李紅娟

（赤峰學(xué)院 物理與電子信息工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

1 引言

梁的彎曲剛度問(wèn)題在《材料力學(xué)》中占有重要的地位，單獨(dú)拿出一章來(lái)進(jìn)行講解.學(xué)習(xí)完這章要求學(xué)生能針對(duì)不同的梁，不同的彎曲變形找到相應(yīng)的提高彎曲剛度的措施，能結(jié)合生活中的工程實(shí)例，在滿足剛度條件下，設(shè)計(jì)和選擇既經(jīng)濟(jì)又合理的梁.而教材對(duì)于提高梁彎曲剛度問(wèn)題只從改善結(jié)構(gòu)形式和選擇合理的截面形狀兩方面做了一些簡(jiǎn)要介紹.通過(guò)2010-2013這四年的教學(xué)發(fā)現(xiàn)，我院學(xué)生大多數(shù)基礎(chǔ)比較差，自主學(xué)習(xí)能力不是很強(qiáng)，對(duì)比較難比較抽象的問(wèn)題自主歸納能力不足.對(duì)于提高梁的彎曲剛度這一問(wèn)題，如果按照原有結(jié)構(gòu)和內(nèi)容進(jìn)行講解，教學(xué)效果不理想，不能達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo).針對(duì)這一問(wèn)題，從撓曲線的近似微分方程及其積分出發(fā),結(jié)合赤峰學(xué)院學(xué)生的具體情況，通過(guò)師生互動(dòng)共同分類和歸納并結(jié)合工程實(shí)例總結(jié)出了提高梁彎曲剛度的四個(gè)措施：減小彎矩、減小跨度、增大截面的慣性矩、增大截面的彈性模量.使提高梁的彎曲剛度問(wèn)題具體化，讓學(xué)生盡快的將所學(xué)到的知識(shí)消化理解，應(yīng)用到工程實(shí)踐中去.

2 通過(guò)撓曲線的近似微分方程及其積分找到影響梁彎曲剛度的因素

撓曲線的近似微分方程為

對(duì)（1）式積分得轉(zhuǎn)角方程

對(duì)（2）式積分得撓曲線方程

其中ω為撓度，θ為轉(zhuǎn)角，M為彎矩,E為彈性模量,I為截面慣性矩.

由（1）~（3）式可以看出彎曲變形與彎矩的大小、跨度的長(zhǎng)短、支座條件、梁截面的慣性矩以及材料的彈性模量E有關(guān).變形越小，剛度越大，所以要提高彎曲剛度，就因該從以上各因素入手減小變形.

3 提高梁的彎曲剛度問(wèn)題在教學(xué)中的具體化處理

3.1 結(jié)合工程實(shí)例，從彎矩方面入手，讓學(xué)生歸納總結(jié)出提高梁的彎曲剛度的措施

3.1.1 改變支座的形式

長(zhǎng)度、材料、橫截面積相同的梁，采用不同的支座形式，在大小相等的載荷的作用下，最大的形變之間存在很大的差別.不同的支座形式會(huì)使得梁的剛度差別很大.

圖1a

圖1b

如果采用圖1（a）所示懸臂梁，最大撓度和撓角分別為

如果采用圖1（b）所示簡(jiǎn)支梁，最大撓度和撓角分別為

可見(jiàn)，使用合理的支座形式，梁內(nèi)彎矩的減小幅度相對(duì)來(lái)說(shuō)較大，梁的剛度提升效果也明顯直觀.而且這樣的操作在生活中非常容易實(shí)現(xiàn).工程上也經(jīng)常采用這種方式來(lái)提高梁的剛度.

3.1.2 改變加載方式

合理配置載荷，也能降低最大彎矩，提高梁剛度.如圖2（a）

圖2(a)

圖2(b)

圖2(a)所示簡(jiǎn)支梁在跨度中點(diǎn)受到集中力F的作用時(shí)，最大撓角和最大撓度分別為

如果將集中力F改為圖2(b)所示均布載荷，令F=ql，此時(shí)的最大撓角和最大撓度分別為

可見(jiàn) 2（b）中的 θmax和 ωmax分別為2（a）中的 66.7%和62.5%.

3.1.3 靜定與超靜定結(jié)構(gòu)

圖3(a)

圖3(b)

圖3(a)所示為車削工件，左端由卡盤夾緊.可簡(jiǎn)化成為圖3(b)所示的懸臂梁.由公式（2）和（3）很容易得到B點(diǎn)的撓角和撓度為

對(duì)于細(xì)長(zhǎng)工件，為了減小變形，提高加工精度.通常在工件的右端安裝尾頂針，轉(zhuǎn)化為3（c）所示的超靜定梁.圖3（c）可以簡(jiǎn)化成為圖3（d）所示的簡(jiǎn)支梁.

圖3（c）

圖3（d）

則B點(diǎn)的撓角和撓度分別為

對(duì)比以上結(jié)果可知，采用超靜定結(jié)構(gòu)，可以減小工件的變形，提高剛度.工程中還可以通過(guò)對(duì)外伸部分過(guò)長(zhǎng)的鏜刀桿的端部加裝尾架，對(duì)較長(zhǎng)的傳動(dòng)軸采用三支承等來(lái)減小變形，這些都是將桿由原來(lái)的靜定梁變?yōu)槌o定梁.

結(jié)合上面的具體實(shí)例，學(xué)生能輕松的歸納總結(jié)出與彎矩相關(guān)的三個(gè)提高梁彎曲剛度的措施：增加支座、將集中力改為均布力或分解成多個(gè)力和采用超靜定結(jié)構(gòu).

3.2 讓學(xué)生分析圖2所示受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁的最大撓角和最大撓度的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并找出影響最大撓角和最大撓度的因素.

縮小跨度也是減小彎曲變形，提高彎曲剛度的有效措施.圖2所示簡(jiǎn)支梁在均布載荷q的作用下最大撓角和最大撓度分別為

圖2

可見(jiàn)最大撓角和跨度的三次方成正比，最大撓度和跨度的四次方成正比.假設(shè)其他條件不變，跨度縮短一半，則撓角變?yōu)樵瓉?lái)的撓度變?yōu)樵瓉?lái)的.由計(jì)算結(jié)果學(xué)生很容

易發(fā)現(xiàn)縮小跨度，梁的剛度明顯增加.所以跨度較大的橋在建造時(shí)采用多橋墩結(jié)構(gòu).

3.3 讓學(xué)生對(duì)比等面積的空心截面和實(shí)心截面，總結(jié)出與截面形狀相關(guān)的提高彎曲剛度的措施

由公式（1）-（3）可以看出桿件的彎曲變形和截面慣性矩的大小成反比，各種不同形狀的截面，盡管其界面面積相等，但慣性矩卻并不一定相等.現(xiàn)在以矩形截面為例，圖3（a）和3（b）為等面積的實(shí)心和空心矩形截面.

圖3 （a）

圖3 （b）

由此可見(jiàn)：I1>I2，因此面積相等的空心矩形截面慣性矩比實(shí)心矩形截面慣性矩大，表明空心截面抵抗變形的能力比實(shí)心截面強(qiáng).這也是工程上提高梁剛度的一種常用方式.所以選取合理的截面形狀，增大截面慣性矩的相對(duì)量值，也是提高彎曲剛度的有效措施.例如矩形、工字形、槽形和T形截面都比面積相等的矩形截面有更大的慣性矩，等面積的空心截面比實(shí)心截面有更大的慣性矩.但事物是復(fù)雜的，不能只從單方面考慮.把一根細(xì)長(zhǎng)的圓桿加工成空心桿，勢(shì)必因加工復(fù)雜而提高成本.所以工程上箱體一般采用加筋的方法提高箱壁的抗彎剛度，卻不采用加壁厚的方法.一般來(lái)說(shuō)，提高截面慣性矩I的數(shù)值，往往也同時(shí)提高了梁的彎曲剛度.

3.4 用多媒體課件顯示不同材料的彈性模量，師生共同選擇合適的材料

由公式（1）-（3）還可以看出桿件的彎曲變形與材料的彈性模量E成反比.對(duì)E值不同的材料來(lái)說(shuō)，E值越大彎曲變形越小.梁選用何種材料，應(yīng)綜合考慮安全、經(jīng)濟(jì)等因素.近年來(lái)低合金鋼生產(chǎn)發(fā)展迅速，如16Mn、15MnTi鋼等.這些低合金鋼的生產(chǎn)工藝和成本與普通鋼相近，但剛度和強(qiáng)度高、韌性好.南京長(zhǎng)江大橋廣泛的采用了16Mn鋼，與低碳鋼相比節(jié)約了15%的鋼材.

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)上面的師生互動(dòng)，將提高梁的彎曲剛度這一問(wèn)題變得更加清晰和具體，再結(jié)合具體的工程實(shí)例進(jìn)行教學(xué)，使抽象的理論變得更加直觀明了，方便學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握，進(jìn)而將枯燥的理論應(yīng)用到生活實(shí)踐中去，真正做到學(xué)以致用.同時(shí)也給學(xué)生提供了解決類似問(wèn)題的方法，提高學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，更有利于學(xué)生向我校在十二五規(guī)劃中提出的培養(yǎng)“創(chuàng)新型、應(yīng)用型、復(fù)合型”人才的目標(biāo)發(fā)展.

〔1〕劉鴻文.材料力學(xué)[M].北京：高等教育出版社,2010.

〔2〕任德斌.材料力學(xué)[M].大連：大連理工大學(xué)出版社,2009.

〔3〕孫訓(xùn)方,方孝淑,關(guān)來(lái)泰.材料力學(xué)[M].北京：高等教育出版社,2009.

〔4〕茍文.材料力學(xué) 導(dǎo)教.導(dǎo)學(xué).導(dǎo)考[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社,2002.

〔5〕趙詒樞.材料力學(xué)習(xí)題詳解[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2004.