王萍

摘要：數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)課程，它不僅為學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程和解決實(shí)際問(wèn)題提供了必不可少的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，而且也可以培養(yǎng)和提高本科生的邏輯推理論證能力和抽象思維能力，使之受到運(yùn)用分析方法解決實(shí)際問(wèn)題的初步訓(xùn)練。按照21世紀(jì)的教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革的總體要求，如何針對(duì)理工科大學(xué)的具體特點(diǎn)，研究探討數(shù)學(xué)分析的課程建設(shè)和教學(xué)改革問(wèn)題，一直備受學(xué)界人士的關(guān)注。基于此，就數(shù)學(xué)分析課程設(shè)置、教學(xué)思想，以及教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法改革進(jìn)行探索分析，以期進(jìn)一步提高專(zhuān)業(yè)教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；課程建設(shè)；教材建設(shè)；教法改革

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1001-7836（2014）12-0037-03

按照國(guó)務(wù)院頒布的《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》的總體要求，新一輪院系調(diào)整、課程設(shè)置等教學(xué)改革正在積極推進(jìn)。按照21世紀(jì)的教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革的總體要求，針對(duì)理工科大學(xué)的具體特點(diǎn)，筆者認(rèn)為，理工科大學(xué)數(shù)學(xué)分析的課程建設(shè)和教學(xué)改革的焦點(diǎn)在于：第一，理工科大學(xué)數(shù)學(xué)分析教學(xué)課程體系的定位；第二，理工科大學(xué)數(shù)學(xué)分析課程改革需要突出的重點(diǎn)：課程設(shè)置、教學(xué)思想、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段。筆者將從這兩方面入手，對(duì)理工科大學(xué)數(shù)學(xué)分析課程的課程體系、教材建設(shè)和教學(xué)方法改革等方面進(jìn)行分析探討，并提出幾點(diǎn)嘗試性的建議。

一、構(gòu)建理工科大學(xué)數(shù)學(xué)分析的課程體系

傳統(tǒng)的綜合性大學(xué)和高師院校數(shù)學(xué)系的數(shù)學(xué)分析課程都是沿用前蘇聯(lián)的體系，一直使用黎曼積分的框架[1]。一些教育界的有識(shí)之士在20世紀(jì)90年代初期，就如何改造現(xiàn)行的數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容和體系進(jìn)行了廣泛深入的研究[2]，認(rèn)為：目前理論上最成熟、使用最廣泛的仍然是勒貝格積分，而不是黎曼積分。他們明確指出：“數(shù)學(xué)分析改革的突破口應(yīng)選在如何用集合理論和勒貝格積分去改造數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容和體系，才能達(dá)到既縮短學(xué)時(shí)又提高水平的目的?！?/p>

與上述觀點(diǎn)相反，有的學(xué)者認(rèn)為不宜對(duì)數(shù)學(xué)分析已有的基本體系和框架結(jié)構(gòu)作太大的變動(dòng)[3]。指出從現(xiàn)代微積分思想的產(chǎn)生、發(fā)展到形成，比較系統(tǒng)成熟的數(shù)學(xué)分析課程用了大約300年的時(shí)間，經(jīng)過(guò)幾代杰出的數(shù)學(xué)家不懈的努力，精鑿細(xì)雕構(gòu)建成了具有嚴(yán)格的基礎(chǔ)理論和嚴(yán)格邏輯體系的現(xiàn)行教材。同時(shí)，數(shù)學(xué)分析課程對(duì)于學(xué)習(xí)過(guò)程的循序漸進(jìn)有著嚴(yán)格的要求。因此，作為數(shù)學(xué)系基礎(chǔ)課程的數(shù)學(xué)分析，對(duì)其現(xiàn)有教材，不宜對(duì)核心理論、邏輯體系和現(xiàn)有框架作大的變動(dòng)。但是專(zhuān)業(yè)教學(xué)的對(duì)象是理工科大學(xué)數(shù)學(xué)系的學(xué)生，單純搬過(guò)來(lái)使用綜合性大學(xué)和高師院?，F(xiàn)有的數(shù)學(xué)分析教材又不符合，由于理工科大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)生偏向應(yīng)用數(shù)學(xué)的培養(yǎng)目標(biāo)和培養(yǎng)方向，因此筆者的設(shè)想是：所構(gòu)建的課程體系應(yīng)以提高理工科大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)為指導(dǎo)思想，滿(mǎn)足拓寬知識(shí)面和將來(lái)工作的需要，貫徹加強(qiáng)基礎(chǔ)提高能力的原則，在突出基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，要在優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)、更新教學(xué)內(nèi)容方面有所突破。如降低對(duì)“一致連續(xù)”“一致收斂”內(nèi)容的要求和難度，加強(qiáng)對(duì)特殊性不定積分的求法的要求，注重“三重積分、曲面積分”計(jì)算的要求。經(jīng)過(guò)這幾年的教學(xué)實(shí)踐，教學(xué)效果很好，體現(xiàn)在理工科大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)生轉(zhuǎn)專(zhuān)業(yè)、考研，以及將來(lái)從事數(shù)學(xué)理論研究及實(shí)踐，都比綜合性大學(xué)和高師院校數(shù)學(xué)系學(xué)生具有較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)。

二、完善理工科大學(xué)數(shù)學(xué)分析課程體系下的教材建設(shè)

教材建設(shè)是教學(xué)改革的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。為了將優(yōu)化整合后的教學(xué)內(nèi)容、課程體系更好地體現(xiàn)出來(lái)，為實(shí)現(xiàn)以提高數(shù)學(xué)素質(zhì)為靈魂的教學(xué)思想有更真實(shí)的依據(jù)，目前正在著手編寫(xiě)理工科大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析教材。該教材具有以下特點(diǎn)：一是知識(shí)體系完整，內(nèi)容重點(diǎn)突出，編排系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)。在強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)、重視應(yīng)用思想的指導(dǎo)下，突出基本概念的建立，基本方法的介紹和解題技巧的訓(xùn)練。建議改造現(xiàn)有內(nèi)容的編排程序?yàn)椋阂辉瘮?shù)微分學(xué)—多元函數(shù)微分學(xué)—一元函數(shù)積分學(xué)（含廣義積分）—級(jí)數(shù)與含參量積分。此編程方案的優(yōu)點(diǎn)在于知識(shí)的縱、橫向結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分明，充分體現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容“少而精”的原則，便于在教學(xué)上運(yùn)用。二是注重對(duì)教學(xué)思想方法的提煉和總結(jié)，將隱藏在其中的數(shù)學(xué)思想和方法揭示出來(lái)，以求給學(xué)生以啟發(fā)和引導(dǎo)。三是敘述簡(jiǎn)明，語(yǔ)言準(zhǔn)確，符號(hào)規(guī)范。四是優(yōu)秀數(shù)學(xué)史料的介紹。建議在各章前言之后第一節(jié)概念之前增列實(shí)例引子，全章后面列舉相應(yīng)的數(shù)學(xué)家史話(huà)，做到文理滲透和人文融合，這樣有利于對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想和人文主義教育。

總之，教材改革中應(yīng)力求突出趣味性、直觀性、啟發(fā)性、技巧性、國(guó)際性、簡(jiǎn)易性，這是教師工作中力求的主張[4]。

三、探析理工科大學(xué)數(shù)學(xué)分析課程體系下的教學(xué)方法改革

（一）理工科大學(xué)數(shù)學(xué)分析課程內(nèi)容和結(jié)構(gòu)的改革

改革數(shù)學(xué)分析內(nèi)容和結(jié)構(gòu)的一個(gè)基本思路是：用現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育理論去整合教學(xué)內(nèi)容和結(jié)構(gòu)體系，用先進(jìn)的計(jì)算機(jī)多媒體教育技術(shù)改造落后的教育手段，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)分析教學(xué)手段的現(xiàn)代化。為此，筆者提出如下改革設(shè)想。

1.從理工科大學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)出發(fā)，詮釋突出教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的思想性，體現(xiàn)知識(shí)的教育價(jià)值

數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容體系應(yīng)緊緊抓住以“函數(shù)”為主線(xiàn)、以分析學(xué)理論和三大運(yùn)算為綱、以數(shù)學(xué)思想方法為目（核心）組織成一個(gè)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。各章導(dǎo)言既要簡(jiǎn)明扼要地闡述本章重點(diǎn)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)及其作用，同時(shí)也要闡明所用到的主要數(shù)學(xué)思想方法及其教育形態(tài)功能，既重視知識(shí)的掌握，更重視思想方法的獲得，尤其要注重?cái)?shù)學(xué)的轉(zhuǎn)換思想在如下四個(gè)方面的表現(xiàn)形式。問(wèn)題轉(zhuǎn)換：善于將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型問(wèn)題；形態(tài)轉(zhuǎn)換：善于將知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)換為教育形態(tài)；形式轉(zhuǎn)換：善于互化形式，例如格林公式體現(xiàn)了閉曲線(xiàn)積分與二重積分的互化形式；語(yǔ)言轉(zhuǎn)換：分析理論的運(yùn)用過(guò)程，實(shí)際上就是先將“命題語(yǔ)言”轉(zhuǎn)換為“分析語(yǔ)言”，再轉(zhuǎn)換成“邏輯符號(hào)語(yǔ)言”的過(guò)程。

2.推行智能化計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)分析教學(xué)手段的現(xiàn)代化

計(jì)算機(jī)技術(shù)標(biāo)志著現(xiàn)代高科技發(fā)展的水平，代表著現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育研究發(fā)展的新方向。隨著計(jì)算機(jī)進(jìn)入數(shù)學(xué)教育的各個(gè)領(lǐng)域，計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)已成為現(xiàn)代最先進(jìn)的教育方式和教學(xué)手段。固此，利用智能化計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)分析的教學(xué)，已成為客觀的需要和形勢(shì)發(fā)展之必然。數(shù)學(xué)分析的知識(shí)系統(tǒng)本身具有嚴(yán)密的邏輯性，同時(shí)要求學(xué)生掌握的基本知識(shí)、技能和方法，大多有可操作和可算法化的特點(diǎn)，而計(jì)算機(jī)的程序運(yùn)算和自動(dòng)邏輯推理能力，恰好順應(yīng)了數(shù)學(xué)分析的知識(shí)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，加上多媒體計(jì)算機(jī)的可視化、動(dòng)態(tài)化、交互性和智能化的優(yōu)勢(shì)，使得數(shù)學(xué)分析ICAI課件的研究和制作成為可能。endprint

3.優(yōu)選數(shù)學(xué)分析中最具代表性的重難點(diǎn)專(zhuān)題內(nèi)容

例如：函數(shù)值近似的計(jì)算、定積分求平面圖形面積和旋轉(zhuǎn)體面積，特殊立體的曲面面積，圓柱與圓柱相貫、球與圓柱（圓錐）相貫所成的特殊立體的表面積與體積，函數(shù)的一致連續(xù)與非一致連續(xù)性，函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂與非一致收斂性等知識(shí)點(diǎn)，并匯編成計(jì)算機(jī)的算法分析程序語(yǔ)言，編制成多媒體系列優(yōu)秀教學(xué)課件，組成數(shù)學(xué)分析教材的最后一章內(nèi)容，可定名為“計(jì)算機(jī)分析學(xué)簡(jiǎn)介”，使“計(jì)算機(jī)算法程序語(yǔ)言”真正成為現(xiàn)代最先進(jìn)的分析語(yǔ)言。

4.以“連續(xù)量的演算體系及其數(shù)學(xué)理論”的觀點(diǎn)統(tǒng)帥整個(gè)體系

為建立新體系，關(guān)鍵是要明確數(shù)學(xué)分析的研究對(duì)象及主要訓(xùn)練要求。與傳統(tǒng)學(xué)科數(shù)學(xué)分析體系的觀點(diǎn)不同，提出數(shù)學(xué)分析提供的是“連續(xù)量的演算體系及其數(shù)學(xué)理論”的全新觀點(diǎn)，并以此為綱，統(tǒng)帥整個(gè)體系，把所有教學(xué)內(nèi)容放到一個(gè)正確的位置與次序上。

（二）理工科大學(xué)數(shù)學(xué)分析教學(xué)方法的改革原則

理工科大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課程改革應(yīng)強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生的思維，重視概念性的理解。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)分析中有三個(gè)方面——圖像、數(shù)值和符號(hào)貫穿始終，學(xué)生應(yīng)在充分展現(xiàn)的這三種形式的環(huán)境里體驗(yàn)數(shù)學(xué)分析中的概念。

這種方法可稱(chēng)為三項(xiàng)原則，既指任何內(nèi)容，不但內(nèi)容能夠以分析的形式教授，也能以圖像的形式教授和數(shù)值的形式教授，目的是產(chǎn)生一種三種方式平衡的課程，學(xué)生可從各個(gè)角度認(rèn)清每個(gè)重要的概念。

（三）做數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)試驗(yàn)

弗賴(lài)登塔爾指出：“學(xué)一個(gè)活動(dòng)的最好方法是做……”構(gòu)建主義學(xué)習(xí)理論也認(rèn)為：學(xué)習(xí)不是一個(gè)被動(dòng)的接受過(guò)程，而是一個(gè)主動(dòng)的構(gòu)建過(guò)程。具體到數(shù)學(xué)的教育，演變成盡人皆知的“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最好方式是做數(shù)學(xué)”。筆者所提議的理工科大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析的教學(xué)改革，一個(gè)重要特點(diǎn)就是強(qiáng)調(diào)“做數(shù)學(xué)”。這里的“做數(shù)學(xué)”并不是演練教科書(shū)中一個(gè)又一個(gè)習(xí)題，而是探索數(shù)學(xué)現(xiàn)象，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，即所謂重“過(guò)程”，而不是重“結(jié)果”。所采取的一個(gè)方法就是開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[5]。數(shù)學(xué)分析ICAI將成為又一個(gè)重要的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，這里提倡的教師的每個(gè)教學(xué)單元，都以學(xué)生在試驗(yàn)室進(jìn)行計(jì)算機(jī)上的活動(dòng)作為開(kāi)端。讓每個(gè)學(xué)生以一個(gè)探究者的姿態(tài)，在“實(shí)驗(yàn)室”親自動(dòng)手做數(shù)學(xué)分析的實(shí)驗(yàn)——作圖實(shí)驗(yàn)、計(jì)算實(shí)驗(yàn)和推理實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)執(zhí)行計(jì)算機(jī)任務(wù)而自己發(fā)現(xiàn)最重要的數(shù)學(xué)結(jié)論。通過(guò)上機(jī)操作，檢驗(yàn)實(shí)踐效果，使原本較為單調(diào)的數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)變得生動(dòng)活潑，學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力和再創(chuàng)造能力均得到主動(dòng)發(fā)展，這正體現(xiàn)了面向21世紀(jì)素質(zhì)教育的新方向。

（四）理工科大學(xué)數(shù)學(xué)分析課程建設(shè)和教學(xué)改革的體會(huì)

1.課程教學(xué)改革是一個(gè)系統(tǒng)工程

應(yīng)充分認(rèn)識(shí)到理工科大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課程建設(shè)和教學(xué)改革工作的緊迫性和艱巨性。一方面，課程和教學(xué)改革不是發(fā)發(fā)議論，提出幾條改革意見(jiàn)就可以奏效的。新的教學(xué)思想的確立需要一個(gè)認(rèn)識(shí)、實(shí)踐和深化的過(guò)程；新的課程體系要接受歷史和實(shí)踐的檢驗(yàn)；教學(xué)方法和教學(xué)手段的改革還處在試驗(yàn)摸索階段。另一方面，教學(xué)改革是一個(gè)系統(tǒng)工程，體制和機(jī)制改革才是最終目標(biāo)。對(duì)于教學(xué)改革而言，理工科大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析教師的努力固然重要，然而學(xué)校的人才培養(yǎng)模式、對(duì)課堂教學(xué)的評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)生畢業(yè)后的擇業(yè)和深造要求，也都是必須要考慮的因素。

2.高素質(zhì)的教師隊(duì)伍是教改成功的中堅(jiān)力量

教師在教改中的作用是主導(dǎo)性的，他們既是教改的倡導(dǎo)者，又是教改的實(shí)行者，他們的教育思想、教育理念、專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)、文化知識(shí)水平和教育、教學(xué)能力，特別是改革和創(chuàng)新的意識(shí)和魄力，是直接關(guān)系到教改能否有效展開(kāi)和逐步走向成功的關(guān)鍵。在理工科大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析教學(xué)改革中做了一點(diǎn)工作，重要的原因之一就是有一支穩(wěn)定的素質(zhì)較高的數(shù)學(xué)分析教師隊(duì)伍，他們長(zhǎng)年從事理工科大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析教學(xué)，專(zhuān)業(yè)思想鞏固、教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富，深切了解理工科大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析教學(xué)的現(xiàn)狀和改革需要。能找到改革的突破口，并且有較強(qiáng)的責(zé)任心，勤懇敬業(yè)，樂(lè)于奉獻(xiàn)，堅(jiān)持不懈地做了大量艱苦細(xì)致的工作。

3.課程教學(xué)改革需要短期的計(jì)劃和長(zhǎng)遠(yuǎn)的目標(biāo)

新時(shí)期理工科大學(xué)數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)改革應(yīng)重點(diǎn)處理好以下幾個(gè)關(guān)系：一是從辦學(xué)思想和人才培養(yǎng)目標(biāo)方面著手，解決好理論性和實(shí)踐性合理兼顧的關(guān)系；二是從發(fā)揮數(shù)學(xué)的教育功能方面著手，解決好數(shù)學(xué)的技術(shù)功能和文化功能都不能偏廢的關(guān)系；三是制訂教學(xué)計(jì)劃時(shí)，要解決好理工科大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析課時(shí)相應(yīng)減少和教學(xué)要求不斷提高之間的關(guān)系；四是在教學(xué)實(shí)踐中要擺正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)與研究生升學(xué)應(yīng)試的關(guān)系。這些都是值得繼續(xù)深入思考和探索的問(wèn)題。參考文獻(xiàn)：

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