朱志瑩，孫玉坤，李祖明，周云紅，王正齊

(南京工程學院，南京211167)

0 引 言

主動磁軸承因其無摩擦、無磨損、超高速、長壽命、剛度可調(diào)、易于控制等一系列優(yōu)點得到了廣泛研究和應(yīng)用［1－3］。位移檢測環(huán)節(jié)是主動磁軸承系統(tǒng)重要組成部分。目前國內(nèi)外實際實際磁軸承位移檢測中多直接利用各類位移傳感器，增加了系統(tǒng)復(fù)雜性，使得安裝和調(diào)試不便，同時增加磁軸承轉(zhuǎn)子軸向長度，降低臨界轉(zhuǎn)速，使得系統(tǒng)的優(yōu)越性能發(fā)揮受限，因此探索無位移傳感器的磁軸承轉(zhuǎn)子位移自檢測技術(shù)具有重要意義［4－6］。

由于磁軸承系統(tǒng)的本質(zhì)非線性和參數(shù)不確定性，使得傳統(tǒng)依賴于對象模型的轉(zhuǎn)子位移自檢測算法很難取得較好的檢測效果。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種智能辨識方法能夠擺脫對控制對象精確模型的依賴，在處理非線性和不確定性的問題中獲得可處理性和魯棒性［7］。但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遵循經(jīng)驗風險最小化準則，存在訓練樣本規(guī)模過大、易陷于局部極小值等問題。為此，Vapnik［8］和Suykens［9］等人提出了一種新型機器學習算法——最小二乘支持向量機(以下簡稱LS－SVM)，該方法訓練過程遵循結(jié)構(gòu)風險最小化原則，不易發(fā)生過擬合現(xiàn)象，也不存在局部極小值問題，且小樣本學習具有很強的泛化能力，近年來得到了廣泛研究和快速發(fā)展。文獻［10］將其用于磁軸承轉(zhuǎn)子位移預(yù)測建模中，取得了比神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更好的應(yīng)用效果。然而文獻［10］將LS－SVM 用于位移預(yù)測建模時，基于離線學習算法，而實際磁軸承是一個時變不確定的系統(tǒng)，其電磁參數(shù)和運行工況隨時間而變化，通過固定樣本離線構(gòu)建學習模型，并不能完全準確反映系統(tǒng)實際動態(tài)特征。

本文為實現(xiàn)主動磁軸承轉(zhuǎn)子位移動態(tài)實時自檢測，研究了一種在線遞推LS－SVM 的磁軸承轉(zhuǎn)子位移預(yù)測算法。首先對LS－SVM 進行改進，設(shè)定窗體寬度，使樣本集隨時間不斷更新，并采用遞推最小二乘法訓練LS－SVM，實現(xiàn)LS－SVM 權(quán)值和閾值的在線遞推式求解，提高計算速度;其次基于在線學習算法，建立磁軸承轉(zhuǎn)子位移預(yù)測模型，該模型利用輸入等效懸浮控制電流和等效磁鏈，實現(xiàn)轉(zhuǎn)子位移的在線實時預(yù)測，仿真結(jié)果驗證了算法的有效性。

1 在線遞推最小二乘支持向量機

LS－SVM 算法是標準SVM 的一種改進，計算效率已經(jīng)有了較大提升，但依然難以滿足在線預(yù)測要求。這是因為在線學習樣本是時間序列，不是批處理方式提供，每次引入新樣本都需要從第一個樣本開始重新學習，學習效率隨著樣本數(shù)目增多會急劇下降;同時引入在線學習后，LS－SVM 求解的線性方程組是時變的，需要不斷地進行矩陣求逆運算，計算耗時較長?？紤]到磁軸承系統(tǒng)的實際運行情況，在現(xiàn)有LS－SVM 基礎(chǔ)上，進一步結(jié)合樣本窗式更新和遞推計算思想對其進行改進。設(shè)定在線學習樣本窗的寬度固定為L，每進來一個最新樣本，同時就丟掉一個最舊樣本，使學習樣本隨時間t 不斷更新而不是遞增。這樣既可以有效利用最新的樣本集反映系統(tǒng)實時動態(tài)性能，又可以解決樣本過大影響在線學習速度的問題。

假設(shè)t 時刻采樣得到的輸入輸出樣本集為{X(t)，Y(t)}，X(t)=［xt－L+1，…，xt－1，xt］，Y(t)=［Yt－L+1，…，Yt－1，Yt］，xt∈Rn為n 維輸入向量，Yt∈R 為一維輸出向量。在線LS－SVM 回歸約束優(yōu)化如下:

式中:k=0，1，…，L－1;φ(·)是從輸入空間到特征空間的非線性映射;w 為權(quán)向量;bt為t 時刻偏置量;γ 為正則化參數(shù);ek為松弛變量。

由式(1)定義拉格朗日函數(shù)如下:式中:αt+k為t 時刻拉格朗日乘子。由KKT［9］優(yōu)化條件，對式(2)求偏導數(shù)，并消去ek和w，得到如下線性方程組:

式中:1 =［1，…，1］T;I 為單位矩陣;α(t)=［αt－L+1，…，αt］T;Y(t)=［Yt+L－1，…，Yt］T;Kt為t 時刻核函數(shù)矩陣，元素Kt(i，j)=K(xt－i，xt－j)=φ(xt－i)Tφ(xt－j)，i，j=0，1，…，L－1。采用高斯徑向基函數(shù)為核函數(shù)，表達式:

式中:σ 為核參數(shù)，反映邊界封閉包含的半徑。

設(shè)Pt=Kt+γ－1I，解式(3)線性方程組，可得:

這樣在輸入X(t)下的在線辨識模型:

由式(5)和式(6)可知，α(t)和bt求解涉及復(fù)雜的矩陣求逆運算，采用傳統(tǒng)最小二乘法直接求逆運算量大，不利于在線學習，為此引入遞推最小二乘算法。假設(shè)t 時刻有:θ=［bt，α(t)］T=［bt，αt－L+1，…，αt］T，Hk=［1，K(xt－L+1，xk)，…，K(xt，xk)］T，k=t－L+1，t－L+2，…，t。

設(shè)測試樣本窗寬度亦為L，則采用遞推最小二乘算法在線訓練LS－SVM 步驟如下:

(1)初始化θ(0)=0，S(0)=δ－1I，δ 取小的正常數(shù)10－6，0 為零向量，I 為單位矩陣。

(2)取k =t－L +1，t－L +2，…，t。逐步刷新θ，即:

式中:Si為協(xié)方差矩陣;Mi為增益向量;θi為待辨識參數(shù)向量;λ 稱為遺忘因子，其目的是減小舊數(shù)據(jù)的影響，增加新數(shù)據(jù)的作用，通常取0.95≤λ≤0.98，本文選取λ=0.98。

(3)若i≤t，返回步驟(2);否則，刷新完畢。

2 基于在線遞推LS-SVM 轉(zhuǎn)子位移預(yù)測

2.1 轉(zhuǎn)子位移預(yù)測模型

LS－SVM 實現(xiàn)高度復(fù)雜的非線性映射，具有較快的運算速度，同時在線學習機制使得LS－SVM 具有自適應(yīng)能力，能夠隨時間的變化而在線進化，可實現(xiàn)轉(zhuǎn)子位移的在線預(yù)測。圖1 給出了在線遞推LS－SVM 建立磁軸承位移預(yù)測模型結(jié)構(gòu)。輸入為等效控制電流(ix，iy)和等效磁鏈(ψx，ψy)，輸出為轉(zhuǎn)子徑向位移(x，y)，為簡潔起見，此處圖1 以位移x的預(yù)測為例作介紹。圖1 中數(shù)據(jù)處理包含采樣保持和窗式滾動兩個步驟，其中采樣保持的作用是通過對數(shù)據(jù)的采集、儲存和延遲等操作;窗式滾動更新是數(shù)據(jù)緩沖區(qū)，將數(shù)據(jù)按時間順序添加到時間窗內(nèi)，轉(zhuǎn)化為帶時間特征的樣本序列，并使樣本集隨時間不斷滾動更新，以供模型在線學習使用。這樣經(jīng)過采樣保持后得到的學習樣本集，經(jīng)過窗式滾動更新后，得到當前時刻最新的在線學習樣本集，然后基于模型輸出值與實際期望值之差，通過遞推最小二乘算法(RLS)在線調(diào)整LS－SVM 模型參數(shù)，從而保證在t 時刻樣本集的輸入下，位移預(yù)測值與對象實際輸出值匹配。

圖1 基于在線遞推LS－SVM 的轉(zhuǎn)子位移預(yù)測模型結(jié)構(gòu)

2.2 轉(zhuǎn)子位移在線預(yù)測

運用在線遞推LS－SVM 在線預(yù)測磁軸承轉(zhuǎn)子位移主要包括以下幾個步驟:

1)確定輸入和輸出變量。輸入變量為磁軸承等效懸浮控制電流(ix，iy)和等效磁鏈(ψx，ψy)，輸出變量為磁軸承轉(zhuǎn)子徑向兩自由度位移x 和y。其中輸入等效電流(ix，iy)可由三相交流電流iA，iB，iC經(jīng)過C3/2變換得到:

而三相電流可有電流傳感器直接采集得到，而等效磁鏈無法直接檢測得到，但可通過直接檢測得到的電壓、電流而間接得到磁鏈:

式中:u 為放大器的端電壓;i 為繞組電流;r 為繞組等效電阻;ψ 為繞組磁鏈。

2)獲取學習樣本集。采集繞組電流、端電壓和轉(zhuǎn)子位移數(shù)據(jù)，通過C3/2變換和式(10)分別得到等效電流和等效磁鏈數(shù)據(jù)，并對實際數(shù)據(jù)進行采樣保持和窗式滾動更新，將處理后時間長度為L 的電流、磁鏈和位移數(shù)據(jù)作為學習樣本集。

3)選擇RBF 型核函數(shù)的核寬度σ 以及處罰因子γ。為了提高LS－SVM 的預(yù)測能力，避免人為選擇參數(shù)的盲目性，本文利用粒子群優(yōu)化算法［10］對參數(shù)(σ，γ)進行自動尋優(yōu)。

4)利用遞推最小二乘法訓練兩個LS－SVM 模型，獲得相應(yīng)參數(shù)θ1= (，α1(t))和θ2= (，α2(t))，從而根據(jù)當前的輸入X(t)，預(yù)測模型在線預(yù)測出轉(zhuǎn)子的位移x 和y。

隨著我國經(jīng)濟以及社會的快速發(fā)展，我國迅速進入數(shù)字化時代，此時信息發(fā)現(xiàn)、信息分析整合、信息管理以及信息創(chuàng)新應(yīng)用都發(fā)生了很大的改變。在此背景下，如何加強我國黨校圖書館的信息整合建設(shè)，受到了我國黨和政府的高度重視。習近平總書記曾指出：我國的黨校圖書館信息整合建設(shè)應(yīng)重點從提高信息質(zhì)量、推動信息創(chuàng)新方面下手。加強黨校圖書館為黨政部門決策所提供的的信息資源和服務(wù)，實現(xiàn)我國黨政建設(shè)的健康發(fā)展。

5)利用測試樣本集檢驗預(yù)測精度是否達到目標要求，符合要求，則預(yù)測結(jié)果有效，轉(zhuǎn)步驟6);否則轉(zhuǎn)步驟4)。評價模型采用均方根誤差:

6)采集t+1 時刻電流和位移數(shù)據(jù)，剔除t－L+1 時刻的數(shù)據(jù)，采集t+1 時刻的期望位移，并將計算結(jié)果加入期望數(shù)據(jù)集，令t= t+1，轉(zhuǎn)至步驟4)。

2.3 基于在線遞推LS－SVM 的轉(zhuǎn)子位移預(yù)測控制

以一臺三相交流主動磁軸承為例，介紹在線遞推LS－SVM 轉(zhuǎn)子位移預(yù)測控制算法。圖2 給出了三相交流主動磁軸承結(jié)構(gòu)示意圖。由圖2 可見，三個U 型電磁鐵沿圓周120°均勻分布，I0為偏置繞組中的直流電流，提供靜態(tài)偏置磁通;iA，iB，iC為三相交流電流［4］。

圖2 三相交流主動磁軸承結(jié)構(gòu)示意圖

忽略3 個磁極間的磁路耦合、漏磁、鐵心磁阻、轉(zhuǎn)子磁阻及渦流損耗等，根據(jù)磁路等效法，可得磁軸承懸浮力計算公式:

式中:I0為偏置繞組直流電流;S 為磁極截面積;δ0為磁極下氣隙長度;μ0為空氣的磁導率。

根據(jù)三相交流主動磁軸承的懸浮力模型，結(jié)合在線梯度LS－SVM 位移預(yù)測原理，構(gòu)建如圖3 所示的磁軸承轉(zhuǎn)子位移預(yù)測控制框圖。圖3 中，三相繞組電流和電壓由傳感器直接檢測得到，等效電流和等效磁鏈(ix，iy，ψx，ψy)經(jīng)過C3/2和式(10)得到，通過數(shù)據(jù)處理模塊形成在線窗式學習數(shù)據(jù)，LS－SVM模塊根據(jù)輸入樣本集，得到轉(zhuǎn)子位移預(yù)測值和，與參考值x*和y*進行比較，經(jīng)PID 調(diào)節(jié)器和力/電流轉(zhuǎn)換模塊得到兩相等效電流指令，經(jīng)過C2/3變換得到三相電流的指令值，，再經(jīng)過逆變器控制產(chǎn)生三相電流實際值iA，iB，iC，控制磁軸承轉(zhuǎn)子懸浮。

3 仿真分析研究

根據(jù)本文提出的轉(zhuǎn)子位移預(yù)測方法，在圖2 控制框圖基礎(chǔ)上進行仿真驗證。仿真所用磁軸承樣機參數(shù)如表1 所示，轉(zhuǎn)子初始位移為x=y =－0.2 mm。

表1 磁軸承模型參數(shù)

圖4 是空載起浮時轉(zhuǎn)子在徑向位移x 和y 的實際值和預(yù)測值對比曲線。從圖4(a)的轉(zhuǎn)子徑向位移曲線可以看出，基于在線遞推LS－SVM 的轉(zhuǎn)子預(yù)測位移能夠準確、快速地跟蹤轉(zhuǎn)子實際位移，并最終穩(wěn)定懸浮在平衡位置處。從圖4(b)的位移誤差曲線可以進一步看出，預(yù)測誤差分布具有如下特點:①轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮階段預(yù)測誤差小于起浮階段的預(yù)測誤差，主要是因為:轉(zhuǎn)子在穩(wěn)定懸浮階段基本無徑向位移，而在起浮階段徑向位移波動較大，使得在線算法的回歸計算時間較長，從而導致了預(yù)測位移滯后于實際位移;②對于同一預(yù)測位移，在較為平滑的上升或下降段預(yù)測精度較高，而在曲線拐點處的預(yù)測誤差較大，這主要是由于在拐點處曲線趨勢發(fā)生變化，導致算法的預(yù)測精度有所下降。③位移最大預(yù)測誤差為28 μm，遠小于氣隙長度0.5 mm。因此所述在線遞推LS－SVM 具備較高的預(yù)測精度。

圖4 位移實際值與預(yù)測值

為進一步驗證在線遞推LS－SVM 位移預(yù)測算法的優(yōu)越性，將其與傳統(tǒng)離線LS－SVM 位移預(yù)測算法進行對比研究。對比研究中，在轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮時對徑向兩自由度施加沖擊負載，觀察兩種算法下轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)情況。圖5 和圖6 分別給出了x 方向沖擊負載和y 方向沖擊負載作用下兩種算法的位移響應(yīng)波形。

圖6 y 方向沖擊負載仿真波形

從圖5 和圖6 可以看出，對兩個自由度施加沖擊負載后，在兩種預(yù)測算法控制下，磁軸承轉(zhuǎn)子在經(jīng)過一個單邊抖動后都能回到平衡位置，這表明了離線LS－SVM 和在線遞推LS－SVM 的位移預(yù)測控制均能實現(xiàn)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮運行。這體現(xiàn)了LS－SVM預(yù)測控制算法的有效性。同時，進一步比較圖5(a)、圖5(b)以及比較圖6(a)、圖6(b)可以看出，當沖擊負載消失以后，在線遞推LS－SVM 算法作用下轉(zhuǎn)子徑向波動幅值明顯小于離線LS－SVM 算法下的轉(zhuǎn)子波動幅值，這說明在線遞推LS－SVM 預(yù)測算法采用在線學習后，使其對對象變化具備更強的適應(yīng)能力，因而所提在線遞推LS－SVM 預(yù)測算法具有更強的適應(yīng)性。

4 結(jié) 語

本文采用在線遞推LS－SVM 進行磁軸承轉(zhuǎn)子位移在線預(yù)測研究，理論分析與仿真結(jié)果表明:

1)利用樣本窗式更新和遞推最小二乘法實現(xiàn)在線遞推LS－SVM 算法，提高了計算速度，使其滿足在線學習的要求;

2)基于在線遞推LS－SVM 預(yù)測模型能夠較好地映射出等效電流、磁鏈與轉(zhuǎn)子位移的實際動態(tài)關(guān)系，具備較高的預(yù)測精度和自適應(yīng)能力;

3)在線遞推LS－SVM 的磁軸承轉(zhuǎn)子位移預(yù)測控制方案，避免了位移傳感器的不利影響，簡化了懸浮控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，提高了系統(tǒng)的可靠性。

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