劉志剛， 宋 洋， 劉煜鋮

(西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，四川 成都610031)

輸電線微風(fēng)振動是一種柔性結(jié)構(gòu)物的風(fēng)振現(xiàn)象.微風(fēng)振動振幅一般不超過導(dǎo)線直徑的2 ～3 倍，該現(xiàn)象頻繁發(fā)生，持續(xù)時間長，可導(dǎo)致導(dǎo)線疲勞斷股以及相關(guān)配件、設(shè)備、桿塔構(gòu)件的損壞，限制了輸電線的使用壽命［1］.因此，輸電線的微風(fēng)振動一直是國際上普遍關(guān)心的課題.文獻(xiàn)［2］分析了輸電線的氣動功率測量與渦激振動現(xiàn)象;文獻(xiàn)［3］進(jìn)行了輸電線微風(fēng)振動的實時測量研究;文獻(xiàn)［4］利用多阻尼方法提出了一種研究單導(dǎo)線微風(fēng)振動的算法;文獻(xiàn)［5］針對1 000 kV 特高壓架空輸電線路，研究了利用有限元方法分析微風(fēng)振動方法.與輸電線相比，接觸網(wǎng)具有系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、跨距段短、承力索和接觸線張力大的特點，其微風(fēng)振動與輸電線有明顯的不同.國內(nèi)論文偏重于接觸線舞動現(xiàn)象的討論，如文獻(xiàn)［6-8］為定性分析;國外論文偏重于氣動特性的分析，如文獻(xiàn)［9］分析了弓網(wǎng)相互耦合下的受電弓氣動性能，文獻(xiàn)［10-12］對接觸線的氣動力特性進(jìn)行分析，并用鄧哈托垂直振動理論判斷其氣動穩(wěn)定性.

本論文針對水平風(fēng)下電氣化高速鐵路接觸網(wǎng)垂直方向上的微風(fēng)振動，結(jié)合動力學(xué)方法進(jìn)行微風(fēng)振動公式推導(dǎo)和仿真.首先通過接觸網(wǎng)水平風(fēng)激勵下的受力分析，推導(dǎo)出承力索和接觸線在風(fēng)激勵下的振動方程;接著基于接觸網(wǎng)的動力學(xué)方程，求解出接觸網(wǎng)的固有頻率;最后推導(dǎo)出承力索和接觸線隨接觸網(wǎng)固有頻率變化的微風(fēng)激振力公式，分析接觸網(wǎng)的微風(fēng)振動現(xiàn)象.

1 接觸網(wǎng)微風(fēng)振動現(xiàn)象

當(dāng)風(fēng)吹過圓柱體時，在圓柱體的背風(fēng)側(cè)形成上下方向交替變化的氣流漩渦，并不斷地以一定速度離開圓柱體，向后面延伸而漸漸消失. 由于上下交替產(chǎn)生漩渦，在圓柱體上作用上下交替的力，使其上下振動，這種現(xiàn)象稱為卡門渦街(Karman vortex street).Strouhal 發(fā)現(xiàn)當(dāng)出現(xiàn)振動時，漩渦有比較穩(wěn)定的頻率fS，即Strouhal 頻率或沖擊頻率，計算式［1］為

式中:V 為流體的速度;D 為圓柱體的直徑;S 為Strouhal 數(shù).

當(dāng)漩渦脫落頻率與系統(tǒng)的固有頻率一致時，引起諧振，使作用于圓柱體上的交變沖擊力變大，激發(fā)圓柱體產(chǎn)生較大振幅的振動.當(dāng)圓柱體以此頻率振動后，圓柱體背風(fēng)側(cè)的漩渦出現(xiàn)頻率不變，當(dāng)風(fēng)速在一定范圍變化時，圓柱體的振動頻率和漩渦的頻率保持不變，這種現(xiàn)象為“鎖定效應(yīng)”［13］.該現(xiàn)象發(fā)生是因為振動的圓柱體控制了氣流中形成漩渦的頻率.接觸線的形狀類似圓柱，當(dāng)風(fēng)吹過時，也會在其背面形成穩(wěn)定的漩渦，圖1 為接觸線在CFD(computational fluid dynamics)中形成的卡門渦街，能夠清楚地看到漩渦的脫落.

圖1 接觸線的卡門渦街現(xiàn)象Fig.1 Karman vortex street of catenary

當(dāng)渦街的脫落頻率與接觸網(wǎng)的固有頻率一致時，會引起接觸網(wǎng)系統(tǒng)的共振，可導(dǎo)致接觸網(wǎng)疲勞斷裂、弓網(wǎng)受流變差等一系列后果.

2 接觸網(wǎng)水平風(fēng)下的振動方程

在分析接觸網(wǎng)的微風(fēng)振動時，首先需要推導(dǎo)出接觸網(wǎng)水平風(fēng)下的振動方程.

將接觸線和承力索看作歐拉-伯努力梁，做如下簡化:

(1)僅討論接觸網(wǎng)垂直方向的振動;

(2)與承力索和接觸導(dǎo)線相比吊弦線質(zhì)量很小，將吊弦的質(zhì)量平分到吊弦兩端的線夾上，吊弦簡化為兩端為幾種質(zhì)量、中間為彈簧的彈簧質(zhì)量系統(tǒng);

(3)支撐桿簡化為一個單自由度的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，不考慮橫向振動，限位器可簡化為附加于接觸網(wǎng)上的質(zhì)量;

(4)在接觸線或承力索上取一段長度dx 的單元［14］，如圖2 所示.

圖2 水平風(fēng)下接觸線微分段受力圖Fig.2 Micro-segment forces under horizontal wind

根據(jù)力平衡原理，垂直方向投影力之和為0，

式中:ρ 為其單位長度質(zhì)量;

t 為時間;

F(x，t)為水平風(fēng)產(chǎn)生的垂直激勵力;

u(x，t)為微分段受吊弦的拉力;

y(x，t)為承力索/接觸線在豎直方向上所產(chǎn)生的位移;

ρgdx 為微分段自身的重力;

f0為在垂直方向運(yùn)動時承力索/接觸線自身所具有的阻尼力;

Q 為微分段兩端的剪力;

M 為彎矩;f1為慣性力;f1dx 為橫向慣性力，其值為該微分段質(zhì)量和加速度的乘積.

在研究軸向力時，主要應(yīng)考慮張力T 及剪力的影響，有平衡方程

式中:EI 為接觸線/承力索微分段抗彎強(qiáng)度.

導(dǎo)線在風(fēng)激勵時吊弦拉力和重力可以近似相等，吊弦拉力u(x，t)和自身重力ρg 在承力索/接觸線的振動方程中可忽略，則式(3)為具有一定剛度的承力索/接觸線受風(fēng)激勵和吊弦拉力的振動微分方程，其齊次方程為

式(5)可用分離變量分解法［15］求解，得

式中:

X(x)為廣義坐標(biāo);

T(t)為振型函數(shù).

式中:xr為承力索/接觸線上的集中載荷點的坐標(biāo)，下標(biāo)r 為集中載荷點的個數(shù);

ωm為接觸線/承力索的自振頻率.

式(7)為水平風(fēng)下承力索/接觸線的微分振動方程.

若用An和Bn分別代表承力索和接觸線振動各階的幅值，并代入式(7)，可求得承力索和接觸線的第n 階運(yùn)動微分方程式(9)和式(10)，

式中:

Fa1(xr，t)、Fa2(xr，t)分別為吊弦和支撐桿對承力索的集中力;

Fb1(xr，t)、Fb2(xr，t)分別為吊弦和定位器對接觸線的集中力;

F(x，t)為水平風(fēng)產(chǎn)生的垂直激勵力;

ρa(bǔ)、ρb分別為承力索和接觸線的單位質(zhì)量;

Ca、Cb分別為承力索和接觸線的阻尼系數(shù);

EIa、EIb分別為承力索和接觸線的剛度;

Ta、Tb分別為承力索和接觸線的張力;

p 為吊弦個數(shù);

q 為支撐桿或者定位器的個數(shù).

考慮吊弦對承力索的集中力，mDr、KDr分別為吊弦的質(zhì)量和剛度，支撐桿對承力索的集中力;mAr、KAr分別為支撐桿的質(zhì)量和剛度，吊弦對接觸線的集中力;定位器對接觸線的集中力;mBr為定位器質(zhì)量.聯(lián)立承力索和接觸線的微分振動方程，以及吊弦、定位器、支撐桿的集中力，可推導(dǎo)得

式(11)和式(12)分別為承力索和接觸線在風(fēng)激勵F(x，t)下的振動方程.

3 接觸網(wǎng)固有頻率計算

獲得接觸網(wǎng)的風(fēng)激勵下的振動方程后，需要與接觸網(wǎng)本身的固有頻率進(jìn)行比較，以求出發(fā)生共振時的公式. 以歐洲標(biāo)準(zhǔn)EN50318 中的標(biāo)準(zhǔn)模型作為算例，求垂直平面內(nèi)的固有頻率.

接觸網(wǎng)參數(shù)如表1 所示.

接觸線或承力索任意一點的位移可表示為

式中:φ(x)為振型函數(shù);

q(t)為式(10)和式(11)中的廣義位移An和Bn，q(t)隨三角函數(shù)規(guī)律變化，則

式中:r 為廣義幅值對應(yīng)的振幅;

i 為虛數(shù)單位;

ω 為角頻率.

表1 EN50318 標(biāo)準(zhǔn)模型接觸網(wǎng)基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of catenary in EN50318 standard

將式(14)代入式(13)，得

y(x，t)=reiωtφ(x)，

其中，y0=rφ(x)是隨x 變化的廣義幅值.

將q(t)=reiωt帶入接觸網(wǎng)風(fēng)激勵下的運(yùn)動微分方程式(11)和式(12)，即

An=raneiωt， Bn=rbneiωt，

可以得到

式中:ran、rbn分別為承力索和接觸線第n 階模態(tài)的廣義幅值對應(yīng)的振幅;

p1(x，t)為每一個微分段節(jié)點的微風(fēng)激振力;

φT為振型矩陣的逆矩陣;

M、K 分別為整體質(zhì)量和剛度矩陣.

整理式(15)可得

利用Landczos 法求解上述動力學(xué)方程的特征方程，可得到接觸網(wǎng)n 階固有頻率. 部分固有頻率下的振型如圖3 所示，前10 階的固有頻率如表2所示.從表2 中可以看出，系統(tǒng)的最低固有頻率為0.965 Hz.另外，在低頻區(qū)域，固有頻率比較密集，第50 階時，接觸網(wǎng)的固有頻率也只有10 Hz，因此，接觸網(wǎng)系統(tǒng)是一個低頻振動系統(tǒng).

圖3 不同頻率下的接觸網(wǎng)振型Fig.3 Vibration modes of catenary at different frequencies

表2 接觸網(wǎng)前10 階固有頻率Tab.2 The first 10 order natural frequencies of catenary

4 接觸網(wǎng)的微風(fēng)振動分析

當(dāng)卡門渦街脫落頻率與接觸網(wǎng)某階固有頻率一致時，可能會導(dǎo)致接觸網(wǎng)一定振幅的共振，對接觸網(wǎng)自身的疲勞強(qiáng)度和受流都會產(chǎn)生不利的影響.由于接觸懸掛的特殊性，要產(chǎn)生整體的共振，必須要在承力索和接觸網(wǎng)都產(chǎn)生與接觸網(wǎng)某階固有頻率相同的微風(fēng)激振力. 接觸網(wǎng)整體發(fā)生微風(fēng)振動時，承力索和接觸線將隨接觸網(wǎng)某階固有頻率變化產(chǎn)生微風(fēng)激振力，該力可表示為

式中:FL為氣動升力，

其中:CL為接觸網(wǎng)線索升力系數(shù);

Lu為線索單元長度;

u 為風(fēng)速;

ρa(bǔ)ir為空氣密度;

D 為線索直徑.

風(fēng)洞試驗獲得攻角為90°的升力系數(shù)值在1.4 ～1.9 之間，這里取折中值1.7.將式(17)帶入式(15)，可解出接觸網(wǎng)在微風(fēng)激振力作用下不同頻率的振幅.例如:對于接觸線，當(dāng)固有角頻率為13.567 rad/s時，接觸線的振幅變化如圖4(a)所示;當(dāng)固有角頻率為313.44 rad/s 時，接觸線的振幅變化如圖4(b)所示;當(dāng)固有角頻率為1 515.5 rad/s 時，接觸線的振幅變化如圖4(c)所示.

圖4 不同角頻率下接觸線振幅變化Fig.4 Amplitude changes of catenary at different angle frequencies

根據(jù)接觸線的振幅變化，可以發(fā)現(xiàn)不同固有頻率對接觸線產(chǎn)生的微風(fēng)振動是不一樣的，可以找出接觸線不同頻率下的最大振幅，如圖5 所示.

由圖5 可以看出，接觸線振動的最大幅值一般在1 mm 以內(nèi)，振幅最大點出現(xiàn)在角頻率為131.1 rad/s處，振動的最大幅值達(dá)到0.96 mm，對應(yīng)的風(fēng)速為1.44 m/s.

圖5 接觸線不同頻率下的最大振幅Fig.5 Maximum amplitude of catenary at different frequencies

5 結(jié)束語

論文通過推導(dǎo)接觸網(wǎng)垂直方向上的微風(fēng)振動公式，求解出接觸網(wǎng)的固有頻率，獲得接觸網(wǎng)在微風(fēng)振動作用下不同頻率的振幅. 計算結(jié)果表明，在風(fēng)速為1.44 m/s 左右，接觸線微風(fēng)振動的最大幅值達(dá)到0.96 mm，對應(yīng)的角頻率為131.1 rad/s.因此，由漩渦脫落引起的接觸線微風(fēng)振動振幅很小，不會產(chǎn)生輸電線類似的振幅，不會對電氣化鐵路的實際運(yùn)營造成顯著影響.

［1］ 郭應(yīng)龍，李國興，尤傳永. 輸電線路舞動［M］. 北京:中國電力出版社，2003:3-24.

［2］ SIMMONS J M， CLEARY P M. Measurement of aerodynamic power associated with vortex induced vibration of electrical transmission lines［J］. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems，1980，99(l):158-164.

［3］ GODARD B，GURARD S，LILIEN J L. Original realtime observations of aeolian vibrations on power-line conductors［J］. IEEE Transactions on Power Delivery，2011，26(4):2111-2117.

［4］ LU M L，CHAN J K. An efficient algorithm for aeolian vibration of single conductor with multiple dampers［J］.IEEE Transactions on Power Delivery，2007，22(3):1822-1829.

［5］ 孔德怡，李黎，龍曉鴻，等. 特高壓架空輸電線微風(fēng)振動有限元分析［J］. 振動與沖擊，2007，26(8):64-67.KONG Deyi，LI Li，LONG Xiaohong，et al. Analysis of aeolian vibration of UHV transmission conductor by finite element method［J］. Journal of Vibration and Shock，2007，26(8):64-67.

［6］ 班瑞平. 接觸網(wǎng)線索舞動現(xiàn)象的研究［J］. 鐵道機(jī)車車輛，2004，24(1):64-66.BAN Ruiping. Research on phenomena of the contact line brandishing［J］. Railway Locomotive ＆ Car，2004，24(1):64-66.

［7］ 姚康佛. 接觸網(wǎng)導(dǎo)線發(fā)生自由振動的原因及預(yù)防措施［J］. 電氣化鐵道，1999(4):31-33.YAO Kangfo. Catenary wire free vibration occurs causes and preventive measures［J］. Electrified Railway，1999(4):31-33.

［8］ 孟祥奎. 接觸網(wǎng)振動分析及防振措施［J］. 電氣化鐵道，2003(4):16-18.MENG Xiangkui. Catenary vibration analysis and antivibration measures［J］. Electrified Railway，2003(4):16-18.

［9］ BOCCIOLONE M，RESTA F，ROCCHI D，et al.Pantograph aerodynamic effects on the pantograph catenary interaction［J］. Vehicle System Dynamics，2006，44(Sup.1):560-570.

［10］ STICKLAND M T，SCANLON T J. An investigation into the aerodynamic characteristics of catenary contact wires in a cross-wind［J］. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part F:Journal of Rail and Rapid Transit，2001，215(4):311-318.

［11］ STICKLAND M T，SCANLON T J，CRAIGHEAD I A，et al. An investigation into the mechanical damping characteristics of catenary contact wires and their effect on aerodynamic galloping instability［J］. Journal of Rail and Rapid Transit，2003，217(2):63-71.

［12］ SCANLON T J，STICKLAND M T，OLDROYD A B.Investigation into the attenuation of wind speed by the use of windbreaks in the vicinity of overhead wires［J］. Journal of Rail and Rapid Transit，2000，214(4):173-182.

［13］ 李黎，葉志雄，孔德怡. 輸電線微風(fēng)振動分析方法能量平衡法的改進(jìn)研究［J］. 工程力學(xué)，2009，26(增刊1):176-180，197.LI Li，YE Zhixiong，KONG Deyi. Improvement of energy balance method and analysis of Aeolian vibration on UHV transmission lines［J］. Engineering Mechanics，2009，26(Sup.1):176-180，197.

［14］ 李豐良，李敏，唐建湘. 重力影響下的接觸網(wǎng)運(yùn)動微分方程［J］. 中南大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2005，36(4):673-677.LI Fengliang，LI Min，TANG Jianxiang. Differential equations of catenary motion influenced by gravity［J］.Journal of Central South University:Natural Science，2005，36(4):673-677.

［15］ 謝官模. 振動力學(xué)［M］. 北京:國防工業(yè)出版社，2011:32-47.