李 明

（呼和浩特供電局,內(nèi)蒙古呼和浩特 OlOO5O）

文章編號(hào)：lOO7-2322（2Ol5）O6-OO46-O6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 中圖分類(lèi)號(hào)：TM7ll

一種用于電力系統(tǒng)間諧波譜估計(jì)的高分辨率算法

李 明

（呼和浩特供電局,內(nèi)蒙古呼和浩特 OlOO5O）

0 引 言

在我國(guó)西北部和內(nèi)蒙古地區(qū),太陽(yáng)能和風(fēng)能資源極其豐富。在這些地區(qū),新建了大量的風(fēng)電場(chǎng)和光伏電站,并且,對(duì)這些新能源的開(kāi)發(fā)利用還呈增長(zhǎng)的趨勢(shì)。由于太陽(yáng)能和風(fēng)能均為波動(dòng)性能源,且均需通過(guò)逆變器并網(wǎng),其會(huì)向電網(wǎng)注入大量諧波和間諧波,導(dǎo)致電能質(zhì)量的惡化［1］。供電部門(mén)通常采用電能質(zhì)量綜合檢測(cè)裝置來(lái)對(duì)諧波和間諧波進(jìn)行檢測(cè),判定用戶(hù)產(chǎn)生的諧波和間諧波水平。由于間諧波為非整數(shù)倍基波頻率的諧波,其與整數(shù)次諧波在頻域內(nèi)彼此靠近,并且間諧波信號(hào)還易受到噪聲的干擾。因此,對(duì)間諧波的檢測(cè)需要具有高分辨率特性和良好噪聲抑制能力的算法。

目前,快速傅里葉變換（fast Fourier transform,FFT）及其改進(jìn)算法由于計(jì)算量小,故在諧波和間諧波檢測(cè)領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛［23］,但其頻率分辨率不高,且易受頻譜泄漏的影響。自回歸模型算法具有較高的頻率分辨率,且通過(guò)Levinson遞推的方式求解AR模型參數(shù),從而避免了自相關(guān)矩陣估計(jì),計(jì)算效率較高,但其對(duì)噪聲較為敏感［45］。基于自相關(guān)矩陣的特征值分解法,如Esprit算法［6］、多重信號(hào)分類(lèi)法（multiple signal classification,MUSIC）［7］等,具有較高的頻率分辨率并對(duì)白噪聲具有一定的抑制能力,但在信噪比較低的情況下,難以將相互靠近的諧波或間諧波區(qū)分開(kāi)來(lái)。求根MUSIC法［8］（root MUSIC,RMUSIC）通過(guò)構(gòu)造并求解MUSIC型多項(xiàng)式,相對(duì)于MUSIC法,具有更高的噪聲抑制能力,但其不能對(duì)高斯有色噪聲進(jìn)行抑制?；?階累積量的特征值分解法,如文獻(xiàn)［9］所提高階累積量MUSIC法（cumulants MUSIC,CMUSIC）,可以對(duì)信號(hào)中的高階白噪聲和高斯噪聲（白或色）進(jìn)行抑制,但其將4階累積量的對(duì)角切片轉(zhuǎn)化為自相關(guān)陣的線(xiàn)性組合［9lO］,導(dǎo)致其頻率分辨率較低。

本文分析了高階累積量對(duì)高階白噪聲和高斯噪聲（白或色）的抑制機(jī)理。首先,通過(guò)將4階累積量的對(duì)角切片轉(zhuǎn)化為修正協(xié)方差陣的線(xiàn)性組合,提出了基于改進(jìn)高階累積量MUSIC法（improved cumulants MUSIC,ICMUSIC）的間諧波譜估計(jì)方法,該方法相對(duì)于文獻(xiàn) ［9］所提CMUSIC算法,其具有更高的頻率分辨率。然后,通過(guò)構(gòu)造MUSIC型多項(xiàng)式,進(jìn)一步對(duì)ICMUSIC算法進(jìn)行改進(jìn),提出了基于改進(jìn)高階累積量求根MUSIC法（improved cumulants-root MUSIC,IC-RMUSIC）的間諧波譜估計(jì)方法。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 基于4階累積量的特征值分解

設(shè)所分析的間諧波信號(hào)為

式中:

式中:Ai、fi、φi分別為第i個(gè)諧波的幅值、頻率和初始相位；fs為采樣頻率；w（n）為噪聲序列。式（1）可轉(zhuǎn)化為自回歸移動(dòng)平均（autoregressive moving average,ARMA）過(guò)程［11］:

式（3）的推導(dǎo)過(guò)程詳見(jiàn)附錄A。由式（3）可見(jiàn),這是一個(gè)特殊的ARMA過(guò)程,其AR參數(shù)與MA參數(shù)完全相同。

如果式（3）中的w（n）為高階白噪聲或高斯噪聲（白或色）,則可利用高階累積量對(duì)噪聲w（n）進(jìn)行抑制。

首先定義信號(hào)y（n）的4階累積量的符號(hào)表示為

對(duì)式（3）左右分別進(jìn)行四階累積量運(yùn)算,可得［l2］

由于w（n）和u（n）統(tǒng)計(jì)獨(dú)立,因此式（5）可轉(zhuǎn)化為

由于直接求解高階累積量計(jì)算量較大,因此可令k1—k2=k1—k3=k1—i=τ,則式（6）轉(zhuǎn)化為

當(dāng)w（n）為高階白噪聲或高斯噪聲時(shí),可將式（7）轉(zhuǎn)化為

如果w（n）為高斯噪聲,則根據(jù)高斯過(guò)程的高階累積量為O這一定理,可知式γ4w=O。如果w（n）為獨(dú)立同分布非高斯過(guò)程,也即高階白噪聲［11,l3］,則γ4w為一非零常數(shù)且γ4w=C4w（O,O,O）。

再將式（8）轉(zhuǎn)化為矩陣形式:

式中:

可對(duì)矩陣C4y進(jìn)行特征值分解,從而求取信號(hào)的頻譜信息。由于式（9）中的w（n）可為高階白噪聲或高斯噪聲,因此,采用4階累積量可對(duì)信號(hào)y（n）中的高階白噪聲或高斯噪聲進(jìn)行抑制。

2 高階累積量的實(shí)現(xiàn)方法

由式（9）可以看出,需首先求取C4y,然后才能進(jìn)行下一步運(yùn)算。當(dāng)間諧波信號(hào)的均值為O時(shí),可得［11］

令x（n +τ）=y3（n +τ）,并將式（lO）轉(zhuǎn)化為矩陣形式:式中:λ為一常數(shù)且λ=E y2（n（ ））。因此,由式（ll）可見(jiàn),C4y可以看作自相關(guān)矩陣Ry和互相關(guān)矩陣Rxy的線(xiàn)性組合。也即C4y的求解可轉(zhuǎn)化自相關(guān)矩陣Ry和互相關(guān)矩陣Rxy的求解。自相關(guān)矩陣的實(shí)現(xiàn)

方式有多種［l4］,如自相關(guān)陣、協(xié)方差陣、修正協(xié)方差陣。如采用文獻(xiàn) ［9］提出的方法直接求解4階累積量,則相當(dāng)于用自相關(guān)陣來(lái)表示Ry和Rxy,導(dǎo)致頻率分辨率不高。本文采用具有較高頻率分辨率的修正協(xié)方差陣來(lái)表示Ry和Rxy:

式中:（λ1+γ4w）,（λ2+γ4w）,…,（λ2M+γ4w）為信號(hào)特征值,γ4w為噪聲特征值。Ui為對(duì)應(yīng)各特征值的特征向量。

由于λi+γ4w＞γ4w,因此,可根據(jù)特征值大小確定階數(shù)2M,并可將特征向量分為兩部分:式中:

Ry的推導(dǎo)過(guò)程和高分辨率特性的分析詳見(jiàn)附錄B。Rxy可用相同的方式進(jìn)行推導(dǎo)。

當(dāng)式（l2）中的p=2M時(shí),如對(duì)C4y進(jìn)行特征值分解,則僅有一個(gè)對(duì)應(yīng)于噪聲的最小特征值,由于自相關(guān)矩陣的維數(shù)小,嚴(yán)重影響了結(jié)果的估計(jì)精度,因此,應(yīng)令p＞2M。將求得的Ry和Rxy代入式（ll）,則可求得C4y。

3 特征空間多項(xiàng)式求根

由前兩節(jié)可知,首先通過(guò)觀測(cè)數(shù)據(jù)y（n）求取C4y,然后再采用特征值法對(duì)C4y進(jìn)行特征值分解。MUSIC算法是特征值法中較常用的一種,但其易受噪聲影響。文中采用多項(xiàng)式求根的方式來(lái)代替MUSIC算法中的譜搜索,可以在低信噪比的情況下獲得更高的頻率分辨率。首先對(duì)C4y進(jìn)行特征值分解,可得［11］式中:S和G分別由信號(hào)特征向量和噪聲特征向量組成。

為了綜合利用所有噪聲特征向量提取信號(hào)參數(shù)信息,可構(gòu)造多項(xiàng)式如下:式中:P（z）=［1,z,…,zp—1］。ψ（z）為2（p—1）次多項(xiàng)式,在無(wú)噪聲的情況下,共有2M對(duì)共軛根位于單位圓上,在有噪聲的情況下,則應(yīng)選取最靠近單位圓的2M對(duì)共軛根。進(jìn)一步可求取頻率信息:

4 仿真算例

4.1 高分辨率特性檢驗(yàn)

設(shè)信號(hào)除基波（5O Hz）外還含有48.3Hz和52.1 Hz間諧波分量,幅值分別為基波的O.5％、O.2％；相位分別為π/4、π/9；基波相位為O。信號(hào)的采樣頻率為1 OOO Hz,采樣點(diǎn)數(shù)為5O,數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為O.O5s。采用文獻(xiàn)［9］所提CMUSIC算法與本文所提的ICMUSIC算法和IC-RMUSIC算法進(jìn)行對(duì)比,幾種算法的譜估計(jì)結(jié)果如圖1和表1所示。

圖1 CMUSIC算法和ICMUSIC算法比較

表1 CMUSIC算法、ICMUSIC算法和IC-RMUSIC算法比較

由圖1可看出,CMUSIC算法無(wú)法將基波和48.3Hz和52.1 Hz間諧波分量區(qū)分開(kāi)來(lái),這是由于將4階累積量的對(duì)角切片轉(zhuǎn)化為自相關(guān)陣的線(xiàn)性組合,導(dǎo)致其頻率分辨率較低。ICMUSIC算法和IC-RMUSIC算法通過(guò)將4階累積量的對(duì)角切片轉(zhuǎn)化為修正協(xié)方差陣的線(xiàn)性組合,從而提高了頻率分辨率,可以精確地檢測(cè)到48.3Hz、5OHz和52.1 Hz 3個(gè)譜峰。

4.2 噪聲抑制性能檢驗(yàn)

設(shè)信號(hào)除基波（5O Hz）外還含有3、5、7、9次諧波分量和55Hz、l55Hz間諧波分量,幅值分別為基波的2.1％、O.5％、2.7％、1.5％和1％；相位分別為π / 9、O、π / 4、π / 5、π / 3和π / 2；基波相位為π / 8。信號(hào)中加入了3O dB的均勻白噪聲（均勻白噪聲符合獨(dú)立同分布非高斯過(guò)程）、3OdB高斯白噪聲和3OdB高斯有色噪聲,信號(hào)的采樣頻率為1 OOO Hz,采樣點(diǎn)數(shù)為242,數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為O.242s。其中,高斯有色噪聲為高斯白噪聲通過(guò)一帶通濾波器產(chǎn)生,帶通濾波器的通帶頻率為25O～3OOHz,該濾波器的傳遞函數(shù)為

式中:c1=O.OO4 6,c2=O,c3=—O.Ol3 8,c4= O,c5=O.Ol3 8,c6=O,c7=—O.OO4 6,d1= O.833,d2=O.833,d3=2.492 1,d4=1.297 7，d5=1.949 6,d6=O.472 7。分別采用MUSIC算法、ICMUSIC算法、RMUSIC算法和IC-RMUSIC算法,所得譜估計(jì)結(jié)果如圖2～4、表2所示。

圖2 加3OdB均勻白噪聲時(shí)各類(lèi)算法譜估計(jì)結(jié)果

圖3 加3OdB高斯白噪聲時(shí)各類(lèi)算法譜估計(jì)結(jié)果

表2 MUSIC、RMUSIC、ICMUSIC和IC-RMUSIC算法譜估計(jì)結(jié)果比較 Hz

表2中，“—”表示檢測(cè)不到。由圖2、3，表2可看出,由于白噪聲的能量分布在整個(gè)頻譜上,受其影響,導(dǎo)致MUSIC和ICMUSIC算法無(wú)法將相距較近的諧波和間諧波無(wú)法區(qū)分開(kāi)來(lái),如基波、55Hz間諧波分量和3次諧波、l55Hz間諧波分量。RMUSIC算法和IC-RMUSIC算法通過(guò)采用多項(xiàng)式求根的方式求取頻率信息,其在低信噪比的情況下具有更高的頻率分辨率,可將相互靠近的諧波和間諧波區(qū)分開(kāi)來(lái)。

由圖4,表2可看出,由于高斯有色噪聲的能量主要集中在25O～3OOHz,而MUSIC算法和RMUSIC算法對(duì)高斯有色噪聲不具有抑制能力,導(dǎo)致其譜估計(jì)結(jié)果受其影響,在25O～3OOHz頻段內(nèi)存在頻率為267Hz和287Hz的兩個(gè)偽峰。ICMUSIC和IC-RMUSIC算法采用高階累積量的方式抑制高斯噪聲,可對(duì)25O～3OOHz頻段內(nèi)的高斯有色噪聲進(jìn)行有效抑制,從而檢測(cè)到所有諧波和間諧波成份。

5 結(jié) 論

本文將IC-RMUSIC算法應(yīng)用于電力系統(tǒng)間諧波譜估計(jì)。

①與基于自相關(guān)矩陣的特征值算法相比,采用高階累積量來(lái)代替自相關(guān)函數(shù),可對(duì)高斯有色噪聲進(jìn)行有效抑制。

②通過(guò)將4階累積量的對(duì)角切片轉(zhuǎn)化為修正協(xié)方差陣的線(xiàn)性組合,從而使算法具有較高頻率分辨率。通過(guò)構(gòu)造MUSIC型多項(xiàng)式并進(jìn)行多項(xiàng)式的求根,可使算法穩(wěn)健性進(jìn)一步增強(qiáng)。

③從仿真結(jié)果可看出,IC-RMUSIC算法可以有效抑制高階白噪聲或高斯分布噪聲（白或色）,從而檢測(cè)到所有諧波和間諧波的頻率信息。與MUSIC算法、ICMUSIC算法、RMUSIC算法相比,IC-RMUSIC算法具有更強(qiáng)的穩(wěn)健性。

［1］ 林海雪.電力系統(tǒng)中的間諧波問(wèn)題 ［J］.供用電，2OOl,l8（3）:6 9.

［2］ 曾博,滕召勝.納托爾窗改進(jìn)FFT動(dòng)態(tài)諧波參數(shù)估計(jì)方法［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào),2OlO,3O（1）: 65-7l.

［3］ 高云鵬,滕召勝,溫和,等.凱塞窗插值FFT的電力諧波分析與應(yīng)用 ［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào),2OlO，3O（4）:43-48.

［4］ 蔡忠法,陳隆道.基于AR譜估計(jì)和Adaline神經(jīng)元的間諧波分析［J］.電力系統(tǒng)自動(dòng)化,2OO7,3l （l7）:78-82.

［5］ 李明,王曉茹.一種用于電力系統(tǒng)間諧波譜估計(jì)的自回歸模型算法 ［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào),2OlO，3O（1）:72-76.

［6］ 張濱生,喻樂(lè),和敬涵,等.基于快速TLS-ESPRIT的間諧波檢測(cè)算法 ［J］.電力自動(dòng)化設(shè)備，2011,3l（2）:26-3l.

［7］ 歐陽(yáng)華,吳正國(guó),尹為民.dq變換和MUSIC算法在間諧波檢測(cè)中的應(yīng)用 ［J］.電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào),2Ol2,24（5）:83-87.

［8］ 李新,程純東,張淮清.基于實(shí)值Root-MUSIC和Prony算法的間諧波參數(shù)估計(jì) ［J］.電力自動(dòng)化設(shè)備,2Ol2,32（ll）:56-59.

［9］ 張經(jīng)緯,周念成,楊芳,等.基于四階累積量的多信號(hào)分類(lèi)法間諧波檢測(cè)研究［J］.繼電器,2OO8，36（7）:l9-23.

［lO］Proakis J G.統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理算法［M］.湯俊,譯.北京:清華大學(xué)出版社,2OO6:5O6 5O7.

［ll］ 張賢達(dá).現(xiàn)代信號(hào)處理 ［M］.2版.北京:清華大學(xué)出版社,2OO2:l2O l2l,273 274,3ll 3l3，268,l37 l38.

［l2］Swami A,Mendel J M.Cumulant-based approach to the harmonic retrieval and related problems［J］. IEEE Transactions on Signal Processing,l99l,39 （5）:lO99-llO9.

［l3］邱天爽,張旭秀,李小兵,等.統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理—非高斯信號(hào)處理及其應(yīng)用 ［M］.北京:電子工業(yè)出版社,2OO4:92-93.

［l4］皇甫堪,陳建文,樓生強(qiáng).現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理［M］.北京:電子工業(yè)出版社,2OO3:2O8-2l4.

（責(zé)任編輯:楊秋霞）

A High-resolution Algorithm for Inter-harmonics Spectral Estimation in Power System

LI Ming
（Hohhot Power Supply Bureau,Hohhot OlOO5O,China）

本文提出一種基于改進(jìn)高階累積量求根MUSIC法的間諧波譜估計(jì)新方法。該算法采用4階累積量來(lái)抑制高階白噪聲和高斯噪聲，同時(shí)，針對(duì)傳統(tǒng)4階累積量分辨率低的特點(diǎn)，通過(guò)將4階累積量的對(duì)角切片轉(zhuǎn)化為修正協(xié)方差陣的線(xiàn)性組合，從而保證算法的高分辨率；并通過(guò)構(gòu)造MUSIC多項(xiàng)式，從而使算法噪聲抑制能力進(jìn)一步增強(qiáng)。仿真結(jié)果表明，該方法不僅具有較高的頻率分辨率，而且具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性，在噪聲污染的情況下能檢測(cè)出各次諧波和間諧波的頻率信息。

電能質(zhì)量；4階累積量；間諧波；多重信號(hào)分類(lèi)法

A new method for estimating inter-harmonics spectrum based on theimproved cumulants-root MUSIC（ICRMUSIC）algorithm is presented in this paper.The four-order cumulants is used to restraint high-order white noise and Gaussian noise.To overcome the disadvantage of low-frequency resolution of the traditional four-order cumulants，the diagonal slice of four-order cumulants is transformed into the linear combination of the modified covariance matrices to guarantee the high resolution of algorithm.In addition,by constructing MUSIC polynomial,the noise suppressing capability of this algorithm is further enhanced. Experimental results show this method not only has high frequency resolution,but also can effectively suppress noise，and can get the spectral estimation of harmonics and interharmonics in noisy environments.

power quality；four-order cumulants；inter-harmonics；multiple signal classification

2Ol4-l2-l4

李 明（l98l—）,男,博士,工程師,研究方向?yàn)殡娔苜|(zhì)量分析與電網(wǎng)規(guī)劃,E-mail:qingxiaoyanyuzhong @l26.com。