孟會賢，曹懷信

（陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院，陜西 西安 710119）

效應(yīng)代數(shù)是產(chǎn)生于量子信息理論的一類重要代數(shù)結(jié)構(gòu).在量子力學中，量子系統(tǒng)用一個復(fù)的Hilbert空間H描述，系統(tǒng)的可觀測量用H上的正壓縮算子表示，量子效應(yīng)的全體是C＊-代數(shù)B（H）中的一個閉凸集:

它具有部分二元運算A⊕BA＋B且每一個量子效應(yīng)T都有唯一的補元T′滿足T⊕T′＝I，稱ε（H）為 Hilbert空間效應(yīng)代數(shù)［1－10］.抽象效應(yīng)代數(shù)概念是由Foulis和Bennett在文獻［1］中提出的，其目的是表示不可精確測量的量子邏輯結(jié)構(gòu).它不僅包括Hilbert空間效應(yīng)代數(shù)，還包括正交模格、Boolean代數(shù)、模糊集系統(tǒng)等代數(shù)結(jié)構(gòu).抽象效應(yīng)代數(shù)不一定形如ε（H）.為了研究效應(yīng)代數(shù)的分類問題，文獻［11］引入并討論了效應(yīng)代數(shù)的表示問題.文獻［12］進一步研究了效應(yīng)代數(shù)表示與弱表示問題.在文獻［13］中，我們利用態(tài)空間的性質(zhì)，建立了可表示效應(yīng)代數(shù)的刻畫定理，由此給出可表示效應(yīng)代數(shù)的一些運算性質(zhì).特別研究了效應(yīng)代數(shù)的張量積的表示問題.基于態(tài)空間在研究效應(yīng)代數(shù)表示問題中的重要性，文獻［14］討論了效應(yīng)代數(shù)上態(tài)的存在性，給出一些效應(yīng)代數(shù)的態(tài)空間.文獻［15］利用D-test空間，證明了兩個效應(yīng)代數(shù)E1與E2的張量積存在的充分必要條件是存在一個效應(yīng)代數(shù)F及雙態(tài)射σ:E1×E2→F；同時，還指出兩個效應(yīng)代數(shù)的張量積在同構(gòu)意義下是唯一的.

由于效應(yīng)代數(shù)張量積的定義是“存在性的”且使用了“范疇”的思想，并不是“構(gòu)造性”，所以構(gòu)造具體效應(yīng)代數(shù)的張量積顯得十分困難.本文將給出幾個重要效應(yīng)代數(shù)的張量積的構(gòu)造，并討論它們的可表示性.

1 基本概念

定義1 設(shè)E為非空集合，0與1是E中兩個不同的元素，⊕是E上的一個部分二元運算，滿足下列條件:

（E1）交換律:當a、b∈E且a⊕b有定義（記作a⊥b）時，b⊥a且a⊕b＝b⊕a；

（E2）結(jié)合律:當a、b、c∈E，a⊕b且（a⊕b）⊥c時，b⊥c、a⊥（b⊕c）且（a⊕b）⊕c＝a⊕（b⊕c）；

（E3）正交補:對于任意的a∈E，都存在唯一的b∈E使得a⊕b＝1（b稱為a的正交補，記作a′）；

（E4）0-1律:當a∈E且a⊥1時，有a＝0，則稱（E，⊕，0，1）為一個效應(yīng)代數(shù)，簡稱E為一個效應(yīng)代數(shù).

顯然（［0，1］，＋，0，1）為效應(yīng)代數(shù).

定義2 設(shè)E與F為兩個效應(yīng)代數(shù)，如果映射φ:E→F滿足:a、b∈E，a⊥b?φ（a）⊥φ（b）且φ（a⊕b）＝φ（a）⊕φ（b）成立，那么稱φ:E→F是可加的.若φ:E→F為一個可加映射，且滿足φ（1）＝1，則稱φ:E→F為態(tài)射.特別地，若φ:E→［0，1］為態(tài)射，則稱φ為E上的態(tài)，E上所有態(tài)的集合記作S（E）.若φ:E→F為態(tài)射且當a、b∈E，φ（a）⊥φ（b）時，有a⊥b成立，則稱φ:E→F為單調(diào)態(tài)射.一個滿的單調(diào)態(tài)射φ:E→F稱為從E到F上的同構(gòu).如果存在同構(gòu)φ:E→F，則稱E和F是同構(gòu)的.

定義3［11］設(shè)E為效應(yīng)代數(shù)，若存在 Hilbert空間H和單調(diào)態(tài)射φ:E→ε（H），則稱E是可表示的，且稱（φ，H）是E的一個表示；否則，稱E是不可表示的.

定理1［13］設(shè)E為效應(yīng)代數(shù)，S（E）≠?，則下列論述等價:

（1）E是可表示的；

（2）x、y∈E，f（x）＋f（y）≤1（?f∈S（E））?x⊥y.

定義4［15］設(shè)E1、E2、E均為效應(yīng)代數(shù)，若映射σ:E1×E2→E滿足下列條件:

（1）σ（1，1）＝1；

（2）?x∈E1，σ（x，·）:E2→E是可加的；

（3）?y∈E2，σ（·，y）:E1→E是可加的，則稱σ為雙態(tài)射.

由定義可知:

推論1 設(shè)映射σ:E1×E2→E為雙態(tài)射，則

（1）當x∈E1、n∈N且nx有定義（即n個x是可加的）時，對于任意y∈E2，nσ（x，y）也有定義，且σ（nx，y）＝nσ（x，y）；

（2）當y∈E2、m∈N且my有定義時，對于任意x∈E1，mσ（x，y）也有定義，且σ（x，my）＝mσ（x，y）.

定義5［15］若存在雙態(tài)射σ:E1×E2→E使得

（1）對于任意的效應(yīng)代數(shù)F及雙態(tài)射β:E1×E2→F，都存在態(tài)射φ:E→F使得φ?σ＝β；

考慮到范疇角度研究效應(yīng)代數(shù)的張量積的抽象性，我們構(gòu)造出幾類效應(yīng)代數(shù)的張量積，并討論它們的可表示性.

2 主要結(jié)果

命題1 若效應(yīng)代數(shù)E＝E1?σE2，效應(yīng)代數(shù)F＝E1?τE2，則E與F是同構(gòu)的.

所以φ?φ＝I｜E.同理，φ?φ＝I｜F.故態(tài)射為φ的逆映射為態(tài)射φ，因此φ:E→F為效應(yīng)代數(shù)同構(gòu)，從而效應(yīng)代數(shù)E與效應(yīng)代數(shù)F是同構(gòu)的.

命題2 設(shè)（E，0，1，⊕）為效應(yīng)代數(shù)，若定義映射σ:｛0，1｝×E→E為σ（x，y）＝0，其中x＝0或y＝0；σ（1，a）＝a，?a∈E，則E＝｛0，1｝⊕σE.

證明 顯然，σ（1，1）＝1，σ（0，·）:E→E是可加的，且?x∈E，σ（·，x）:｛0，1｝→E是可加的.設(shè)x、y∈E，x⊥y，由σ定義知σ（1，x）⊥σ（1，y）且σ（1，x⊕y）＝σ（1，x）⊕σ（1，y），因此σ（1，·）:E→E是可加的，所以σ是雙態(tài)射.設(shè)L為任意效應(yīng)代數(shù)，β:｛0，1｝×E→L為雙態(tài)射，令φ:E→L為φ＝β（1，·），則φ為態(tài)射，又由σ、φ的定義知φ?σ＝β，故定義5的條件（1）滿足.顯然，定義5的條件（2）滿足，所以E＝｛0，1｝?σE.證畢.

對任意m∈N＋，記

其中0a＝0，ma＝1.當r＋s≤m時，定義ra⊕sa＝（r＋s）a，則（Cm（a），⊕，0，1）為可表示的效應(yīng)代數(shù)［文獻10，例2.8］.下面構(gòu)造效應(yīng)代數(shù)Cm（a）與Cn（a）的張量積，并討論它的可表示性.

命題3 設(shè)映射σ:Cm（a）×Cn（b）→Cmn（c）為σ（ra，sb）＝rsc，則σ為雙態(tài)射，且Cm（a）?σCn（b）＝Cmn（c）.

證明 容易驗證:σ為雙態(tài)射.先證明定義5的條件（1）滿足.對于任意的效應(yīng)代數(shù)L及雙態(tài)射β:Cm（a）×Cn（b）→L，定義φ:Cmn（c）→L為φ（tc）＝tβ（a，b）（?t∈Δmn），則φ為 態(tài)射，且 ?r∈Δm，s∈Δn有

由此可見φ?σ＝β.對任意的t∈Δmn，記t＝ms＋r，其中r＝0，1，…，m－1；s＝0，1，…，n；則

從而，定義5的條件（2）滿足.故Cmn（c）為效應(yīng)代數(shù)Cm（a）與Cn（b）關(guān)于σ的張量積，即Cm（a）?σCn（b）＝Cmn（c）.證畢.

在集合C′4（y，z）＝｛0，y，z，1｝上定義運算⊕，定義:y⊕z＝z⊕y＝1，u⊕0＝0⊕u＝u（u＝0，y，z，1），則（C′4（y，z），⊕，0，1）為效應(yīng)代數(shù).由文獻［12］知:C′4（y，z）是可表示的效應(yīng)代數(shù).

下面構(gòu)造效應(yīng)代數(shù)C2（x）與C′4（y，z）的張量積，并討論它的可表示性.

命題4 設(shè)E＝｛0，a，b，c，d，e，f，1｝，在集合E上定義運算⊕如下:

⊕0 a b c d e f g 1 0 0 a b c d e f g 1 a a d f b g 1 b b f 1 g c c b g e f 1 d d f 1 e e g 1 f f 1 g g 1 1 1

則

（1）（E，0，1，⊕）是可表示的效應(yīng)代數(shù)，其態(tài)空間為S（E）＝｛φλ:λ∈［0，0.5］｝，其中

（2）C2（x）?σC′4（y，z）＝E，其中映射σ:C2（x）×C′4（y，z）→E為

證明 （1）容易檢驗:E是效應(yīng)代數(shù).對任意λ∈［0，0.5］，容易驗證φλ為E上的態(tài)射.設(shè)φ∈S（E），φ（a）＝λ，由b⊕b＝1知1＝φ（1）＝φ（b⊕b）＝φ（b）＋φ（b），因此φ（b）＝0.5.類似可知

故λ∈［0，0.5］且φ＝φλ，所以S（E）＝｛φλ:λ∈［0，0.5］｝.可以驗證:當p、q∈E不可加時，必有E的態(tài)φλ使得φλ（p）＋φλ（q）＞1.從而，定理1中條件（2）成立，所以（E，0，1，⊕）是可表示的效應(yīng)代數(shù).

（2）容易驗證:σ為雙態(tài)射.設(shè)L為任意效應(yīng)代數(shù)，β:C2（x）×（y，z）→L為雙態(tài)射，因為在（y，z）中y⊥z，β（x，·）是可加的，所以β（x，y）⊥β（x，z），且

因為在C2（x）中x⊥x，β（·，y）、β（·，z）是可加的，所以β（x，y）⊥β（x，y）、β（x，z）⊥β（x，z）且

又因為映射β（1，·）:（y，z）→L是可加的，所以β（1，y）⊥β（1，z），故

由L為效應(yīng)代數(shù)知:β（x，y）⊥β（1，z），β（x，z）⊥β（1，y）.

定義φ:E→L為

則φ為態(tài)射，且（φ·σ）（u，v）＝0＝β（u，v），其中u＝0或v＝0.由于

所以φ?σ＝β，故定義5條件（1）成立.由于

所以定義5中的條件（2）滿足.因此，E為效應(yīng)代數(shù)C2（x）與C′4（y，z）關(guān)于σ的張量積，即E＝C2（x）?σC′4（y，z）.證畢.

在集合C4（y，z）＝｛0，y，z，1｝上定義運算⊕，定義:

其中（u＝0，y，z，1），則（C4（y，z），⊕，0，1）為效應(yīng)代數(shù)，且S（C4（y，z））＝｛φ｝，其中φ（0）＝0，φ（1）＝1，φ（y）＝0.5，φ（z）＝0.5.由文獻［12］知:C4（y，z）是不可表示的效應(yīng)代數(shù).下面構(gòu)造效應(yīng)代數(shù)C2（x）與C4（y，z）的張量積，并討論它的可表示性.

命題5 設(shè)E＝｛0，a，b，c，d，e，f，1｝，在集合E上定義運算⊕如下:

⊕0 a b c d e f 1 0 0 a b c d e f 1 a a c d e f 1 b b d c f e 1 c c e f 1 d d f e 1 e e 1 f f 1 1 1

則

（1）（E，⊕，0，1）為不可表示的效應(yīng)代數(shù)，其態(tài)空間為S（E）＝｛φ｝，其中

（2）E＝C2（x）?σC4（y，z），其中映射σ:C2（x）×C4（y，z）→E為

σ（u，v）＝0（u＝0或v＝0），

證明 （1）容易驗證（E，⊕，0，1）為效應(yīng)代數(shù)，φ∈S（E）.設(shè)φ∈S（E），由c⊕c＝1知1＝φ（1）＝φ（c⊕c）＝φ（c）＋φ（c），因此φ（c）＝0.5.類似可知φ（0）＝0，φ（1）＝1，φ（a）＝0.25，φ（b）＝0.25，φ（d）＝0.5，φ（e）＝0.75，φ（f）＝0.75.故φ＝φ，因此S（E）＝｛φ｝.由φ（a）＋φ（f）＝1，但由a與f不可加可知:定理1中條件（2）不成立，故E是不可表示的效應(yīng)代數(shù).

（2）容易驗證σ為雙態(tài)射.設(shè)L為任意效應(yīng)代數(shù)，β:C2（x）×C4（y，z）→L為雙態(tài)射.

因為在C4（y，z）中y⊥y、z⊥z，β（x，·）是可加的，所以β（x，y）⊥β（x，y），β（x，z）⊥β（x，z），且

因為在C2（x）中x⊥x，且映射β（·，1）是可加的，所以β（x，1）⊥β（x，1），且

1＝β（1，1）＝β（x⊕x，1）＝β（x，1）⊕β（x，1）.

由L為效應(yīng)代數(shù)知:

又因為在C2（x）中x⊥x，β（·，y）:C2（x）→L，β（·，z）:C2（x）→L是可加的，所以

定義φ:E→L為

則φ為態(tài)射，且（φ?σ）（u，v）＝0＝β（u，v），其中u＝0或v＝0.因為

所以φ?σ＝β，故定義5條件（1）成立.又因為0＝σ（0，0），a＝σ（x，y），b＝σ（x，z），c＝σ（x，1），1＝σ（1，1），d＝σ（x，y）⊕σ（x，z），e＝σ（x，y）⊕σ（x，1），f＝σ（x，y）⊕σ（x，1），所以定義5條件（2）成立.故由定義5知:E為效應(yīng)代數(shù)C2（x）與C4（y，z）關(guān)于σ的張量積.

3 結(jié)語

本文證明了效應(yīng)代數(shù)的張量積的唯一性，給出幾類典型效應(yīng)代數(shù)的張量積的具體構(gòu)造，討論了它們的可表示性.本文使用的方法對研究一般效應(yīng)代數(shù)的張量積結(jié)構(gòu)也有一定的參考價值.

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