=■，得n1=（-3，■，-2）.

設(shè)平面ADF的法向量為n2=（x2，y2，z2），則由n2·■=0，n2·■=0，得-■x2+3y2=0，2y2+■z2=0.

取y2=■，得n2=（3，■，-2）.

？搖？搖所以cos〈n1，n2〉=■=-■.

下面應(yīng)用定理判斷法向量n1，n2的方向：

分別取■，■為法向量n1，n2的輔助向量，由n2·■=6■>0，n1·■=6■>0知，n1，n2均指向二面角的內(nèi)部，由此易知，〈n1，n2〉與二面角A-PD-C的大小是互補(bǔ)的關(guān)系，所以二面角A-PD-C為銳角，其余弦值為■.

點(diǎn)評(píng)：為便于選取輔助向量，在構(gòu)造向量計(jì)算法向量時(shí)，可將二面角棱上的點(diǎn)作為所構(gòu)造向量的起點(diǎn)，如例1中，A，D兩點(diǎn)所構(gòu)成的向量寫(xiě)成■而非■的形式，這樣就省去了找點(diǎn)構(gòu)造輔助向量的麻煩.

例2 如圖5，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD都是等邊三角形.

（1）證明：PB⊥CD；

（2）求二面角A-PD-C的大小.

■

圖5

解析：取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，則四邊形ABED為正方形.過(guò)P作PO⊥平面ABCD，垂足為O.連結(jié)OA，OB，OD，OE. 由△PAB和△PAD都是等邊三角形知PA=PB=PD，所以O(shè)A=OB=OD，即點(diǎn)O為正方形ABED對(duì)角線的交點(diǎn)，故BD⊥AE.

（1）略.

（2）以O(shè)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系O-xyz（如圖5）. 設(shè)■=1，則A（-1，0，0），C（2，-1，0）， D（0，-1，0），P（0，0，1），■=（2，-1，-1），■=（0，-1，-1），■=（-1，0，-1）.

設(shè)平面PCD的法向量為n1=（x1，y1，z1），則由n1·■=0，n1·■=0，得2x1-y1-z1=0，y1+z1=0.取z1=1，得n1=（0，-1，1）.

設(shè)平面PAD的法向量為n2=（x2，y2，z2），則由n2·■=0，n2·■=0，得x2+z2=0，y2+z2=0.取z2=-1，得n2=（1，1，-1）.

？搖？搖所以cos〈n1，n2〉=■=-■.

下面應(yīng)用定理判斷法向量n1，n2的方向：

分別選取■，■為法向量n1，n2的輔助向量，由n1·■=-1<0，n2·■=2>0知，n1指向二面角的外部，n2指向其內(nèi)部. 由此易知，〈n1，n2〉即為二面角A-PD-C的大小，所以二面角A-PD-C為鈍角，其大小為π-arccos■.