劉忠東

(井岡山大學(xué) 數(shù)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，江西 吉安 343009)

1 問題的提出

對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行理解性的學(xué)習(xí)，在大家看來，已然成為常識(shí)了。但是如何進(jìn)行數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)，［1］有眾多學(xué)者從不同的角度來進(jìn)行論證。并且在實(shí)際的教學(xué)過程中，有眾多的教師根據(jù)不同的學(xué)習(xí)理論，制定了一系列的不同方式方法使學(xué)生理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。在這個(gè)學(xué)習(xí)過程中，教師、學(xué)生都把“是否理解了，是否懂了”作為衡量數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果優(yōu)勢(shì)的重要標(biāo)尺。但是，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中仍存在機(jī)械學(xué)習(xí)等狀況，這就需要我們對(duì)數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵進(jìn)一步明晰。

縱觀整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展過程，數(shù)學(xué)就是我們認(rèn)識(shí)世界而得來的產(chǎn)物。要對(duì)數(shù)學(xué)的理解，我們必須要追尋整個(gè)世界，如何理解整個(gè)世界，或者說把數(shù)學(xué)理解放回到這個(gè)世界中，把數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法與世界的認(rèn)識(shí)結(jié)合起來。也就是說，讓學(xué)生以當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的社會(huì)背景為出發(fā)點(diǎn)，很好地理解數(shù)學(xué)本來的面貌。

作為21 世紀(jì)的一種數(shù)學(xué)教育現(xiàn)象，如圖1 所示，就是把數(shù)學(xué)賦予在社會(huì)文化背景下理解這種數(shù)學(xué)化的趨勢(shì)使得對(duì)數(shù)學(xué)理解有著更為廣泛的社會(huì)文化意義。社會(huì)文化正在朝數(shù)學(xué)方向上逐步走向統(tǒng)而數(shù)學(xué)社會(huì)化的程度正是推動(dòng)社會(huì)進(jìn)步的重要指標(biāo)。在社會(huì)文化視角［2］下的數(shù)學(xué)是一種深層次的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論和數(shù)學(xué)方法論，是重構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)觀和數(shù)學(xué)文化觀，是一種理解數(shù)學(xué)的深刻視角。

圖1

2 數(shù)學(xué)理解是一個(gè)復(fù)雜的社會(huì)文化和認(rèn)識(shí)發(fā)展過程

長久以來，數(shù)學(xué)給人們的一個(gè)最大的特點(diǎn)就是它的高度抽象性。自從古希臘開始，它層次分明、概念清晰、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、容不得半點(diǎn)似是而非，這些在歐幾里得的《幾何原本》當(dāng)中，都可以見到，已經(jīng)形成了一個(gè)完美的邏輯演繹體系。人們?cè)缫寻褦?shù)學(xué)的特征歸結(jié)為具有抽象、形式化、符號(hào)化。［5］由此，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就視為從理解與背記定義、公理、定理到應(yīng)用其去進(jìn)行證明、推理與計(jì)算，然而這是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的曲解與片面理解。

對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展，與其時(shí)代的文化背景是休戚相關(guān)的，也會(huì)隨著社會(huì)文明的興衰而榮枯。由于羅馬人的實(shí)用主義、中世紀(jì)基督教的神秘主義，都阻礙了知識(shí)的進(jìn)步，扼殺了創(chuàng)新精神，都無法使數(shù)學(xué)在這種社會(huì)文化環(huán)境中蓬勃發(fā)展，結(jié)出累累碩果。文藝復(fù)興，被克萊因成為“數(shù)學(xué)精神的復(fù)興”。［7］歐洲人繼承了自然界具有數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的思想，相信理性可以應(yīng)用于人類的所有活動(dòng)，一旦人們掌握了理性精神，西方文明就誕生了。射影幾何是從達(dá)·芬奇的透視理論中誕生的數(shù)學(xué)，牛頓的數(shù)學(xué)成就及其思想與這三方面有關(guān):科學(xué)和哲學(xué)、宗教、文學(xué)和美學(xué)。17、18 世紀(jì)的數(shù)學(xué)為幾乎滲透到所有文化分支中的理性精神注入了活力。從這個(gè)角度來看，數(shù)學(xué)理解應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)知識(shí)與其時(shí)代的社會(huì)文化背景相結(jié)合，而不是認(rèn)為數(shù)學(xué)是與抽象、符號(hào)、公式等打交道的一門科學(xué)。

基于社會(huì)文化的視角，對(duì)數(shù)學(xué)的理解可以看成是對(duì)社會(huì)文化的理解，這種對(duì)數(shù)學(xué)理解的追求主要表現(xiàn)為對(duì)社會(huì)與自身的雙重理解，并在這種追求的過程中獲得自身的超越與發(fā)展?？v觀數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，可以從古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的基本信條“萬物皆數(shù)”說起，他們認(rèn)為“一切都可以歸結(jié)為整數(shù)及整數(shù)比”，根據(jù)勾股定理，邊長為1 的對(duì)角線之長都不能表為整數(shù)的比。這樣以來，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬物皆數(shù)”的信條受到了沖擊，當(dāng)時(shí)希臘人對(duì)待這次危機(jī)的態(tài)度不是積極地區(qū)解決它，而是想方設(shè)法回避它，極力掩蓋事實(shí)。終究紙是包不住火，危機(jī)很快被大家所了解。人們致力于解危機(jī)。不過這一危機(jī)不是局部的，而是全局的;不是表面的，而是本質(zhì)的，并不那么容易解決。經(jīng)過了兩千多年以后，人們認(rèn)識(shí)了實(shí)數(shù)系，對(duì)數(shù)系進(jìn)行擴(kuò)張，這次危機(jī)才算徹底解決了。這一歷程恰恰充分說明了隨著社會(huì)文化的發(fā)展，數(shù)學(xué)內(nèi)部的探索推動(dòng)了整體數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展。又例如，芝諾悖論之一——阿基里斯追不上烏龜，［6］從數(shù)學(xué)角度來分析這個(gè)悖論的癥結(jié)在于無限段長度的和，可能是有限的;無限段時(shí)間的和，也可能是有限的。芝諾故意把有限的路程用他的那種說法巧妙地分割成無窮段路程，讓人產(chǎn)生一種錯(cuò)覺，以為是永遠(yuǎn)追不上。他當(dāng)時(shí)如此尖銳地提出“空間和時(shí)間是離散還是連續(xù)”的問題，引起人們對(duì)此長期地討論。歷經(jīng)微積分的起源，對(duì)微積分基礎(chǔ)的嚴(yán)格化探索，在柯西、魏爾斯特拉斯等人工作的基礎(chǔ)上，戴德金創(chuàng)造了戴德金分割對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行嚴(yán)格化分析的方法，“標(biāo)志著分析嚴(yán)格化的大體完成。”在這一個(gè)逐步的、漫長的過程中，數(shù)學(xué)內(nèi)部不斷地加以調(diào)整和修正的，并受到當(dāng)時(shí)社會(huì)文化的影響，都充分顯示出在數(shù)學(xué)理解上的不斷發(fā)展以及敢于超越自我的信心和事實(shí)，同時(shí)促進(jìn)人類認(rèn)識(shí)的發(fā)展。

我們把數(shù)學(xué)理解定位在一個(gè)社會(huì)文化的背景下，如圖2 所示，在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程中，無論從數(shù)學(xué)知識(shí)的來源、傳播、交流、應(yīng)用和評(píng)價(jià)等各個(gè)層面，社會(huì)因素都始終是一個(gè)不可忽視的緯度。例如變量數(shù)學(xué)亦即近代數(shù)學(xué)的誕生，由于文藝復(fù)興以來，資本主義生產(chǎn)關(guān)系從萌芽到發(fā)展壯大極大地推動(dòng)了生產(chǎn)力的發(fā)展，對(duì)科學(xué)技術(shù)提出了更多的要求;全球性的資本掠奪促使航海事業(yè)的快速發(fā)展，而測定航海位置則要求準(zhǔn)確滴研究天體運(yùn)行的規(guī)律;掠奪與擴(kuò)張需要武力，武器的改進(jìn)引發(fā)對(duì)彈道問題的探討，等等。這些問題的解決，反應(yīng)靜止關(guān)系的初等數(shù)學(xué)已經(jīng)不能滿足要求，對(duì)運(yùn)動(dòng)與變化的研究已變成自然科學(xué)的中心問題。

圖2

在各種社會(huì)現(xiàn)象中，都存在數(shù)學(xué)的規(guī)律、結(jié)構(gòu)和關(guān)系，數(shù)學(xué)知識(shí)不再被看成是靜態(tài)的、確定性的客觀真理性知識(shí)的匯集。例如在生活中見過的漁網(wǎng)或者用繩索編織的其他某種網(wǎng)。網(wǎng)，可以是多種多樣的，紛繁復(fù)雜的。但是，它們?nèi)繚M足同樣的規(guī)律:V+F－E =1，其中V 表示結(jié)點(diǎn)數(shù)，F(xiàn) 表示網(wǎng)眼數(shù)，E 表示邊數(shù)。把這個(gè)規(guī)律拓展到三維情形，就是多面體的歐拉公式:V +F－R =2。這里V 表示凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)，F(xiàn) 表示凸多面體的面數(shù)，E表示凸多面體的棱數(shù)。數(shù)學(xué)的思想、方法、對(duì)象在社會(huì)生活中都有所體現(xiàn)。例如“化歸”方法，這是數(shù)學(xué)工作者解決問題重建的思路和方法。一個(gè)淺顯的例子“燒水”，把“化歸”的數(shù)學(xué)方法解釋得非常明白。作為數(shù)學(xué)共同體的成員，都是社會(huì)的一分子，都要把它所處時(shí)代的各種觀念、價(jià)值判斷帶到數(shù)學(xué)研究中去。例如射影幾何學(xué)的產(chǎn)生，由于描繪現(xiàn)實(shí)世界的需要以及寫實(shí)主義，使得藝術(shù)家們對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣。為了精確、逼真的繪畫，文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)家們從科學(xué)上對(duì)透視問題進(jìn)行研究，而幾何是解決這一問題的關(guān)鍵，此時(shí)他們是最優(yōu)秀、最博學(xué)、多才多藝的實(shí)用數(shù)學(xué)家和理論數(shù)學(xué)家。藝術(shù)家們?cè)诎l(fā)展聚焦透視體系的過程中，引入了新的幾何思想。通過透視學(xué)的研究，譬如德沙格等數(shù)學(xué)家從藝術(shù)向高深的富有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)研究邁進(jìn)。從上述可以看到，數(shù)學(xué)產(chǎn)生時(shí)的社會(huì)背景、文化背景、數(shù)學(xué)與社會(huì)生活的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)態(tài)歷程，都須從社會(huì)文化層面上來理解數(shù)學(xué)。

3 學(xué)習(xí)者、數(shù)學(xué)理解與社會(huì)文化三者的互動(dòng)關(guān)系

能夠有力促進(jìn)學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)理解，結(jié)合社會(huì)文化背景，把這三方面加以整合，圖3 表明了學(xué)習(xí)者、數(shù)學(xué)理解與社會(huì)文化三者的互動(dòng)關(guān)系。對(duì)于學(xué)習(xí)者來說，數(shù)學(xué)理解主要是通過感悟獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)內(nèi)蘊(yùn)于數(shù)學(xué)知識(shí)深處的社會(huì)文化力量、社會(huì)文化魅力、社會(huì)文化精髓的感悟，必須建立在學(xué)習(xí)者對(duì)相關(guān)知識(shí)及其境脈的深刻理解的基礎(chǔ)上。

圖3

弗登塔爾曾說過:“數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化的常識(shí)……數(shù)學(xué)的根源在于普通的常識(shí)?！保?］因此，可以說理解數(shù)學(xué)是理解系統(tǒng)化的常識(shí)(或經(jīng)驗(yàn))。在科學(xué)技術(shù)以及社會(huì)文化生活的一切領(lǐng)域，一切過程都有數(shù)學(xué)的出現(xiàn)及其應(yīng)用。在未來的社會(huì)中，數(shù)學(xué)如同工具一樣，已經(jīng)成為人們所必備的“藏身之物”。因而，每個(gè)人不但應(yīng)當(dāng)具有基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法，還應(yīng)當(dāng)具有一種用數(shù)學(xué)的意識(shí)以及一種基于數(shù)學(xué)去思考問題的眼光，更應(yīng)具有一種不斷學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)意識(shí)與發(fā)展訴求。數(shù)學(xué)是一項(xiàng)社會(huì)活動(dòng)，因此理解數(shù)學(xué)要從個(gè)體已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，扎根并溯源于現(xiàn)實(shí)世界，理解數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)語言等知識(shí)性成分的社會(huì)文化特征。例如，假設(shè)有一條穩(wěn)定流淌的小溪，先后把兩片相同的樹葉放在起初相同的位置上，發(fā)現(xiàn)樹葉漂流的情況一開始是兩次幾乎完全一樣，但越到后面差別越大，到了某個(gè)距離以外完全不同了。這個(gè)現(xiàn)象在我們現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇見的一個(gè)通俗例子。較為深層的現(xiàn)象，就是美國氣象學(xué)家洛倫茲在天氣預(yù)報(bào)中發(fā)現(xiàn)的混沌現(xiàn)象，并給出了這個(gè)現(xiàn)象具有兩個(gè)重要特點(diǎn):一個(gè)是對(duì)初值極端敏感，另一個(gè)是“解”不是完全隨機(jī)的。他為了說明第一個(gè)特點(diǎn)，說過一句話:巴西的蝴蝶扇一下翅膀，可能會(huì)引起幾周之后在美國德克薩斯州有一場風(fēng)暴。這就是所謂天氣的“蝴蝶效應(yīng)”。［4］既便洛倫茲用了通俗的話語來解釋“對(duì)初值極端敏感”，也無法讓學(xué)習(xí)者體會(huì)其本質(zhì)。雖然客觀世界普遍存在混沌現(xiàn)象，但學(xué)習(xí)者必須從這些現(xiàn)象中，建立數(shù)學(xué)模型，抓住事物的本質(zhì)，揭示事物的規(guī)律，才能深深體會(huì)混沌的特點(diǎn)及規(guī)律。反過來，把對(duì)混沌的理解及研究回到現(xiàn)實(shí)生活中，比如癲癇病治療、對(duì)遠(yuǎn)期天氣預(yù)報(bào)的再認(rèn)識(shí)、通訊中的保密、經(jīng)濟(jì)理論、交通管理等，為研究自然界的復(fù)雜性和更深刻的規(guī)律開辟了一條道路，也從更廣泛的角度認(rèn)識(shí)了客觀世界。因此，數(shù)學(xué)是一種特殊的社會(huì)文化，社會(huì)文化是內(nèi)蘊(yùn)于數(shù)學(xué)體系中的精髓。由此，一種以社會(huì)文化的視角來理解具體的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、技巧與思想等，才能理解數(shù)學(xué)在當(dāng)今社會(huì)中的地位與作用。

在社會(huì)文化背景下對(duì)數(shù)學(xué)的理解，對(duì)數(shù)學(xué)的感悟，都需要有專業(yè)的數(shù)學(xué)教師，要促進(jìn)教師的數(shù)學(xué)觀念［8］不斷提升。如今，很多社會(huì)招聘，無論是企業(yè)還是學(xué)校，都越來越多地涉及到數(shù)學(xué)領(lǐng)域，考察社招人員的數(shù)學(xué)理解能力。由此可見，數(shù)學(xué)教師的社會(huì)責(zé)任重大，他們必須要對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛，結(jié)合社會(huì)文化這種大環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者如何認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)以及感受數(shù)學(xué)，讓學(xué)習(xí)者覺得數(shù)學(xué)在社會(huì)這個(gè)大家庭中好玩，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)中的文化。

［1］呂林海. 數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)與教學(xué):文化的視角［M］. 北京:教育科學(xué)出版社，2013.

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［7］克萊因. 西方文化中的數(shù)學(xué)［M］. 張祖貴，譯. 上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，2004.

［8］劉忠東.《數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論》課堂的主體性分析和教學(xué)模式構(gòu)建［J］. 宜春學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，34(12):142－145.