劉應(yīng)如 ，曾 亮，李 歡，鄧 軍，張 平

1.中國(guó)石油勘探開(kāi)發(fā)研究院西北分院，甘肅 蘭州730020

2.蘭州大學(xué)地質(zhì)科學(xué)與礦產(chǎn)資源學(xué)院，甘肅 蘭州730000

3.中國(guó)石油天然氣勘探開(kāi)發(fā)公司，北京 西城100034

4.中國(guó)石油長(zhǎng)慶油田分公司生產(chǎn)運(yùn)行處，陜西 西安710018

引 言

自1936 年Schilthuis R J 利用物質(zhì)守恒原理，首先建立油藏的物質(zhì)平衡方程式以來(lái)，它在油藏工程中得到了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展[1]。該方程很久以來(lái)就被認(rèn)為是油藏工程師解釋和預(yù)測(cè)油藏動(dòng)態(tài)的基本方法之一[2]。物質(zhì)平衡方程應(yīng)用所涉及的一系列復(fù)雜性都隱含在生產(chǎn)壓力動(dòng)態(tài)中，同時(shí)它的求解一般情況下也不需要確定油藏幾何形態(tài)，因而油田實(shí)踐中在應(yīng)用一些更復(fù)雜的技術(shù)（如二維、三維油藏?cái)?shù)值模擬技術(shù)）之前，往往先應(yīng)用油藏物質(zhì)平衡方程進(jìn)行計(jì)算求取油藏基本參數(shù)如油藏原始地質(zhì)儲(chǔ)量和水體參數(shù),以及預(yù)測(cè)油藏動(dòng)態(tài)等。當(dāng)前在石油工程領(lǐng)域關(guān)于物質(zhì)平衡計(jì)算的商業(yè)軟件種類繁多，如Petex 的MBAL、Weatherford 的MatBal 和Epic 的Resbalance 等，其計(jì)算成本往往較高。傳統(tǒng)的物質(zhì)平衡計(jì)算方法則常常需進(jìn)行線性化處理后常需多次手工試算[3]，計(jì)算效率較低，而采用非線性規(guī)劃的方法來(lái)求解油藏物質(zhì)平衡問(wèn)題，可以在僅已知少數(shù)實(shí)測(cè)油藏壓力以及生產(chǎn)數(shù)據(jù)的情況下，通過(guò)計(jì)算機(jī)自動(dòng)求得較準(zhǔn)確的油藏基本參數(shù)，同時(shí)求出水體平均壓力變化情況以及水侵動(dòng)態(tài)。

1 物質(zhì)平衡方程

油藏物質(zhì)平衡方程描述了油藏條件下，油藏膨脹的體積連同孔隙體積的減小以及外來(lái)流體的侵入等于油藏條件下產(chǎn)出液體的總量。本文所涉及的算例其油藏驅(qū)動(dòng)方式屬于天然水驅(qū)油藏，對(duì)應(yīng)的油藏物質(zhì)平衡方程如下

2 水侵量計(jì)算

水侵量計(jì)算是物質(zhì)平衡方程中非常重要的一部分，有大量的文獻(xiàn)描述水侵模型以及計(jì)算水侵量的方法[4-5]，中國(guó)很多學(xué)者在該領(lǐng)域也進(jìn)行了深入的研究和探索，針對(duì)不同水侵類型分別給出了求解算法[6]，以及在最優(yōu)化理論[7-8]、積分變換與數(shù)值反演[9-13]等理論基礎(chǔ)上提出了一系列水侵量計(jì)算方法，而李傳亮等基于油氣藏生產(chǎn)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)提出了水侵量的礦場(chǎng)簡(jiǎn)易計(jì)算方法[14-16]。本文的相關(guān)計(jì)算是在Fetkovich 水侵模型[5]的基礎(chǔ)上，利用最優(yōu)化理論來(lái)實(shí)現(xiàn)的。選擇Fetkovich 模型的原因有二：（1）Hurst 和van Everdingen 模型[5]（為表示方便，下文中簡(jiǎn)寫(xiě)為H-V 模型）需要知道水體形狀和大小，而Fetkovich 模型只需要知道水體大小，因此工程實(shí)踐中更容易獲取相關(guān)數(shù)據(jù)；（2）Fetkovich 模型消除了H-V 模型中每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的疊加解的復(fù)雜性，相關(guān)計(jì)算更簡(jiǎn)單。當(dāng)然也可以使用更為嚴(yán)格的H-V 模型，但這種模型在計(jì)算上需要付出更多計(jì)算機(jī)時(shí)而在精度上卻沒(méi)有明顯提高，在產(chǎn)水量不精確的情況下尤為明顯。

Fetkovich M J 于1971 年提出了水侵量的近似計(jì)算公式[5]。為了便于描述水侵過(guò)程，引入了流入動(dòng)態(tài)方程并假設(shè)壓力在原始油藏和水體邊界處保持恒定，實(shí)際上，隨著油藏的開(kāi)采，油藏與水體邊界處的壓力不斷發(fā)生變化，這時(shí)如果把油藏與水體邊界的壓力變化劃分為幾個(gè)有限的時(shí)間步長(zhǎng)，就可以滿足定壓條件，從而可直接計(jì)算，避免了使用疊加方法。第n 個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的水侵量計(jì)算公式為[3]

3 非線性規(guī)劃求解

問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是把有“實(shí)測(cè)油藏壓力”（p0,n）數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的“計(jì)算油藏壓力”（pn）求出之后，通過(guò)擬合實(shí)測(cè)油藏壓力來(lái)實(shí)現(xiàn)求取地質(zhì)儲(chǔ)量N、水侵系數(shù)J以及最大水侵量Wei，階段水侵量ΔWe及階段累計(jì)水侵量We，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解目標(biāo)函數(shù)F(N,J,Wei)的最小值問(wèn)題，它是一具有線性約束條件的非線性規(guī)劃問(wèn)題

約束條件

N ＞0，J ≥0，Wei≥0。

求解非線性規(guī)劃問(wèn)題通常的解法是將約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問(wèn)題求解[18-20]，有很多較為成熟的算法，本文非線性規(guī)劃求解具體實(shí)現(xiàn)的流程如圖1 所示，實(shí)現(xiàn)的算法描述如下：

圖1 規(guī)劃求解計(jì)算流程圖Fig.1 The calculating flow chart for programming solution

（1）根據(jù)給定的pi值以及J、Wei的初始估計(jì)值，得到N 初值；

（2）將式（5）設(shè)為規(guī)劃求解最小值問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)設(shè)定其對(duì)應(yīng)的約束條件，即N ＞0，J ≥0，Wei≥0；

（3）求解該非線性規(guī)劃問(wèn)題，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)達(dá)到預(yù)先設(shè)定的精度時(shí)，生產(chǎn)數(shù)據(jù)的歷史擬合過(guò)程完成，求解結(jié)束，此時(shí)預(yù)先估計(jì)的參數(shù)即N、J 和Wei達(dá)到最佳估計(jì)值。然后根據(jù)式（2）可以確定每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的水侵量和相應(yīng)的累計(jì)水侵量。

4 實(shí)例分析

實(shí)例：某油藏[2]，具有強(qiáng)天然水驅(qū)特征，該實(shí)例在多篇SPE 文獻(xiàn)中用作經(jīng)典算例[21-23]，油藏原始生產(chǎn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1（部分原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了單位換算）。

對(duì)表1 所示數(shù)據(jù)進(jìn)行整理并通過(guò)式（1）、式（2）分別計(jì)算出“計(jì)算油藏壓力”和每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的水侵量，然后利用規(guī)劃求解對(duì)(pn-p0,n)2各項(xiàng)之和求最小值，最后求得擬合的計(jì)算結(jié)果。

表1 油藏生產(chǎn)數(shù)據(jù)Tab.1 Production data of the reservoir

最終計(jì)算該非線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)F =∑(pn-p0,n)2= 10 616.50 psi2，相關(guān)的油藏參數(shù)計(jì)算結(jié)果與H-V 模型的無(wú)因次水侵量方法計(jì)算結(jié)果[2]對(duì)比如表2 所示，擬合過(guò)程中的油藏壓力、水侵量計(jì)算如表3 所示，最終油藏壓力、水侵量擬合結(jié)果分別如圖2、圖3 所示。

由計(jì)算結(jié)果可知，“計(jì)算油藏壓力”和“實(shí)測(cè)油藏壓力”各時(shí)間步長(zhǎng)相對(duì)誤差的絕對(duì)值均小于3%（見(jiàn)表3，圖2），計(jì)算水侵量同H-V 模型計(jì)算結(jié)果也非常接近（圖3）。同時(shí)其他油藏參數(shù)（油藏地質(zhì)儲(chǔ)量、最大水侵量和水侵指數(shù)等）擬合計(jì)算結(jié)果也基本一致，其相對(duì)誤差的絕對(duì)值均小于5%（表2），這說(shuō)明得到的計(jì)算結(jié)果是可靠的。

表2 油藏基本參數(shù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析Tab.2 Comparative analysis of calculation results of basic reservoir parameters

圖2 壓力擬合結(jié)果Fig.2 Fitting result of pressure

圖3 水侵量計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.3 Calculated results comparison of water flux

5 結(jié) 語(yǔ)

（1）利用規(guī)劃求解對(duì)一經(jīng)典算例進(jìn)行了基于非線性規(guī)劃的物質(zhì)平衡計(jì)算，求得了較準(zhǔn)確的油藏基本參數(shù)——油藏地質(zhì)儲(chǔ)量、最大水侵量和水侵指數(shù)，同時(shí)求出了水體平均壓力變化情況以及水侵動(dòng)態(tài)。

（2）該方法相對(duì)于該領(lǐng)域的商業(yè)軟件計(jì)算成本更低、計(jì)算過(guò)程更簡(jiǎn)單；相對(duì)于傳統(tǒng)物質(zhì)平衡計(jì)算不需要進(jìn)行線性化處理和多次手工試算，在已知少數(shù)實(shí)測(cè)油藏壓力以及生產(chǎn)數(shù)據(jù)的情況下，能自動(dòng)求得較準(zhǔn)確的油藏基本參數(shù)如原始地質(zhì)儲(chǔ)量和水體參數(shù)等，其可操作性強(qiáng)、計(jì)算方法可靠。

符號(hào)說(shuō)明

Np—地面條件下累計(jì)原油產(chǎn)量，MMstb(1 MMstb =1.59×105m3)；

Bo—原油體積系數(shù)，無(wú)因次；

Rp—累計(jì)氣油比，無(wú)因次；

Rs—溶解氣油比，無(wú)因次；

Bg—?dú)怏w體積系數(shù)，無(wú)因次；

N—地面條件下原油儲(chǔ)量，MMstb；

Boi—原始原油體積系數(shù)，無(wú)因次；

Rsi—原始溶解氣油比，無(wú)因次；

cw—水的壓縮系數(shù)，psi-1(1 psi=6 895 Pa)；

cf—總壓縮系數(shù)，psi-1；

Swc—束縛水飽和度，%；

Δp—目前地層壓降，psi；

We—累計(jì)水侵量，MMstb；

Wp—累計(jì)產(chǎn)水量，MMstb；

Bw—水的體積系數(shù)，無(wú)因次；

ΔWe,n—第n 個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的水侵量，MMstb；

Wei—最大水侵量，MMstb；

pi—原始地層壓力，psi；

J—水侵常數(shù)，stb/(d·psi)(1 stb=0.159 m3)；

Δtn—第n 個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)，d；

We,n-1—前n-1 個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的累計(jì)水侵量，MMstb；

pn-1—第n-1 個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)末的油藏壓力，psi；

pn—第n 個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)末的油藏壓力，psi；

p0,n—第n 個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)末的實(shí)測(cè)油藏壓力，psi。

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