彭永新

“新課標(biāo)”開(kāi)篇即說(shuō)：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”[ ]。這句話(huà)點(diǎn)出了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。我們知道，數(shù)學(xué)知識(shí)作為客觀事物在數(shù)與形方面的特征與聯(lián)系在人腦中的能動(dòng)反映，反映的是一類(lèi)對(duì)象在數(shù)與形方面的內(nèi)在的、固有的屬性，不僅表現(xiàn)為數(shù)學(xué)概念、法則、公式等抽象的言語(yǔ)信息，還表現(xiàn)為數(shù)學(xué)思想方法等策略性知識(shí)。但是在實(shí)際教學(xué)中，一些老師往往囧于具體教學(xué)內(nèi)容的表面現(xiàn)象，看不清楚數(shù)學(xué)概念背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)的本源，教學(xué)實(shí)踐中不能準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)主流，甚至輕視數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，致使數(shù)學(xué)本質(zhì)被“形式化”、“片面化”乃至“虛幻化”。下面選取幾個(gè)教學(xué)案例做簡(jiǎn)單分析。

一、概念教學(xué)不能止于“形似”——數(shù)學(xué)本質(zhì)“形式化”

案例1：某教師在教學(xué)線(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn)之間的關(guān)系時(shí)，先出示一條線(xiàn)段，然后邊擦端點(diǎn)邊告訴學(xué)生“擦掉線(xiàn)段的一個(gè)端點(diǎn)，就變成了射線(xiàn)；再擦掉射線(xiàn)的一個(gè)端點(diǎn)，就變成了直線(xiàn)”。

分析：關(guān)于直線(xiàn)、線(xiàn)段、射線(xiàn)三者關(guān)系的描述，蘇教版四上P16頁(yè)有如下描述：把線(xiàn)段的一端無(wú)限延長(zhǎng)，就得到一條射線(xiàn)；把線(xiàn)段的兩端都無(wú)限延長(zhǎng)，就得到一條直線(xiàn)。這兩句話(huà)揭示了直線(xiàn)、射線(xiàn)與線(xiàn)段三者之間聯(lián)系與區(qū)別：線(xiàn)段是直線(xiàn)的一部分，它有兩個(gè)端點(diǎn)，可以度量，而直線(xiàn)和射線(xiàn)都是無(wú)限長(zhǎng)的，射線(xiàn)只有一個(gè)端點(diǎn)，而直線(xiàn)沒(méi)有端點(diǎn)。因此，“擦去線(xiàn)段的一個(gè)端點(diǎn)”，而不作延長(zhǎng)的標(biāo)示，它依然是一條線(xiàn)段，因?yàn)椤安寥ァ币粋€(gè)端點(diǎn)，必然會(huì)產(chǎn)生新的端點(diǎn)。同理，只“擦去射線(xiàn)的一個(gè)端點(diǎn)”，也依然是一條射線(xiàn)。這一道理是如此的淺顯，為什么這位老師要告訴學(xué)生“擦掉線(xiàn)段的一個(gè)端點(diǎn)，就變成了射線(xiàn)；再擦掉射線(xiàn)的一個(gè)端點(diǎn)，就變成了直線(xiàn)”呢？原因是這位教師淺顯地理解“習(xí)慣上教材有意識(shí)地把射線(xiàn)的一個(gè)端點(diǎn)或線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)放大，使在線(xiàn)上隱形的抽象的點(diǎn)顯性化、形象化”的真實(shí)用意。比如，畫(huà)一條射線(xiàn)，只需在一端用一短豎線(xiàn)或者一個(gè)紅點(diǎn)標(biāo)示（教材上基本上是這樣標(biāo)示的），如果是線(xiàn)段，需要在兩端都如此標(biāo)示。如此來(lái)看，“擦去一個(gè)端點(diǎn)”，其視覺(jué)效果正好符合射線(xiàn)的“標(biāo)示”模式。顯然，這種做法迎合的只是一種數(shù)學(xué)概念外在的“形似”，而或略了直線(xiàn)和射線(xiàn)的本質(zhì)特點(diǎn)“無(wú)限長(zhǎng)”。這樣的教學(xué)有可能使學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的理解：“直線(xiàn)就是線(xiàn)段去掉兩個(gè)點(diǎn)，射線(xiàn)就是線(xiàn)段去掉一個(gè)點(diǎn)，從而誤解了直線(xiàn)、線(xiàn)段、射線(xiàn)的本質(zhì)屬性?！蔽覀兊慕虒W(xué)決不能將本質(zhì)當(dāng)做淺顯的形式，失去了數(shù)學(xué)的“真”，這樣的教學(xué)后果是可怕的。

二、概念教學(xué)該怎樣走向深刻——數(shù)學(xué)本質(zhì)“片面化”

案例2：一位教師教學(xué)倍的認(rèn)識(shí)。先出示：●表示紅花，你能知道紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍嗎？先猜一猜，藍(lán)花可能有幾朵，紅花的朵數(shù)就是藍(lán)花的幾倍？

學(xué)生有的說(shuō)：2朵，有的說(shuō)可能3朵，4朵，也有人說(shuō)可能5朵，或者8朵……

師：大家的猜想有沒(méi)有道理呢？這樣吧，請(qǐng)你們?cè)诰毩?xí)紙上用○表示藍(lán)花先畫(huà)一畫(huà)，再圈一圈，看看紅花的朵數(shù)是你畫(huà)的藍(lán)花的幾倍？

數(shù)分鐘后，教師展示藍(lán)花分別是2朵、3朵、4朵和6朵四種情況（圖略），并逐一讓學(xué)生說(shuō)出紅花的朵數(shù)各是藍(lán)花的幾倍。

師：剛才有人說(shuō)藍(lán)花可以是5朵，或者8朵，你們覺(jué)得可以嗎？

生：不可以！……

分析：很顯然，這段設(shè)計(jì)十分精巧。先猜一猜，紅花的朵數(shù)就是藍(lán)花的幾倍，藍(lán)花可能有幾朵。然后老師借助畫(huà)、圈兩個(gè)動(dòng)作，讓學(xué)生自主探索出藍(lán)花的朵數(shù)可以是2朵、3朵、4朵、6朵。在聽(tīng)課的當(dāng)中，我非常期待執(zhí)教者能關(guān)注一下學(xué)生前面的5朵、8朵這兩種猜想的現(xiàn)實(shí)性，但遺憾的是，教師將5朵、8朵這樣的情況主動(dòng)回避了。為什么回避？執(zhí)教者的解釋是二年級(jí)學(xué)生對(duì)“倍”的認(rèn)識(shí)僅限于整數(shù)范圍。因?yàn)橹粚W(xué)了整數(shù)，所以倍的認(rèn)識(shí)就只限于整數(shù)嗎？

倍的本質(zhì)是“比”，即兩個(gè)量之間不僅僅是整數(shù)倍的關(guān)系，也可以是分率關(guān)系，關(guān)鍵是確定比的標(biāo)準(zhǔn)，將被比量看做一個(gè)單位，通過(guò)比較量有幾個(gè)或幾分之幾個(gè)這樣的單位來(lái)確定兩者之間的倍比關(guān)系。學(xué)生出現(xiàn)的5朵、8朵的猜想，不僅不能被排除在倍的認(rèn)識(shí)討論之外，相反是教學(xué)走向深刻的一個(gè)契機(jī)。這個(gè)案例的分析說(shuō)明，對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握，我們需要有一個(gè)長(zhǎng)遠(yuǎn)的目光。我們的教學(xué)不能只是見(jiàn)木而不見(jiàn)林，人為地割斷知識(shí)間的聯(lián)系，這很容易使學(xué)生陷入思維的泥沼。

三、數(shù)學(xué)文化的根基在哪里——數(shù)學(xué)本質(zhì)“虛幻化”

案例3：一位老師執(zhí)教圓的周長(zhǎng)一課。課前先引導(dǎo)學(xué)生觀看微課：也就是通過(guò)電腦演示圓的周長(zhǎng)分別與它的外接正方形周長(zhǎng)和內(nèi)接正六邊形周長(zhǎng)比較，得出圓的周長(zhǎng)比它的直徑的三倍多一些，又比它的直徑的四倍小一些。

接著教學(xué)中讓學(xué)生分組用滾圓法或者繞圓法開(kāi)展測(cè)量活動(dòng)，并計(jì)算出周長(zhǎng)與直徑的比值（要求保留兩位小數(shù)），巧合的是學(xué)生大多測(cè)量的結(jié)果接近3.14。

然后教師讓學(xué)生交流前面微課的體會(huì)，引出古今中外關(guān)于圓周率的研究歷史，從周三徑一到祖沖之的歷史貢獻(xiàn)等等。

分析：很顯然，執(zhí)教者的意圖是通過(guò)微課的形式充分展示了圓周率的歷史文化，突出了數(shù)學(xué)文化的教學(xué)，而對(duì)操作測(cè)量活動(dòng)的安排一帶而過(guò)。對(duì)這樣的安排，一些老師認(rèn)為是可行的有深度的教學(xué)嘗試。但筆者認(rèn)為，如果沒(méi)有測(cè)量法的實(shí)踐感受，學(xué)生怎會(huì)產(chǎn)生深刻的“麻煩”體驗(yàn)，缺少了體驗(yàn)的文化滲透，充其量只是一場(chǎng)走秀而已。因此，筆者這里不僅需要從課堂上的實(shí)際情況做真實(shí)的測(cè)量活動(dòng)，相反應(yīng)該讓學(xué)生從取一位小數(shù)、到兩位小數(shù)、再三位小數(shù)、甚至四位小數(shù)的近似值結(jié)果，從中實(shí)際感受到測(cè)量法求圓周率的誤差把握的不易，在此基礎(chǔ)上再借機(jī)進(jìn)行古代數(shù)學(xué)家們進(jìn)行計(jì)算圓周率的方法探求，這不僅僅是一種科學(xué)精神的教育，更重要的是數(shù)學(xué)思想的滲透。從這節(jié)課的探討來(lái)看，筆者以為我們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)核心的理解關(guān)鍵取決于教師具有怎樣的教學(xué)境界。

從上面三個(gè)案例的分析來(lái)看，一線(xiàn)教師在概念教學(xué)時(shí)之所以出現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)形式化、片面化、虛幻化，筆者認(rèn)為一個(gè)重要的原因是教師們尚不能從微觀出發(fā)來(lái)認(rèn)識(shí)和把握處理數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)。所謂微觀，即從小的方面、局部方面去研究，這種研究方法，叫做微觀方法。在微觀上，數(shù)學(xué)本質(zhì)是指具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的本真意義。對(duì)此，章建躍、張翼等人提出，數(shù)學(xué)本質(zhì)不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)上，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)精神里，還體現(xiàn)在抽象、嚴(yán)密、簡(jiǎn)潔等特點(diǎn)上。北京教育學(xué)院劉加霞教授則將數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)涵歸結(jié)為以下五個(gè)層面：一是對(duì)基本數(shù)學(xué)概念的理解；二是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的把握；三是對(duì)數(shù)學(xué)特有思維方式的感悟；四是對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞；五是對(duì)數(shù)學(xué)精神（理性精神與探究精神）的追求。這些論述，對(duì)我們的教學(xué)實(shí)踐具有一定的指導(dǎo)意義。

【作者單位：蘇州工業(yè)園區(qū)星海小學(xué) 江蘇】