黃岸毅，謝 鑫，張智斌，李恒年

1.宇航動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安710034；2.中國(guó)西安衛(wèi)星測(cè)控中心，陜西 西安710034

1 引 言

我國(guó)探月工程已順利實(shí)現(xiàn)“落月”的階段性目標(biāo)。利用月球車等載荷工具在月面開展進(jìn)一步的科學(xué)觀測(cè)和試驗(yàn)，其重要基礎(chǔ)是著陸器、巡視器等多個(gè)目標(biāo)的相對(duì)位置確定，對(duì)其協(xié)同工作，撞擊預(yù)警等具有重要作用。在未來探測(cè)器返回任務(wù)中，目標(biāo)分離、對(duì)接等過程同樣需要精確的相對(duì)位置關(guān)系。相對(duì)定位方法主要有兩類，一類是基于目標(biāo)之間的相互觀測(cè)，如雷達(dá)探測(cè)、視覺定位等，適用于探測(cè)器的自主導(dǎo)航與控制，另一類基于地面觀測(cè)，在地面干預(yù)和事后評(píng)估方面有一定的優(yōu)勢(shì)。

同波束干涉測(cè)量（same beam interferometry，SBI）技術(shù)屬于后一類，它以甚長(zhǎng)基線干涉測(cè)量（VLBI）技術(shù)為基礎(chǔ)，利用兩個(gè)地面站同時(shí)接收兩個(gè)相近空間目標(biāo)下行信號(hào)進(jìn)行差分處理，以此抵消大氣、等離子體等引入的傳輸時(shí)延誤差和接收設(shè)備的時(shí)延等誤差項(xiàng)，可實(shí)時(shí)解算得到兩個(gè)航天器的高精度相對(duì)位置數(shù)據(jù)［1］。SBI的應(yīng)用已較為廣泛，中國(guó)科學(xué)院上海天文臺(tái)在數(shù)據(jù)的預(yù)處理和解算方面做了大量工作，可提供精度最高達(dá)到皮秒（ps）級(jí)的測(cè)量數(shù)據(jù)［2－4］。文獻(xiàn)［5—6］詳細(xì)介紹了其原理和理論模型，文獻(xiàn)［7］利用同波束測(cè)量進(jìn)行了月球軌道精密確定及重力場(chǎng)解算的理論研究。文獻(xiàn)［8］詳細(xì)論述了同波束在精密測(cè)軌定位中的應(yīng)用。文獻(xiàn)［9］對(duì)定位精度進(jìn)行了詳細(xì)的仿真和理論分析，并使用地球軌道航天器驗(yàn)證了其結(jié)論。針對(duì)月面相對(duì)定位，文獻(xiàn)［10］推導(dǎo)了基于USB測(cè)距和SBI觀測(cè)數(shù)據(jù)的定位算法，精度較高，但不適用于缺少測(cè)距信息的情形，在不具備USB觀測(cè)條件時(shí)無法應(yīng)用。

對(duì)于在月球表面活動(dòng)的目標(biāo)，其位置應(yīng)滿足月球數(shù)字地形模型的約束。月球數(shù)字地形模型含有通過地形測(cè)繪得到的月面高程隨經(jīng)緯度的變化信息［11］，例如美國(guó)的 ULCN2005模型［12］，日本的SELENE數(shù)據(jù)模型［13］，我國(guó)通過嫦娥系列探測(cè)器攜帶的CCD相機(jī)、激光測(cè)高儀等測(cè)量設(shè)備也獲得了較精確的數(shù)字地形模型［14－16］。上述模型的高程精度都在百米以內(nèi)，最高達(dá)到10m，可以用于相對(duì)定位計(jì)算。文獻(xiàn)［17］進(jìn)行了相關(guān)研究，并分析了測(cè)量誤差。

本文根據(jù)SBI測(cè)量原理，提出基于著陸器先驗(yàn)位置和差分時(shí)延、差分時(shí)延率觀測(cè)數(shù)據(jù)的巡視器月面相對(duì)定位卡爾曼濾波算法，引入高程約束和月球數(shù)字高程模型，并評(píng)估算法的應(yīng)用效果。

2 觀測(cè)原理

SBI技術(shù)是VLBI測(cè)量技術(shù)的一種衍生技術(shù)。它是指：當(dāng)兩個(gè)航天器在角度上非常接近時(shí)，可在一個(gè)地面天線的同一主波束內(nèi)被觀測(cè)，使用兩面深空天線對(duì)兩個(gè)航天器的同時(shí)觀測(cè)量，即可生成差分干涉觀測(cè)量［18］。SBI觀測(cè)模型如圖1所示。

圖1 同波束干涉測(cè)量示意圖Fig.1 Schematic diagram of the same beam interferometry

本文不涉及觀測(cè)信號(hào)的預(yù)處理。假設(shè)已得到數(shù)據(jù)相關(guān)處理結(jié)果，一般為在同一時(shí)刻得到的多條基線相位時(shí)延值，對(duì)應(yīng)不同測(cè)站的波前沒有對(duì)齊。而本文考慮物理意義更加直觀的同一波前傳輸原理，即相位時(shí)延為同一波前到達(dá)基線兩個(gè)站的時(shí)間差。因此需要將探測(cè)器與巡視器的時(shí)延及差分?jǐn)?shù)據(jù)插值修正至同一波前［2］。設(shè)某一時(shí)刻t著陸器和巡視器同時(shí)發(fā)出信號(hào)，測(cè)站1接收到著陸器、巡視器信號(hào)的時(shí)刻分別為t1L、t1R，測(cè)站2接收到著陸器、巡視器信號(hào)的時(shí)刻分別為t2L、t2R。則VLBI時(shí)延觀測(cè)量（以測(cè)站1為主站，測(cè)站2為從站）即

相應(yīng)的，SBI差分時(shí)延觀測(cè)量為

設(shè)信號(hào)傳播速度為常量c，差分時(shí)延和時(shí)延率可由下式表示

式中，R2、R1分別為t1L時(shí)刻對(duì)應(yīng)測(cè)站1、t2L時(shí)刻對(duì)應(yīng)測(cè)站2的慣性系矢量；R′2、R′1分別為t1R時(shí)刻對(duì)應(yīng)測(cè)站1、t2R時(shí)刻對(duì)應(yīng)測(cè)站2的慣性系矢量。由于向量在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后模不變，上述關(guān)系在月球固連坐標(biāo)系下同樣適用。

3月面相對(duì)定位的觀測(cè)方程

式（3）即使用SBI數(shù)據(jù)進(jìn)行相對(duì)定位的基礎(chǔ)。設(shè)待估量為巡視器慣性系的位置與著陸器位置的差

可以直接測(cè)量得到的為式（1）和式（2）中的ΔτRL、τR、τL和t1L、t1R、t2L、t2R等。則式（3）中對(duì)應(yīng)每個(gè)時(shí)刻的測(cè)站位置可由測(cè)站地理坐標(biāo)根據(jù)地球自轉(zhuǎn)等關(guān)系計(jì)算（可視為以時(shí)間為變量的函數(shù)），此處不再贅述。

在式（3）的未知量中，首先需要計(jì)算RR、RL對(duì)應(yīng)的時(shí)刻t（即著陸器和巡視器發(fā)出信號(hào)的時(shí)刻），由測(cè)站1到著陸器光行時(shí)的計(jì)算關(guān)系可知

式中，著陸器慣性系位置矢量為RL（t），上標(biāo)為m表示月球固連坐標(biāo)系下的坐標(biāo)（后同），可由給定的月球固連坐標(biāo)系位置RmL和月球固連坐標(biāo)系到J2000慣性系的轉(zhuǎn)換矩陣Mt（t）計(jì)算；Mt（t）根據(jù)JPL星歷（或IAU公式，原理同之）計(jì)算

式中，Rz為繞Z軸旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣；Rx為繞X軸旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣；Λ、is、Ω′可由JPL星歷查得。

由式（5），先設(shè)t的初值為t1L，計(jì)算RL（t），代入等式的右側(cè)更新左側(cè)時(shí)間t。如此多次迭代最終得到精確的信號(hào)發(fā)出時(shí)刻t及對(duì)應(yīng)的RL。

式（3）中差分時(shí)延可轉(zhuǎn)化為

式中

綜上，可得單個(gè)基線的差分時(shí)延觀測(cè)方程為

根據(jù)差分時(shí)延率的定義，類似的，可得

由于

可得

根據(jù)式（5），當(dāng)著陸器、巡視器在月固系下位置不變時(shí)有

即

式（16）即單個(gè)基線差分時(shí)延率合理簡(jiǎn)化后的觀測(cè)方程。

4 約束方程及相對(duì)定位濾波算法

由于差分時(shí)延、時(shí)延率對(duì)距離和速度作了差分，造成絕對(duì)位置信息的丟失，需要補(bǔ)充約束方程，否則會(huì)引起方程組的奇異。文獻(xiàn)［6］中引入了USB測(cè)距、測(cè)速的約束，但依賴有效的觀測(cè)弧段。本文針對(duì)月面目標(biāo)特點(diǎn)，引入了數(shù)字月球模型和強(qiáng)制高程約束。

強(qiáng)制高程約束為指定巡視器在月球固連坐標(biāo)系下經(jīng)緯高中的高程，即

將巡視器高程減去著陸器高程，經(jīng)過一階近似，可得

對(duì)于月面目標(biāo)，如果其所在當(dāng)?shù)卦旅娴貏?shì)足夠平坦，則可以認(rèn)為ΔH為0。也可由月球地形模型得到H0和HL并計(jì)算ΔH。月球地形模型通過一系列測(cè)繪數(shù)據(jù)積累和處理得到了月球表面經(jīng)緯度（λ，φ）與高程的二元函數(shù)關(guān)系

以美國(guó)的ULCN2005模型為例，其數(shù)據(jù)文件按照一定間隔離散化經(jīng)緯度并給出了對(duì)應(yīng)的高程，可直接查表插值計(jì)算。實(shí)際使用中可由式（19）插值計(jì)算高程并代入式（18）得到約束方程。

綜合約束與觀測(cè)方程，即可求解ΔR?？墒褂米钚《朔▽?duì)每個(gè)采樣時(shí)間點(diǎn)的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行解算，此處不再贅述。本文同時(shí)提出以下帶約束的卡爾曼濾波算法。

以慣性系的兩器相對(duì)位置ΔR為狀態(tài)量，由于ΔR轉(zhuǎn)到月固坐標(biāo)系后隨時(shí)間變化保持不變，所以其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可表示為

觀測(cè)量為 ΔτRL和，觀測(cè)方程見式（9）和式（16）。同時(shí)將約束式（11）也作為觀測(cè)方程（ΔH為觀測(cè)量）［19－20］，即可應(yīng)用如下的卡爾曼濾波算法流程。

（1）計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

（2）計(jì)算協(xié)方差矩陣及狀態(tài)量的預(yù)測(cè)值

（3）由式（23）、式（9）、式（16）和式（18）計(jì)算觀測(cè)量和約束式的預(yù)測(cè)值

式中，使用數(shù)字月球模型時(shí)，需要首先由ΔR（k＋1/k）計(jì)算對(duì)應(yīng)的巡視器經(jīng)緯度，代入式（19）得到ΔH。

（4）根據(jù)實(shí)際觀測(cè)量更新狀態(tài)量及協(xié)方差矩陣

式中，Q可以根據(jù)JPL星歷的精度得到；R中關(guān)于和ΔτRL的部分由觀測(cè)噪聲得出。約束量ΔH的方差在指定高程時(shí)設(shè)為接近零，使用數(shù)字月球模型時(shí)則按照模型實(shí)際精度設(shè)置。

需要說明的是，根據(jù)差分時(shí)延和差分時(shí)延率的特點(diǎn)，差分時(shí)延率對(duì)測(cè)量精度要求更高，但在實(shí)際應(yīng)用中難以滿足，因而對(duì)狀態(tài)改進(jìn)的貢獻(xiàn)較小。但是當(dāng)差分時(shí)延存在常值系統(tǒng)差時(shí)，側(cè)重使用差分時(shí)延率數(shù)據(jù)可以有效消除系統(tǒng)差引起的不利影響（系統(tǒng)差的導(dǎo)數(shù)為零）。

5 仿真實(shí)例

首先利用仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證算法的有效性。設(shè)著陸器 經(jīng) 度、緯 度、高 程 分 別 為（－20.3°，44.1°，－2632m），巡視器相對(duì)著陸器經(jīng)緯高分別為（0.007°，0.006°，0m），其 高 程 完 全 符 合 ULCN2005模型。由式（3）生成4個(gè)深空測(cè)量站（上海、北京、烏魯木齊、昆明）共6條基線2013年12月15日0時(shí)至0時(shí)30分的仿真差分時(shí)延、差分時(shí)延率數(shù)據(jù)，采樣間隔為5s，并分別加入100ps和10 ps/s的隨機(jī)誤差。

相對(duì)定位計(jì)算時(shí)取著陸器先驗(yàn)經(jīng)度、緯度、高程分別為（－20.3°，44.1°，－2632m），巡視器初始的相對(duì)經(jīng)緯度取為（0°，0°）。

5.1 算法精度驗(yàn)證

使用ULCN2005模型時(shí)，卡爾曼濾波（KLM）與最小二乘（LSM）單點(diǎn)解算的結(jié)果比對(duì)見圖2，其橫軸為觀測(cè)量序列，縱坐標(biāo)為月固系下的三維相對(duì)位置，理論值為（－65.82m，186.68m，130.51m）。

圖2 仿真數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果Fig.2 Calculation result of simulation data

可見使用帶約束的卡爾曼濾波算法后能夠有效消除隨機(jī)噪聲，如果高程模型完全匹配，最終收斂結(jié)果與理論值的偏差在0.02m以內(nèi)（相對(duì)誤差1e－4），對(duì)應(yīng)經(jīng)緯度偏差在1e－6°以內(nèi)。

5.2 高程模型系統(tǒng)差的影響

設(shè)約束量ΔH存在一定的系統(tǒng)偏差（±100m以內(nèi)），則其不同取值對(duì)定位結(jié)果的影響見圖3?？梢钥吹礁叱棠Ｐ推畋黄骄两?jīng)緯度偏差中，由于月面經(jīng)緯度1°對(duì)應(yīng)距離約30km，將單位由度數(shù)轉(zhuǎn)換為米后對(duì)應(yīng)的總偏差與約束量ΔH的偏差相當(dāng)，結(jié)論與約束式（18）相符。

圖3 高程模型誤差對(duì)應(yīng)的定位偏差Fig.3 Deviation of position determination corresponding to height model error

5.3 著陸器先驗(yàn)位置誤差的影響

設(shè)著陸器先驗(yàn)位置存在一定的誤差（經(jīng)緯度±1°，高程±3km以內(nèi)），則不同的誤差取值對(duì)應(yīng)計(jì)算結(jié)果見表1和表2?？梢娪?jì)算結(jié)果對(duì)著陸點(diǎn)位置誤差較不敏感：經(jīng)緯度1°對(duì)應(yīng)3m左右，而高程3km對(duì)應(yīng)0.4m左右的偏差。

表1 定位結(jié)果（著陸器經(jīng)緯度偏差）Tab.1 Result of positon determination（deviation of lander’s latitude and longitude）

表2 定位結(jié)果（著陸器高程偏差）Tab.2 Result of positon determination（deviation of lander’s height）

6 結(jié) 論

本文根據(jù)同波束干涉測(cè)量技術(shù)的原理，推導(dǎo)了具有一定程度簡(jiǎn)化的差分時(shí)延、差分時(shí)延率觀測(cè)方程，并結(jié)合高程約束提出了一種月面目標(biāo)的相對(duì)定位卡爾曼算法，同時(shí)引入高程約束方程作為觀測(cè)方程的補(bǔ)充。通過仿真實(shí)例表明該算法在高程模型無系統(tǒng)差時(shí)能夠達(dá)到1e－4以內(nèi)的相對(duì)精度，特別適用于平坦月面近距離（此時(shí)兩器相對(duì)高程信息較準(zhǔn)確）的相對(duì)定位；在高程模型存在偏差時(shí)定位精度與高程模型精度相當(dāng)。算法對(duì)著陸器先驗(yàn)位置的誤差較不敏感，且不需要測(cè)距測(cè)速等附加觀測(cè)信息，適應(yīng)性強(qiáng)，能夠滿足探月任務(wù)月面相對(duì)定位的精度需求（1～10m）。由于該算法對(duì)給定的先驗(yàn)高程約束較敏感，因此如果定位精度要求高于數(shù)字高程模型精度，就需要尋求其他約束聯(lián)合使用，這部分工作將是后續(xù)研究的重點(diǎn)。

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