張 燕，寇冰煜，毛 磊

（1．南京理工大學 理學院，南京210094；2．解放軍理工大學 理學院，南京211101）

隨著社會需要的發(fā)展，保險公司為吸引更多的客戶，紛紛推出各種分紅保險，即投保人可以得到傳統(tǒng)保單規(guī)定的保險責任外，還可以從保險公司經營的利潤中獲得較高的投資回報．保險風險理論中的紅利策略是De Finetti于1957年首先提出的．與盈余相關的紅利策略有兩種：①常值紅利邊界策略，當保險公司的盈余低于常值邊界時，公司不會給股東發(fā)放紅利，當保險公司盈余到達常值紅利邊界時，公司便將超出常值邊界的盈余全部作為紅利發(fā)給股東．文獻［1］研究了這種分紅策略下帶利率的對偶風險模型．文獻［2］研究了這種策略下的對偶風險模型的分紅問題；②閾紅利策略，當保險公司盈余低于常值邊界時，公司不會給股東發(fā)放紅利，但當保險公司盈余高于常值紅利邊界時，公司會以速率r向股東發(fā)放紅利（其中r＜c，c為保費率），直到其盈余低于該固定值為止．文獻［3］研究了閾紅利策略下帶常利率和干擾的泊松風險模型的絕對破產問題．文獻［4］研究了閾紅利策略在對偶風險模型中的最優(yōu)問題．

在常值紅利邊界下保險公司的最終破產概率為1．實際經營中應對紅利的發(fā)放加以限制來減小保險公司的最終破產概率，若將保險公司所定的紅利邊界設置為依賴于時間的邊界即線性紅利邊界恰能克服這一缺陷，文獻［5］研究了線性紅利邊界下經典風險模型，文獻［6］研究了線性紅利邊界下帶干擾的經典風險模型．考慮到保險公司的實際經營會受利率等不確定性因素的影響，本文對以上文獻中的模型進行推廣，在線性分紅策略下研究帶干擾的經典風險模型，該模型既有利于吸引顧客又達到了降低最終破產概率的目的，對經營者更具有實際的指導意義．

1 模型介紹

1．1 預備知識

在風險理論中，帶干擾的經典風險模型為

1．2 模型的建立

在模型式（1）和式（2）的基礎上，文中研究如下具有線性閾紅利邊界的帶干擾的風險模型

式中：c1為單位時間公司收取的保費；α（0＜α≤c1）為紅利率，即當盈余超過紅利邊界bt時，紅利以α分發(fā)．發(fā)完紅利之后的凈保費率以c2＝c1-α≥0表示．設Wi表示第i-1次與第i次理賠出現(xiàn)的時間間隔，｛Wi；i≥1｝是獨立同分布的非負隨機變量序列且服從參數為λ的指數分布，其概率密度函數為k（t）＝λe-λt，t＞0．設｛Xi；i≥1｝是獨立同分布的非負隨機變量，共同的密度函數為p（x），并假設｛Xi；i≥1｝，｛Ti；i≥1｝和｛W（t）；t≥0｝相互獨立．

為保證保險公司運行上的安全，假定安全負載條件為

1．3 相關定義

定義風險模型式（3）的破產時刻Tb為

如果Tb＝∞，則認為保險公司永不破產．破產概率為

生存概率為

相應的罰金折現(xiàn)期望函數，又稱Gerber-Shiu函數為

其中：I（·）為示性函數ω（x1，x2），0≤x1，x2＜ ∞為一非負函數；δ為一非負常數，e-δTb為折罰因子，Ub（Tb-）為破產前瞬時盈余，｜Ub（Tb）｜ 為破產赤字．

函數m（u，b）包含了Tb，Ub（Tb-）和｜Ub（Tb）｜的很多信息．令δ＝0，ω（x1，x2）＝1，式（4）即為破產概率ψ（u，b）；令δ＝0，ω（x1，x2）＝I（x1，x2），式（4）即為破產前瞬時盈余和破產赤字的聯(lián)合分布函數；令ω（x1，x2）＝1，式（4）即為破產時刻Tb的Laplace變換．

2 主要結果

2．1 定義算子

2．2 罰金折現(xiàn)函數、破產概率及生存概率滿足的積分-微分方程

2．3 罰金折現(xiàn)函數滿足的更新方程

2．4 罰金折現(xiàn)函數的解析表達式

3 結 論

將文獻［1-4］中的紅利策略推廣為線性閾紅利策略時，考慮到保險公司的實際經營受市場利率等不確定性因素影響，建立了具有線性閾紅利邊界的帶干擾的風險模型式（3），推導出了相應的罰金折現(xiàn)函數、破產概率及生存概率滿足的積分-微分方程，推廣了文獻［8-9］中相應結果．特別地，當保險公司的實際經營受利率等不確定性因素影響，且存在常數閾紅利策略時，推導出了罰金折現(xiàn)函數滿足的更新方程及確切的解析表達式．

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