支春竹

問(wèn)題提出：

甲、乙兩枚大小相同的硬幣，現(xiàn)將硬幣甲固定在桌上，讓硬幣乙沿著硬幣甲的邊緣無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)一周回到原來(lái)的位置，那么滾動(dòng)的硬幣乙自轉(zhuǎn)了多少圈？

解題思路：

我們同學(xué)拿到這樣的動(dòng)態(tài)幾何題，常常不是用大腦的無(wú)限空間來(lái)思考，而是很自然地想去拿硬幣試試. 任何原理都是在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上猜想再證明得出的，這種想法是很好的，但是，大部分實(shí)驗(yàn)都只是用來(lái)感受的，用來(lái)估測(cè)的，所有實(shí)驗(yàn)都避免不了誤差，所以，實(shí)驗(yàn)只能給你提供一個(gè)目標(biāo)，并不能給你一個(gè)明晰的解答過(guò)程.

既然是運(yùn)動(dòng)的，首先是要明白物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，要學(xué)會(huì)抽象且全面地在圖形上表現(xiàn)出來(lái). 如下圖所示，讓硬幣乙沿著硬幣甲的邊緣無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)一周回到原來(lái)的位置，就抽象成兩個(gè)相切的圓.我們要想知道轉(zhuǎn)的圈數(shù)，就要知道硬幣乙的運(yùn)動(dòng)路程.圓的運(yùn)動(dòng)路程比較容易求出，便是圓心的運(yùn)動(dòng)路程. 在圖中作出圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡.假設(shè)兩個(gè)圓的半徑都為r，由此，我們可以清晰地發(fā)現(xiàn)圓乙（即硬幣乙）的運(yùn)動(dòng)路程就是以圓甲（即硬幣甲）的圓心為圓心，以2r為半徑的圓的周長(zhǎng)，即4πr，它自身的周長(zhǎng)是2πr. 所以一共滾了2圈.

這種方法很容易想到，圓的運(yùn)動(dòng)路程就是圓心的運(yùn)動(dòng)路程是解決本題的關(guān)鍵所在. 當(dāng)然，如果覺(jué)得圖形不易理解，我們還可以趣味想象.

我們先把這兩個(gè)圓看成兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)（即兩個(gè)圓的圓心），但它們有各自的屏障，任何物體必須和它們保持r的距離，那么這兩個(gè)點(diǎn)距離最近為2r. 現(xiàn)在，其中一個(gè)點(diǎn)想360°地觀察另一個(gè)點(diǎn)，則它要行走4πr的路程，回歸原題，可知一共滾了2圈.

反思總結(jié)：

這個(gè)問(wèn)題的解決可以分兩步走：第一步把這個(gè)問(wèn)題看作是一個(gè)平移，硬幣乙平移的路程是硬幣甲的一個(gè)周長(zhǎng)；第二步看作硬幣乙的旋轉(zhuǎn)，硬幣自轉(zhuǎn)一周的路程是硬幣乙的周長(zhǎng). 再用硬幣乙平移的路程除以硬幣乙的周長(zhǎng)就是硬幣乙自轉(zhuǎn)的圈數(shù).

實(shí)驗(yàn)讓我們明確探究的方向，對(duì)問(wèn)題有感性的認(rèn)識(shí)，理性的思考更會(huì)讓我們透視問(wèn)題的本質(zhì)，正如華羅庚所說(shuō)，“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，您說(shuō)是嗎？endprint