張楓念

1 汽車傳動軸的軸管

汽車傳動軸是用在不同軸心的兩軸間，甚至在工作過程中相對位置不斷變化的兩軸間傳遞動力。常見的汽車傳動軸如圖1所示。

圖1 汽車傳動軸Fig.1 Drive shaft

在以往進行可靠性設計計算時，在計算得出可靠性系數(shù)后，還再要查表，才能得出可靠度值。因為直接計算時，其中的拉普拉斯函數(shù)是很麻煩的，為了手算方便，列出標準正態(tài)分布數(shù)值表供使用是很必要的，這樣可減少許多計算工作量。然而這種做法在用計算機進行可靠性調(diào)優(yōu)計算時是很不利的。因為它會阻礙計算機的自動高效的計算。現(xiàn)在我們通過編程，在計算機上采取調(diào)用不完全伽瑪函數(shù)來實現(xiàn)傳動軸可靠性調(diào)優(yōu)計算。

傳動軸管是采用鋼板卷制再焊接而成的。采用不同厚度的鋼板就能卷制出相同內(nèi)徑，不同的外徑和管壁厚的軸管。這樣在強度計算時可以只用變動管壁厚一個參數(shù)，即可計算出不同的強度。所以用它做例子來說明調(diào)用不完全伽瑪函數(shù)實現(xiàn)傳動軸可靠性的調(diào)優(yōu)計算就比較容易理解。

汽車傳動軸管一般由低碳鋼板卷制的電焊鋼管制成。壁厚比較均勻，一般壁厚僅為1.5～3.0mm，而管徑相對較大，這是為了便于進行質(zhì)量平衡，適用于高速旋轉，管徑相對較大，還能提高抗扭強度和彎曲剛度。傳動軸上所受彎矩很小，可以忽略不計，而抗扭強度的安全系數(shù)是必須校核的。此外概率可靠性計算、疲勞強度的概率可靠性計算，也是經(jīng)常驗算的項目。也可用不完全伽瑪函數(shù)對服從正態(tài)分布的概率可靠性進行調(diào)優(yōu)計算，現(xiàn)對這些計算敘述于下。

2 傳動軸抗扭強度安全系數(shù)的校核計算

已知某商用車傳動軸所受的載荷、傳動軸管的截面尺寸，現(xiàn)對其抗扭強度的安全系數(shù)作校核計算：如若傳動軸管焊接管的鋼板厚度δ＝0.0021～0.0025m范圍內(nèi)，傳動軸管內(nèi)徑d2＝0.078m，傳動軸管外徑d1＝d2＋2δ，傳動軸內(nèi)外徑比ae＝d2/d1，傳動軸抗扭截面系數(shù) wτ＝（1/16）×（π×d13）×（1－ae4），在發(fā)動機最大扭矩下傳動軸的扭矩為Me時，傳動軸管橫截面上所承受的最大切應力可由下式算得：

τy＝ （Me/wτ）×10－6MPa

當發(fā)動機最大扭矩時傳動軸上的扭矩Me＝1567.7 Nm，焊接鋼管材料的許用切應力τx＝77MPa，傳動軸抗扭強度的安全系數(shù)n＝τx/τy。以上校核計算的結果見表1所示。

3 服從正態(tài)分布的傳動軸抗扭強度概率可靠性計算

若對上例進行概率可靠性計算則：因材料的許用切應力，與傳動軸所受切應力，均為相互獨立的隨機變量。對機械耗損類失效概率一般都認是為服從正態(tài)分布，其變異系數(shù)不大時，也近似正態(tài)分布，其可靠性系數(shù)可采用聯(lián)結方程求得：設發(fā)動機最大扭矩時傳動軸管橫截面上的切應力的均值為μτy，切應力的變異系數(shù)cστy＝0.03，切應力的標準差στy＝cστy×μτy，傳動軸焊接管材料的許用切應力的均值為μτx，材料的許用切應力的變異系數(shù)cστx＝0.03，接管材料的許用切應力的標準差.στx＝cστx×μτx，安全系數(shù)n＝στx/στy ，

傳動軸管可靠性系數(shù)u＝μy/σy，

例如傳動軸管壁厚δ＝0.0023m可靠性系數(shù)u＝2.522954查表（即由可靠性系數(shù)查定可靠度表）且用插值法得可靠度R＝0.99413＋（0.9943－0.99413）×（2954/10000）＝0.9941802。

正態(tài)分布隨機量標準差

4 用不完全伽瑪函數(shù)實現(xiàn)傳動軸抗扭強度的概率可靠性調(diào)優(yōu)計算

從傳動軸抗扭強度概率可靠性計算中知，要求在上述傳動軸管壁厚δ范圍內(nèi)。計算它們各自的可靠度。并按照預先確定的可靠度R的要求即0.98≤R≤0.999，作為調(diào)優(yōu)計算的選取目標。計算是在VB算法程序平臺上，由所編制的專用程序來實現(xiàn)的，在運行中能進行無級的自動調(diào)優(yōu)計算，從以下這些計算公式建立起的程序，即可知程序是具有不用查表就能算出可靠度的功能。

（1）調(diào)用不完全伽瑪函數(shù)直接計算可靠度

采取調(diào)用一系列函數(shù)算法計算可靠度R。因為計算隨機變量x的正態(tài)分布函數(shù)P（a，σ，x）值。正態(tài)分布函數(shù)的定義為；

其中a為隨機變量的數(shù)學期望（平均值）σ＞0，σ2為隨機變量的方差。正態(tài)分布函數(shù)可以用誤差函數(shù)來計算，即

該函數(shù)返回一個實型函數(shù)值P（a，σ，x）.

該函數(shù)要調(diào)用誤差函數(shù)，誤差函數(shù)又要調(diào)用不完全伽瑪函數(shù)。a實型變量，數(shù)學期望值，正態(tài)分布隨機量均值；σ實型變量，σ2為方差值，σ＞0正態(tài)分布隨機量標準差；x為—實型變量，隨機變量值，為可靠性系數(shù)。

當x≥0時，可以用不完全伽瑪函數(shù)計算誤差函數(shù)，即

利用誤差函數(shù)可以計算余誤差函數(shù)

也可以計算正態(tài)概率積分

該函數(shù)返回一個實型的誤差函數(shù)值。

該函數(shù)要調(diào)用不完全伽瑪函數(shù)，

不完全伽瑪函數(shù)定義為

其中

對于不完全伽瑪函數(shù)有

Γ（a，x）＝0，Γ（a，∞）＝1

不完全伽瑪函數(shù)也可表示為

該函數(shù)返回一個實型的不完全伽瑪函數(shù)值。

該函數(shù)要調(diào)用計算伽瑪函數(shù)值的函數(shù)，采取調(diào)用一系列函數(shù)算法計算可靠度的最大好處是使程序在運行中成為一個完整的整體。如查表法，程序必須由于人機對話而斷開。程序成為一個完整的整體它就能使參數(shù)在程序中實現(xiàn)自動調(diào)優(yōu)。

（2）調(diào)優(yōu)程序能很快計算出一組結果：如管壁厚度δ＝0.0021～0.0025m范圍內(nèi)，的可靠度，從以下一組可靠度值中可按優(yōu)化的目標進行選取，這就被稱為調(diào)優(yōu)計算。

軸管壁厚δ＝.0021，調(diào)優(yōu)所得可靠度Ru＝.6253688

軸管壁厚δ＝.0022，調(diào)優(yōu)所得可靠度Ru＝.9260645

軸管壁厚δ＝.0023，調(diào)優(yōu)所得可靠度Ru＝.9941679

軸管壁厚δ＝.0024，調(diào)優(yōu)所得可靠度Ru＝.999805

軸管壁厚δ＝.0025，調(diào)優(yōu)所得可靠度Ru＝.999997

由用不完全伽瑪函數(shù)可直接調(diào)優(yōu)計算的可靠度Ru與查表法所得的可靠度Rb作對比檢驗，所得的相對誤差Δu見表1。

由于其最大相對誤差Δu≤1.5%，即認為該調(diào)優(yōu)軟件可用，最后的計算書，可以將Ru、Rb同時列出。

若對子程序初始條件作適當?shù)男拚?，可減少誤差Δu，如若不進行修正，往往在計算的全程范圍內(nèi)，有部分的結果的相對誤差將會≥1.5%。

由上述調(diào)優(yōu)數(shù)據(jù)匯集可知，管壁厚度δ＝0.0023m的可靠度R，符合要求。該軟件系統(tǒng)在調(diào)優(yōu)計算的全程范圍內(nèi)，其最大相對誤差Δu≤1.5%，認為合格可用。

5 傳動軸疲勞強度的概率可靠性計算

以上是以傳動軸最大切應力來進行概率可靠性計算，因傳動軸也是經(jīng)常承受著往復疲勞載荷，在實際損壞中也出現(xiàn)過疲勞損壞。在汽車傳動軸臺架試驗方法及技術條件Q/T523標準中也要求做疲勞試驗，它要求的工作循環(huán)數(shù)nxh＝1.5×105次工作循環(huán)，汽車傳動軸不得出現(xiàn)任何損傷。以上面的參數(shù)為例，則可用以下方法進行計算：

表1 傳動軸強度安全系數(shù)校核及可靠性調(diào)優(yōu)計算結果

已知傳動軸管焊接管的鋼板厚度δ＝0.0021、0.0023、0.0025m

傳動軸內(nèi)徑d2＝0.078（m），其外徑d1＝d2＋2δ，發(fā)動機最大扭矩時傳動軸扭矩m，傳動軸內(nèi)外徑比ae＝d2/d1，傳動軸抗扭截面系數(shù) w＝（1/16）×πd13×（1－ae4）疲勞試驗工作循環(huán)數(shù)nxh＝1.5×105次循環(huán)，發(fā)動機最大扭矩時傳動軸橫截面所受切應力的均值μτy＝（m/w）×10－6（MPa）疲勞循環(huán)平均載荷導致的切應力均值μτm＝0.5×μτy（MPa），切應力的變異系數(shù)cστm＝0.04，所受切應力的標準差στm＝cστm×μτm，焊接鋼管材料許用切應力的均值μτx＝77（MPa），焊接鋼管材料許用切應力的疲勞極限均值假設為μτ－1＝0.8×μτx（MPa），焊接鋼管材料許用切應力的變異系數(shù)cστ－1＝0.085材料許用切應力的標準差στ－1＝cστ－1×μτ－1。

因為疲勞失效概率可靠性的隨機量分布服從對數(shù)正態(tài)分布；應力隨機量均值μ＝μτ－1－μτm，標準差隨機量，服從對數(shù)正態(tài)分布可靠性系數(shù)z＝（ln（nxh）－μ）/σ，若選管壁厚度δ＝0.0023m則z＝－1.545958查表后且用插值法得標準正態(tài)分布值φz＝0.06178＋（0.06178－0.06057）＊（5958/10000）＝0.006832147，而可靠度R＝1－φz＝0.993167853。

在上一節(jié)用不完全伽瑪函數(shù)實現(xiàn)傳動軸抗扭強度的概率可靠性調(diào)優(yōu)計算，這是對服從正態(tài)分布可靠度計算為前提的，在此前提下是有效的，因為其計算程序是建立在正態(tài)分布函數(shù)子程序上的，而在計算疲勞強度的概率可靠性時，由于疲勞失效概率可靠性的隨機量分布是服從對數(shù)正態(tài)分布的。

對于服從對數(shù)正態(tài)分布可靠度的計算，則在算法中的有關公式將有所不同如程序中原來的式（1）處，應選擇式（2）

以式2來建立調(diào)優(yōu)計算的程序。對服從對數(shù)正態(tài)分布的疲勞強度概率可靠度Rz進行計算，與查表法所得的可靠度Rb作對比檢驗，所得的計算結果及相對誤差Δz見表2。

該軟件在調(diào)優(yōu)計算的范圍內(nèi)，其最大相對誤差Δz≤1.5%，認為該調(diào)優(yōu)軟件可用，最后的計算書，可將Rz、Rb同時列出。

若對子程序初始條件作適當?shù)男拚蓽p少誤差Δz，如若不進行修正，往往在計算的全程范圍內(nèi)，有部分的結果的相對誤差將會≥1.5%。

由上述調(diào)優(yōu)數(shù)據(jù)匯集可知，管壁厚度δ＝0.0023m的可靠度Rz，符合疲勞可靠度要求。該軟件系統(tǒng)在調(diào)優(yōu)計算的全程范圍內(nèi)，其最大相對誤差Δz≤1.5%，認為合格可用。

以上僅借用汽車傳動軸強度的概率可靠性計算來說明調(diào)用不完全伽瑪函數(shù)，實現(xiàn)汽車傳動軸強度概率可靠性的調(diào)優(yōu)計算。

表2 傳動軸疲勞失效概率可靠性的計算結果

籍此與業(yè)界探討交流一種簡便、實用的概率可靠性的調(diào)優(yōu)方法。

［1］ 徐士良編著QBASIC常用算法程序集.北京：清華大學出版社1997

［2］ 何光渝編著Visual Basic常用算法程序集.北京：科學出版社2002

［3］ 張小虞 汽車工程手冊 北京：認民交通出版社2000

［4］ 芮延年 現(xiàn)代可靠性設計.北京：國防工業(yè)出版社2007

［5］ 劉懷金 傳動軸在整車中的布置設計 南京 輕型汽車技術2013.11/12

［6］ 張楓念 機械可靠性設計與VB編程實例 北京 化工出版社2010

［7］ 張楓念 實用機械設計VB編程及實例（第二版）.北京：化工出版社2012