關(guān)于范德蒙行列式計算類型的探討及其運用

黃 威1，呂維東2

(1.咸寧市青龍山高中，湖北 咸寧 437005；2.咸寧高中，湖北 咸寧 437005)

范德蒙行列式是法國數(shù)學家范德蒙首次提出的，在行列式的計算中，范德蒙行列式由于其獨有的特質(zhì)被人們所吸引，也因為其簡單好記的結(jié)果受到了很多學者的關(guān)注，對范德蒙行列式的研究不僅僅只是在行列式計算中，在其它方面也有廣泛的地方。

定義：稱行列式

為n級范德蒙(Vandermonde)行列式。

一、范德蒙行列式在行列式計算中的應用

對于某一缺行或是缺列的范德蒙行列式可以通過加邊法將其轉(zhuǎn)化成范德蒙行列式再進行計算，對于某些行列式也可以通過分別提取各行或是各列的公因式從而轉(zhuǎn)化成范德蒙行列式。

例1 計算行列式

二、范德蒙行列式在多項式中的應用

在多項式中，有很多問題是關(guān)于求根的，而范德蒙行列式運用在多項式求根方面，是會帶有一定的便利的，因此熟練的掌握范德蒙行列式對于解決問題能起到關(guān)鍵作用。

例2 對于平面上的任意n個點(xi,yi)(1≤i≤n,xi≠xj,i≠j),證明存在唯一的一個次數(shù)不超過n-1次多項式經(jīng)過該n個點(xi,yi)(1≤i≤n)，即有f(xi)=yi。

證明：設(shè)f(x)=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1

又f(x)經(jīng)過該n個點，所以將這n個點代入得

(1)

將a0,a1,a2,…，an-1看作未知數(shù)，則其系數(shù)行列式為

由于xi≠xj,i≠j時，所以D≠0，從而方程組⑴有唯一解b0，b1，b2，…,bn-1,即存在唯一的次數(shù)不超過n-1次的多項式f(x)=b0+b1x+b2x2+…+bn-1xn-1經(jīng)過該n個點。

三、范德蒙行列式在向量空間中的應用

向量空間中的有些問題需要通過范德蒙行列式進行轉(zhuǎn)化，才能比較方便的解決問題，下面就舉一范德蒙行列式在向量空間中的應用的例子.

例3 設(shè)V是數(shù)域F上的n維向量空間，任給正整數(shù)m≥n，則在V中存在m個向量，其中任取n個向量都線性無關(guān)。

證明：因為V是數(shù)域F上的n維向量空間，所以只需在Fn中考慮即可，即證明在V中任意n個向量線性無關(guān)。

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b1=(1,3,32,33,…，3n-1)

b2=(1,32,(32)2,(33)2,…，(3n-1)2)

b3=(1,33,(32)3,(33)3,…，(3n-1)3)

…………

bm=(1,3m,(32)m,(33)m,…，(3n-1)m)

則對于這m個向量中的任意n個向量：

bk1=(1,3k1,(32)k1,…，(3n-1)k1)

bk2=(1,3k2,(32)k2,…，(3n-1)k2)

…………

bkn=(1,3kn,(32)kn,…，(3n-1)kn)

其中1≤k1

若要證明這n個向量線性無關(guān)，則需證明對任意的數(shù)m1，m2，…，mn，當m1bk1+m2bk2+m3bk3+…+mnbkn=0時，m1=m2=…=mn=0

從而可知這n個向量線性無關(guān)，得證。

四、范德蒙行列式在微積分中的應用

在微積分中，某些問題如果引用范德蒙行列式及其結(jié)果能起到事半功倍的效果。

例4 設(shè)f(x)至少有n階導數(shù)，且對某個實數(shù)l有

其中f(0)(x)表示f(x)。

解：由泰勒公式可知

(2)

其中x

的線性方程組，其系數(shù)行列式為

由于D≠0，所以對于方程組⑵有唯一解，即f(1)(x),f(2)(x),…，f(n-1)(x)可由f(x+a)(a=1,2,…，n)與f(n)(ya)(a=1,2,…，n)線性表示。

又因為

對任意的x<ξ

所以得：

又因為：

f(1)(x),f(2)(x),…，f(n-1)(x)可由f(x+a)(a=1,2,…，n)與f(n)(ya)(a=1,2,…，n)線性表示。

所以有：

因此通過對范德蒙行列式的運用在保證能夠編碼的情況下還能提高它的安全性。這就是范德蒙行列式在非數(shù)學方面的充分運用，它不僅能幫助人類有效解決問題，也能給人類帶來方便和利益。

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2095-4654(2015)10-0202-03

2015-06-05