冉永清 李 楠 楊煜普

(上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

傳統(tǒng)的故障診斷方法根據(jù)監(jiān)控統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢測(cè)是否有故障發(fā)生，采用貢獻(xiàn)圖及故障重構(gòu)等方法來(lái)辨識(shí)故障發(fā)生的位置，以此達(dá)到故障診斷的目的[1，2]。然而這類方法都是基于過(guò)程中出現(xiàn)單一故障的假設(shè)，如果在檢測(cè)過(guò)程中同時(shí)出現(xiàn)多個(gè)故障，這類方法的故障診斷性能將急劇下降。為解決上述問(wèn)題，筆者從模式識(shí)別的角度考慮故障診斷問(wèn)題，將故障診斷分為兩個(gè)步驟，在離線狀態(tài)下，學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)之間的內(nèi)部關(guān)系及模式等抽象概念，建立故障診斷模型；在在線狀態(tài)下，所建立的故障診斷模型運(yùn)用學(xué)習(xí)到的知識(shí)，對(duì)新數(shù)據(jù)的內(nèi)在關(guān)系和模式做出預(yù)測(cè)，把故障數(shù)據(jù)分類到最接近的故障類中。從這個(gè)角度出發(fā)，筆者把故障診斷看成一個(gè)多類分類問(wèn)題，提出了有監(jiān)督學(xué)習(xí)方法——FKNMF方法，建立多故障診斷模型，解決多故障診斷問(wèn)題。

KNMF算法通過(guò)核函數(shù)將輸入空間的非線性數(shù)據(jù)映射到高維特征空間[3，4]，采用迭代的矩陣分解形式，挖掘特征空間數(shù)據(jù)的局部信息表示數(shù)據(jù)整體結(jié)構(gòu)。令輸入空間的數(shù)據(jù)X=[X1，X2，…,Xn]∈Rm×n，通過(guò)映射函數(shù)將數(shù)據(jù)映射到一個(gè)高維的特征空間F內(nèi)，得到的特征空間數(shù)據(jù)矩陣Φ(X)=[Φ(x1),Φ(x2),…,Φ(xn)]∈Rd×n。在特征空間F內(nèi)，尋找一個(gè)基矩陣U和一個(gè)系數(shù)矩陣V，使得Φ(·)：Rm→F:Rd：

Φ(X)≈UVT

(1)

其中U∈Rd×r，r表示降維后的維數(shù)；V∈Rn×r。

根據(jù)KNMF算法，假設(shè)基矩陣U是特征數(shù)據(jù)Φ(X)的凸組合，即U=Φ(X)W，則在特征空間F內(nèi)，把特征空間數(shù)據(jù)分解成如下形式：

Φ(X)≈Φ(X)WVT

(2)

KNMF算法是在特征空間內(nèi)通過(guò)學(xué)習(xí)尋找到參數(shù)矩陣W和系數(shù)矩陣V。

2 Fisher判據(jù)分析

圖1 Fisher判別的基本原理

以下為Fisher準(zhǔn)則的若干個(gè)必要判別參數(shù)。

在d維空間內(nèi)，各個(gè)樣本均值向量mi：

(3)

樣本類內(nèi)離散度矩陣Si和總類內(nèi)離散度矩陣Sw：

(4)

Sw=S1+S2

(5)

樣本類間離散度矩陣Sb：

Sb=(m1-m2)(m1-m2)T

(6)

Fisher準(zhǔn)則函數(shù)定義：

(7)

在特征空間里面，各個(gè)樣本在特征空間上的投影：

(8)

(9)

(10)

(11)

根據(jù)式(7)的定義可得：

(12)

由式(12)可見，在特征空間中，F(xiàn)isher準(zhǔn)則就是尋找使JF(w)最大的參數(shù)矩陣W，使各類樣本盡可能地分開，同時(shí)同一樣本盡量靠攏。

(13)

3 Fisher KNMF算法

筆者結(jié)合KNMF和FDA兩者的優(yōu)點(diǎn)，使KNMF算法在降維過(guò)程中，引入FDA分類思想，使得降維過(guò)程中同一類的數(shù)據(jù)盡量靠攏，不同類的數(shù)據(jù)盡量遠(yuǎn)離。這樣既保持了KNMF算法挖掘局部信息的能力，綜合了FDA的優(yōu)點(diǎn)，也彌補(bǔ)了FDA分類算法過(guò)度依賴數(shù)據(jù)均值的缺點(diǎn)。

3.1 目標(biāo)函數(shù)的建立

在特征空間內(nèi)，采用歐式距離來(lái)度量特征數(shù)據(jù)矩陣Φ(X)與Φ(X)、參數(shù)矩陣W和系數(shù)矩陣V三者乘積之間的誤差，將KNMF問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求取參數(shù)矩陣W和系數(shù)矩陣V，并使得以下目標(biāo)函數(shù)取得最小值：

(14)

其中ε是任意的極小值，該限制的含義是使式(13)盡可能相等。

將式(14)轉(zhuǎn)化成下列形式：

(15)

式(15)表示Fisher KNMF算法在KNMF算法的框架上增加了FDA分類思想作為正則項(xiàng)，其中參數(shù)α是一個(gè)系數(shù)，通過(guò)調(diào)節(jié)它來(lái)調(diào)整Fisher正則項(xiàng)的影響程度，使Fisher KNMF算法具有良好的靈活性。

3.2 目標(biāo)函數(shù)求解

目標(biāo)函數(shù)式(15)對(duì)于W和V單個(gè)變量是凸函數(shù)，但是同時(shí)對(duì)兩個(gè)變量是非凸函數(shù)，對(duì)于目標(biāo)函數(shù)求取的解可能不是全局最優(yōu)解。根據(jù)式(15)的KKT最優(yōu)松弛條件和互補(bǔ)松弛條件可以得到：

(16)

根據(jù)式(16)得到W、V和λ的更新規(guī)則：

(17)

采用式(17)的更新規(guī)則，最終可以得到FKNMF算法的參數(shù)矩陣W和系數(shù)矩陣V。

4 基于Fisher KNMF的多故障診斷方法

Fisher KNMF算法從一個(gè)包含正常數(shù)據(jù)和故障數(shù)據(jù)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中通過(guò)迭代矩陣分解，獲得參數(shù)矩陣W。對(duì)于未知類別的樣本，需要一個(gè)判別函數(shù)值來(lái)量化觀測(cè)向量和類之間的關(guān)系。觀測(cè)向量xi在類K上面的判別函數(shù)值采用下面判別式[6]：

(18)

其中pk是第K類的概率。

對(duì)于每一個(gè)測(cè)試樣本xt，通過(guò)式(18)計(jì)算出它在每一類上的判別值，然后判斷該樣本屬于判別函數(shù)值最大的那一類。即：

(19)

如果訓(xùn)練樣本中只有正常數(shù)據(jù)和一種故障數(shù)據(jù)，即故障檢測(cè)；如果訓(xùn)練數(shù)據(jù)包含了多種故障數(shù)據(jù)，那么在建立模型之后，就可以對(duì)測(cè)試樣本進(jìn)行故障診斷，判別該樣本處于正常狀態(tài)或是哪一類故障狀態(tài)，即完成了多故障診斷。

5 仿真實(shí)驗(yàn)

TE過(guò)程是基于實(shí)際工業(yè)過(guò)程的仿真案例[8]，整個(gè)過(guò)程系統(tǒng)共包括12個(gè)控制變量和41個(gè)測(cè)量變量，并且預(yù)定了21種故障。圖2為TE過(guò)程結(jié)構(gòu)圖。

圖2 TE過(guò)程結(jié)構(gòu)圖

5.1 單故障的診斷情況

選取正常數(shù)據(jù)的前200個(gè)數(shù)據(jù)和故障數(shù)據(jù)的201～400之間的200個(gè)數(shù)據(jù)共同作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，選取正常數(shù)據(jù)的281～480之間的200個(gè)數(shù)據(jù)和故障數(shù)據(jù)81～280之間的200個(gè)數(shù)據(jù)作為測(cè)試數(shù)據(jù)。設(shè)置降維維數(shù)為17，取系數(shù)α為0.5。表1是FDA算法和Fisher KNMF算法故障診斷準(zhǔn)確率對(duì)比。

表1 FDA算法和Fisher KNMF算法故障診斷準(zhǔn)確率對(duì)比 %

(續(xù)表1)

從表1可以看出，F(xiàn)isher KNMF算法的故障診斷準(zhǔn)確率總體上是優(yōu)于FDA算法的，其中在故障IDV(8)、IDV(10)、IDV(11)、IDV(12)、IDV(14)、IDV(16)和IDV(19)發(fā)生時(shí)，F(xiàn)isher KNMF算法的故障診斷準(zhǔn)確率明顯優(yōu)于FDA算法。圖3是IDV(1)和IDV(14)的FDA算法和Fisher KNMF算法的診斷效果圖。FDA算法故障診斷效果圖橫坐標(biāo)1～200表示兩類故障都為200個(gè)點(diǎn)，故障IDV(1)和IDV(14)的縱坐標(biāo)如果差距越大分的就越開，F(xiàn)isher KNMF算法縱坐標(biāo)表示兩類故障的個(gè)數(shù)，前200個(gè)應(yīng)該是正常數(shù)據(jù)，后200個(gè)是故障數(shù)據(jù)。從圖3可以得知，在故障IDV(1)發(fā)生時(shí)，F(xiàn)DA和Fisher KNMF算法都能夠完全分開故障，但是在故障IDV(14)發(fā)生時(shí)，F(xiàn)DA算法不能完全分開故障類別，而Fisher KNMF算法依然有94.25%的準(zhǔn)確率。

圖3 IDV(1)和IDV(14)發(fā)生時(shí)，F(xiàn)DA和Fisher KNMF算法的故障診斷效果

5.2 多故障的診斷情況

采用正常數(shù)據(jù)和兩種故障訓(xùn)練數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。取正常數(shù)據(jù)和兩類故障訓(xùn)練數(shù)據(jù)分別為200個(gè)數(shù)據(jù)，同樣每類測(cè)試集各選取200個(gè)點(diǎn)組成。仿真實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置降維維數(shù)為17，系數(shù)α為0.5。圖4是IDV(10)和IDV(14)同時(shí)發(fā)生時(shí)FDA算法和Fisher KNMF算法的故障診斷效果圖。

圖4 IDV(10)和IDV(14)同時(shí)發(fā)生時(shí)，F(xiàn)DA和Fisher KNMF算法的故障診斷效果

圖4中FDA算法基本不能分出3類數(shù)據(jù)，但是Fisher KNMF算法能夠達(dá)到93.25%的診斷正確率，僅有少數(shù)數(shù)據(jù)標(biāo)識(shí)錯(cuò)誤，通過(guò)此仿真實(shí)例說(shuō)明，F(xiàn)isher KNMF算法在多類故障診斷中具有很好的性能。

6 結(jié)束語(yǔ)

為解決多故障診斷問(wèn)題，筆者從模式分類的新角度考慮，提出了一種新的有監(jiān)督分類方法——Fisher KNMF算法，該算法結(jié)合了KNMF算法優(yōu)秀的處理非線性數(shù)據(jù)的能力和FDA算法優(yōu)秀的分類能力。建立的多故障診斷模型用于在線監(jiān)控，并在TE模型上仿真，結(jié)果表明：在單故障和多故障的情況下都具有很好的效果。

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