蔡青

有的數(shù)學(xué)問題，如果借助適當(dāng)?shù)臄?shù)量關(guān)系模型，會使問題的分析解決變得很輕松。在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊教材里，當(dāng)教學(xué)完圓柱、比例這兩個內(nèi)容后，有些練習(xí)題中偶爾會出現(xiàn)一種難題：蠟燭問題。因為題目涉及的是兩根粗細(xì)不同的蠟燭的燃燒時間及相應(yīng)的蠟燭長度的關(guān)系，所以姑且將這類問題叫做蠟燭問題。

解決這種問題著實困難。有人把這個問題看作工程問題，將蠟燭長度看作工作總量，燃燒時間看作工作時間，單位時間內(nèi)蠟燭燃燒的長度看作工作效率，利用方程解決問題，但要用算術(shù)方法解決問題卻很難。其實，如果看清了蠟燭問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，借助圓柱體積這個模型，用算術(shù)方法解題就會很輕松地突破。

相同材質(zhì)蠟燭的燃燒時間是由蠟燭的體積決定的。蠟燭問題通常是告訴兩根蠟燭各自能夠燃燒的總時間及長度關(guān)系，再告訴燃燒一段時間后的長度關(guān)系，求這段燃燒的時間。兩根蠟燭同時燃燒的過程中，剩余蠟燭燃燒時間的差（即蠟燭體積差）是不變的，將這個不變的差作為單位“1”，利用分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的原理，就很容易求出這個時間。下面，筆者通過幾個例子來講解這種方法。同時，以工程問題的數(shù)量關(guān)系模型探討用方程解決的方法，僅供參考。

例1.兩根同樣長的蠟燭，點完一根粗蠟燭要2小時，點完一根細(xì)蠟燭要1小時，一天晚上停電，明明同時點燃了這兩根蠟燭看書，若干分鐘后來電了，明明將兩根蠟燭同時熄滅，發(fā)現(xiàn)粗蠟燭的長是細(xì)蠟燭的2倍，問停電多少分鐘？

方法一：

兩根蠟燭的燃燒總時間分別為2小時、1小時，則它們的體積之比為2：1，原來同樣長，則高的比為1：1，故底面積之比為（2÷1）：（1÷1）=2：1，后來高的比為2：1，則后來體積比為（2×2）：（1×1）=4：1，體積比由2：1變?yōu)?：1后，體積差沒有變，通過計算粗蠟燭或細(xì)蠟燭剩下體積占體積差的分率即可計算燃燒時間為（2-1）×（[22-1]-[44-1]）×60=40（分鐘）。

體積比變化 粗蠟燭 細(xì)蠟燭 粗占差 細(xì)占差

原來 2 ： 1 [22-1] [12-1]

后來 2×2 ： 1×1 [2×22×2-1×1] [1×12×2-1×1]

綜合算式：（2-1）×（[22-1]-[2×22×2-1×1]）×60=40（分鐘）

或：（2-1）×（[12-1]-[1×12×2-1×1]）×60=40（分鐘）

方法二：

粗細(xì)蠟燭的燃燒時間分別為2小時、1小時，燃燒速度可看作每小時分別燃燒蠟燭的[12]、1，將兩根蠟燭原來的長度看著單位“1”，根據(jù)剩下蠟燭長度比2：1，可看作剩下工作總量的比為2：1，即：

工作效率 × 工作時間 = 工作總量 剩下工作量

燃燒速度 × 燃燒時間 = 燃燒長度 剩下長度

粗蠟燭 [12] × X = [12]X 1-[12]X

細(xì)蠟燭 1 × X = X 1-X

解：設(shè)停電了X小時，

（1-[12]X）：（1-X）=2：1

X=[23]

停電的時間：[23]×60=40（分鐘）

答：停電了40分鐘。

例2.有粗細(xì)不同的兩支蠟燭，細(xì)蠟燭長度是粗蠟燭長度的2倍，點完細(xì)蠟燭需要1小時，點完粗蠟燭需要2小時。有一次停電，將這兩根蠟燭同時點燃，來電時，兩只蠟燭的長度一樣，那么，此次停電共停了多少時間？

方法一：

利用例1的數(shù)量關(guān)系模型直接對比得

體積比變化 粗蠟燭 細(xì)蠟燭 粗占差 細(xì)占差

原來 2 ： 1 [22-1] [12-1]

后來 2÷1 ： 1÷2 [2÷12÷1-1÷2] [1÷22÷1-1÷2]

綜合算式：（2-1）×（[22-1]-[2÷12÷1-1÷2]）=[23]（小時）

或：（2-1）×（[12-1]-[1÷22÷1-1÷2]）=[23]（小時）

方法二：

利用例1數(shù)量關(guān)系模型直接對比得：

工作效率 × 工作時間 = 工作總量 剩下工作量

燃燒速度 × 燃燒時間 = 燃燒長度 剩下長度

粗蠟燭 [12] × X = [12]X 1-[12]X

細(xì)蠟燭 [21] × X = 2X 2-2X

解：設(shè)停電了X小時，

（1-[12]X）：（2-2X）=1：1

X=[23]

答：停電了[23]小時。

例3.有兩根粗細(xì)相同、材質(zhì)相同、長度不同的蠟燭。開始時短蠟燭長度是長蠟燭長度的[35]，將其同時點燃10分鐘后，短蠟燭長度是長蠟燭長度的[25]，那么長蠟燭比短蠟燭能多燃燒多長時間？

方法一：

粗細(xì)相同，說明長度比就是總時間的比，也就是體積比，與前面例題相反，例1、例2都是告訴總時間差求燃燒時間，此題是告訴燃燒時間求兩根蠟燭的燃燒總時間，根據(jù)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的原理，只需將兩根蠟燭的燃燒總時間差看作單位“1”，通過長蠟燭或短蠟燭找到燃燒時間占總時間差的分率即可求得。

長蠟燭 短蠟燭 長占差 短占差

原來 5 ： 3 [55-3] [35-3]

后來 5 ： 2 [55-2] [25-2]

綜合算式：10÷（[55-3]-[55-2]）=12 （分鐘）

或：10÷（[35-3]-[25-2]）=12 （分鐘）

方法二：

此題并不知道兩根蠟燭的燃燒總時間，也就不知道燃燒速度，因此不能借助工程問題的模型，但可利用比例知識來解決。

解：設(shè)兩根蠟燭原來的燃燒時間分別為3X分鐘、5X分鐘，endprint

（3X-10）：（5X-10）=2：5

X=6

多燃燒的時間：5×6-3×6=12（分鐘）

答：長蠟燭比短蠟燭能多燃燒12分鐘。

例4.兩只蠟燭長度不同，粗細(xì)也不同，長蠟燭能燃燒7小時，短蠟燭能燃燒10小時，現(xiàn)在同時點燃4小時后，兩支蠟燭的長度相同，那么原來短燭長度是原來長燭長度的幾分之幾？

方法一：

要求原來短燭長度是原來長燭長度的幾分之幾，實際就是要求短蠟燭的高占長蠟燭的高的幾分之幾，這就需要分別算出兩根蠟燭的高，再相除即可。

后來 底面積 × 高 = 體積

長蠟燭 （7-4） × 1 = 7-4

短蠟燭 （10-4） × 1 = 10-4

原來 底面積 × 高 = 體積

長蠟燭 （7-4） × [ 7÷（7-4）] = 7

短蠟燭 （10-4） × [10÷（10-4）] = 10

綜合算式：[10÷（10-4）]÷[ 7÷（7-4）]=[57]

方法二：

設(shè)短蠟燭長度為A，長蠟燭長度為B，則短蠟燭每小時燃燒[A10]，長蠟燭每小時燃燒[B7]，同時點燃4小時后，短蠟燭剩余[6A10]，長蠟燭剩余[3B7]，由剩余長度相等，得[6A10]=[3B7]，即[AB]=[57]

燃燒速度 × 燃燒時間 = 燃燒長度 剩下長度

短蠟燭 [A10] × 4 = [4A10] A-[4A10]=[6A10]

長蠟燭 [B7] × 4 = [4B7] B-[4B7]=[3B7]

解：設(shè)短蠟燭長度為A，長蠟燭長度為B，

A-[4A10]=B-[4B7]

[6A10]=[3B7]

[AB]=[57]

答：原來短燭長度是原來長燭長度的[57]。

通過以上幾個例題，不難發(fā)現(xiàn)，借助圓柱體積公式這個數(shù)量關(guān)系模型及分?jǐn)?shù)應(yīng)用題原理，我們能夠輕松地突破蠟燭問題算術(shù)解法的難點，借助工程問題數(shù)量關(guān)系模型及比例知識我們能夠輕松地使用方程進行解答。面對問題，我們往往可以借助已經(jīng)認(rèn)識的數(shù)量關(guān)系模型及配套的原理、知識輕松突破難點。

責(zé)任編輯 林云志endprint

（3X-10）：（5X-10）=2：5

X=6

多燃燒的時間：5×6-3×6=12（分鐘）

答：長蠟燭比短蠟燭能多燃燒12分鐘。

例4.兩只蠟燭長度不同，粗細(xì)也不同，長蠟燭能燃燒7小時，短蠟燭能燃燒10小時，現(xiàn)在同時點燃4小時后，兩支蠟燭的長度相同，那么原來短燭長度是原來長燭長度的幾分之幾？

方法一：

要求原來短燭長度是原來長燭長度的幾分之幾，實際就是要求短蠟燭的高占長蠟燭的高的幾分之幾，這就需要分別算出兩根蠟燭的高，再相除即可。

后來 底面積 × 高 = 體積

長蠟燭 （7-4） × 1 = 7-4

短蠟燭 （10-4） × 1 = 10-4

原來 底面積 × 高 = 體積

長蠟燭 （7-4） × [ 7÷（7-4）] = 7

短蠟燭 （10-4） × [10÷（10-4）] = 10

綜合算式：[10÷（10-4）]÷[ 7÷（7-4）]=[57]

方法二：

設(shè)短蠟燭長度為A，長蠟燭長度為B，則短蠟燭每小時燃燒[A10]，長蠟燭每小時燃燒[B7]，同時點燃4小時后，短蠟燭剩余[6A10]，長蠟燭剩余[3B7]，由剩余長度相等，得[6A10]=[3B7]，即[AB]=[57]

燃燒速度 × 燃燒時間 = 燃燒長度 剩下長度

短蠟燭 [A10] × 4 = [4A10] A-[4A10]=[6A10]

長蠟燭 [B7] × 4 = [4B7] B-[4B7]=[3B7]

解：設(shè)短蠟燭長度為A，長蠟燭長度為B，

A-[4A10]=B-[4B7]

[6A10]=[3B7]

[AB]=[57]

答：原來短燭長度是原來長燭長度的[57]。

通過以上幾個例題，不難發(fā)現(xiàn)，借助圓柱體積公式這個數(shù)量關(guān)系模型及分?jǐn)?shù)應(yīng)用題原理，我們能夠輕松地突破蠟燭問題算術(shù)解法的難點，借助工程問題數(shù)量關(guān)系模型及比例知識我們能夠輕松地使用方程進行解答。面對問題，我們往往可以借助已經(jīng)認(rèn)識的數(shù)量關(guān)系模型及配套的原理、知識輕松突破難點。

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（3X-10）：（5X-10）=2：5

X=6

多燃燒的時間：5×6-3×6=12（分鐘）

答：長蠟燭比短蠟燭能多燃燒12分鐘。

例4.兩只蠟燭長度不同，粗細(xì)也不同，長蠟燭能燃燒7小時，短蠟燭能燃燒10小時，現(xiàn)在同時點燃4小時后，兩支蠟燭的長度相同，那么原來短燭長度是原來長燭長度的幾分之幾？

方法一：

要求原來短燭長度是原來長燭長度的幾分之幾，實際就是要求短蠟燭的高占長蠟燭的高的幾分之幾，這就需要分別算出兩根蠟燭的高，再相除即可。

后來 底面積 × 高 = 體積

長蠟燭 （7-4） × 1 = 7-4

短蠟燭 （10-4） × 1 = 10-4

原來 底面積 × 高 = 體積

長蠟燭 （7-4） × [ 7÷（7-4）] = 7

短蠟燭 （10-4） × [10÷（10-4）] = 10

綜合算式：[10÷（10-4）]÷[ 7÷（7-4）]=[57]

方法二：

設(shè)短蠟燭長度為A，長蠟燭長度為B，則短蠟燭每小時燃燒[A10]，長蠟燭每小時燃燒[B7]，同時點燃4小時后，短蠟燭剩余[6A10]，長蠟燭剩余[3B7]，由剩余長度相等，得[6A10]=[3B7]，即[AB]=[57]

燃燒速度 × 燃燒時間 = 燃燒長度 剩下長度

短蠟燭 [A10] × 4 = [4A10] A-[4A10]=[6A10]

長蠟燭 [B7] × 4 = [4B7] B-[4B7]=[3B7]

解：設(shè)短蠟燭長度為A，長蠟燭長度為B，

A-[4A10]=B-[4B7]

[6A10]=[3B7]

[AB]=[57]

答：原來短燭長度是原來長燭長度的[57]。

通過以上幾個例題，不難發(fā)現(xiàn)，借助圓柱體積公式這個數(shù)量關(guān)系模型及分?jǐn)?shù)應(yīng)用題原理，我們能夠輕松地突破蠟燭問題算術(shù)解法的難點，借助工程問題數(shù)量關(guān)系模型及比例知識我們能夠輕松地使用方程進行解答。面對問題，我們往往可以借助已經(jīng)認(rèn)識的數(shù)量關(guān)系模型及配套的原理、知識輕松突破難點。

責(zé)任編輯 林云志endprint