高致富 張 鋒 王三剛

(1.陜西科技大學(xué)輕工與能源學(xué)院, 陜西西安, 710021；2.陜西省造紙技術(shù)及特種紙開(kāi)發(fā)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西西安, 710021)

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·紙漿懸浮液纖維模型·

紙漿懸浮液纖維模型的研究進(jìn)展

高致富1,2張 鋒1,2王三剛1

(1.陜西科技大學(xué)輕工與能源學(xué)院, 陜西西安, 710021；2.陜西省造紙技術(shù)及特種紙開(kāi)發(fā)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西西安, 710021)

纖維模型對(duì)于應(yīng)用計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)模擬紙漿懸浮液中纖維運(yùn)動(dòng)特性是非常必要的。目前國(guó)內(nèi)外對(duì)纖維模型的建模方式有剛性纖維模型和柔性纖維模型。筆者概述了國(guó)內(nèi)外纖維模型的發(fā)展情況,著重分析了剛性纖維模型和柔性纖維模型的建模思想,通過(guò)對(duì)比分析各種纖維模型的適用范圍、優(yōu)越性和局限性,提出了纖維模型的發(fā)展趨勢(shì)。

紙漿懸浮液；纖維；模型；仿真；流體

(*E-mail： 710140884@qq.com)

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,計(jì)算機(jī)輔助工程(CAE)已經(jīng)成為現(xiàn)代機(jī)械產(chǎn)品研發(fā)的主要手段,而制漿造紙?jiān)O(shè)備的研發(fā)也不例外。為了得到更好的紙機(jī)成形設(shè)備,需要真實(shí)地仿真分析纖維懸浮液在紙機(jī)成形設(shè)備中的流動(dòng)情況。因而,建立紙漿懸浮液的纖維模型對(duì)于紙機(jī)成形設(shè)備的發(fā)展顯得尤為重要。然而,紙漿纖維是一種細(xì)長(zhǎng)柔軟具有可塑性的固相物質(zhì),其在紙漿流動(dòng)過(guò)程中不是簡(jiǎn)單的隨流體流動(dòng)方向而運(yùn)動(dòng),而是同時(shí)具有彎曲、扭轉(zhuǎn)、翻滾等多種復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)形式。根據(jù)纖維模型是否具有可變形性,將纖維模型分為剛性纖維模型和柔性纖維模型。目前國(guó)內(nèi)對(duì)紙漿纖維與懸浮液之間的作用機(jī)理研究雖取得一些成果,但仍有許多問(wèn)題未得到合理解釋,在一定程度上限制了纖維懸浮液流動(dòng)過(guò)程中纖維取向分布及其流動(dòng)特性的有效控制,致使國(guó)內(nèi)紙漿纖維模型的研究主要集中于剛性纖維模型。然而,柔性纖維模型更接近于纖維的真實(shí)情況，可以更靈活具體地反映纖維在流體中的變形,使纖維的流體動(dòng)力特性計(jì)算更接近于實(shí)際情況。因此,研究和理解纖維懸浮液中纖維與流場(chǎng)間潛在的作用機(jī)理,建立合理的物理模型對(duì)于紙機(jī)成形設(shè)備的開(kāi)發(fā)具有十分重要的理論和實(shí)際意義。筆者在對(duì)剛性纖維模型分析基礎(chǔ)之上,主要針對(duì)不同柔性纖維模型的建立理論進(jìn)行闡述和對(duì)比分析。

1 剛性纖維模型

1922年,Jerrery[1]首先研究了橢球粒子在簡(jiǎn)單剪切流中的運(yùn)動(dòng),發(fā)現(xiàn)粒子在一個(gè)閉合橢圓軌道上做周期性旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。1962年,Bretherton[2]的研究表明，任何一個(gè)軸對(duì)稱剛體粒子在簡(jiǎn)單剪切流中運(yùn)動(dòng)時(shí)都有一個(gè)封閉固定不會(huì)漂移的軌道。Bretherton通過(guò)引入等效長(zhǎng)徑比概念,將Jerrery對(duì)橢球粒子的研究方法推廣到任何軸對(duì)稱粒子。假設(shè)軸對(duì)稱粒子處于球坐標(biāo)中,如圖1所示,粒子對(duì)稱軸方向的單位矢量可表示為(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ),則粒子的運(yùn)動(dòng)方程為：

圖1 纖維粒子方位角示意圖

(1)

(2)

圖2 在長(zhǎng)徑比rp=10時(shí)不同軌道常數(shù)下粒子軌道

近年來(lái),國(guó)內(nèi)研究者對(duì)纖維粒子運(yùn)動(dòng)研究一般采用剛性纖維模型,其中付平樂(lè)等人[3]提出了剛性球形纖維模型，研究發(fā)現(xiàn)在低濃度下,纖維在流動(dòng)中所受的徹體力R、流體拖動(dòng)力P、旋轉(zhuǎn)升力F1等作用力與纖維懸浮液中所具有的形狀以及形狀的變化并無(wú)關(guān)系,而只與纖維打漿帚化后在懸浮液中所占有的空間外表面積的大小有直接關(guān)系。由此他引入球形纖維粒子的假設(shè),把細(xì)長(zhǎng)柔軟可塑性的固態(tài)纖維,看作一個(gè)外表面積相同而形狀不發(fā)生改變的球形纖維粒子,如圖3所示。整個(gè)纖維懸浮液是由液態(tài)水和固態(tài)球形纖維粒子共同組成,球形粒子與液態(tài)水的作用力等效于固態(tài)纖維與水的作用力,而球形粒子的運(yùn)動(dòng)即可表示纖維粒子在懸浮液中的運(yùn)動(dòng)。肖宗亮[4]對(duì)纖維模型進(jìn)行推廣,采用等面積法和等體積法對(duì)剛性橢球和圓柱形纖維粒子進(jìn)行了研究。

圖3 纖維外表面積模擬的球體模型

國(guó)內(nèi)采用上述剛性纖維模型的實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果表明,剛性纖維模型的運(yùn)動(dòng)特性與Jerrery理論相符合。因此可采用Jerrery的研究方法對(duì)剛性纖維模型在流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行模擬。然而,研究表明隨著纖維濃度的增加,纖維變形或纖維與纖維之間的相互作用對(duì)紙漿懸浮液的動(dòng)力學(xué)特性影響更加突出,已不可忽略。由于剛性纖維模型并沒(méi)有考慮纖維之間的相互作用,因此剛性纖維模型只適用于低濃度、底剪切作用下的纖維懸浮液。為了彌補(bǔ)剛性纖維模型的不足,國(guó)內(nèi)外學(xué)者相繼提出了柔性纖維模型。

2 柔性纖維模型

剛性纖維模型是把纖維當(dāng)作剛性粒子,忽略了纖維在流體運(yùn)動(dòng)中的變形。為了進(jìn)一步認(rèn)識(shí)清楚纖維粒子在流體中的運(yùn)動(dòng)情況,Yamamoto等人[5]首先提出了柔性纖維模型,后來(lái)其他學(xué)者在其模型基礎(chǔ)上繼承并發(fā)展。目前,主要柔性纖維模型有圓球形纖維模型、橢球鏈纖維模型和圓柱桿鏈纖維模型。

2.1 圓球形纖維模型

根據(jù)圓球間的連接方式不同,可將圓球形纖維模型分為Yamamoto圓球形纖維模型和Paal Skjetne圓球鏈纖維模型。

2.1.1 Yamamoto圓球形纖維模型

1993年,Yamamoto等人[5]提出了一種類似于模擬分子動(dòng)力學(xué)的纖維模型,將圓柱桿纖維看作為一連串球體排列連接而成,其結(jié)構(gòu)如圖4所示。若單個(gè)纖維是由N個(gè)半徑為a的球體排列構(gòu)成,結(jié)構(gòu)如圖5所示,則圓柱桿纖維直徑為2a、長(zhǎng)度為2Na、長(zhǎng)徑比為N。相鄰圓球體之間通過(guò)連接距離、彎曲角度和扭轉(zhuǎn)角度將其約束在一起。該模型可以通過(guò)改變相鄰球體之間的連接距離、彎曲角度以及扭轉(zhuǎn)角度,模擬纖維在流體中產(chǎn)生拉伸、彎曲和扭轉(zhuǎn)變形，其作用方式示意圖見(jiàn)圖6。

圖4 單個(gè)纖維球體組成示意圖

圖5 由N個(gè)半徑為a球體組成的纖維模型示意圖

(1)纖維拉伸。圖6(A)為纖維拉伸示意圖,在平衡狀態(tài)時(shí),相鄰兩圓球體之間都有其平衡距離r0(r0=2a),若將相鄰圓球體之間的距離拉伸到r時(shí),作用在每個(gè)球上的拉伸力Fs為:

Fs=-ks(r-r0)

(3)

式中,ks是拉伸常數(shù),與纖維特征和楊氏模量有關(guān)；r0是纖維平衡態(tài)的相鄰兩球連接距離。

(2)纖維彎曲。圖6(B)為纖維彎曲示意圖,使相鄰兩圓球的連接角度從θb0到θb的彎矩Tb為:

Tb=-kb(θb-θb0)

(4)

式中,kb是彎曲常數(shù),與纖維特征與楊氏模量有關(guān)；θb0是纖維平衡態(tài)的彎曲角(θb0=0)。

(3)纖維扭轉(zhuǎn)。圖6(C)為纖維扭轉(zhuǎn)示意圖,相鄰兩圓球的扭轉(zhuǎn)角度從平衡態(tài)θt0到θt的轉(zhuǎn)矩Tt為:

Tt=-kt(θt-θt0)

(5)

式中,kt是扭轉(zhuǎn)常數(shù),與纖維特征與剪切模量有關(guān)；θt0是平衡時(shí)扭轉(zhuǎn)角(通常θt0=0)。

圖6 相鄰圓球體之間的作用方式示意圖

通過(guò)上述建模,可以模擬柔性纖維在流體中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。通過(guò)改變纖維模型的拉伸常數(shù)、彎曲常數(shù)和扭轉(zhuǎn)常數(shù),模擬不同柔軟度的纖維粒子。當(dāng)這些參數(shù)都相當(dāng)大時(shí),可以看作剛性纖維。通過(guò)分析求解纖維模型中每個(gè)球體在流體中所受的力和力矩,建立纖維粒子的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)方程,從而可知纖維粒子在流體中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

(6)

(7)

式中,m為球體質(zhì)量；ri為球體i的位置；θi為球體i的角度；nij為相鄰兩圓球中心距離的單位矢量。

圖7 圓球體i的受力分析

這種纖維模型的優(yōu)勢(shì)主要表現(xiàn)為：①可模擬任意形狀的粒子,具有良好的適用性；②可模擬不同柔軟度的纖維粒子；③模擬方法簡(jiǎn)單。該模型主要局限于低濃度和低雷諾數(shù)條件下，只考慮纖維間短程潤(rùn)滑力時(shí)的剪切懸浮流時(shí)纖維的運(yùn)動(dòng)變形情況；且此模擬方法的計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜,每一步都滿足一組迭代約束方程,需要進(jìn)行迭代運(yùn)算,從而對(duì)計(jì)算機(jī)性能要求較高。

2.1.2PaalSkjetne圓球鏈纖維模型

PaalSkjetne圓球鏈纖維模型與Yamamoto圓球形纖維模型相似。然而,PaalSkjetne等人[6]建立的柔性纖維模型是采用球鉸鏈連接的剛性球珠鏈,如圖8所示。單個(gè)纖維模型由多個(gè)子單元纖維模型組成。子單元的圓球體一端連接無(wú)質(zhì)量小球,另一端連接通過(guò)球質(zhì)心的球窩,小球和球窩距球體表面距離分別是k1和k2；單個(gè)纖維模型中總共有N個(gè)球鉸鏈。其中有N-1個(gè)球鉸鏈由于使用球窩關(guān)節(jié)限制了相鄰球珠之間的平動(dòng),所以這N-1個(gè)球鉸鏈只有3個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度；但有一個(gè)球鉸鏈連接到參考系中,因此這個(gè)球鉸鏈有6個(gè)自由度,所以該纖維模型可以模擬真實(shí)纖維的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程。

圖8 纖維模型子單元的幾何形狀示意圖

若球珠用希臘字母(ν,η,к,…=1,…N)表示,球鉸鏈用拉丁字母(,b,c,…=1,…N)表示。定義整數(shù)函數(shù)i+(α)=-1,i-(α)=分別為球珠內(nèi)側(cè)和外側(cè),連接矩陣S和其逆矩陣T分別由式(8)、式(9)定義:

(8)

圖11 橢球體和鉸鏈編號(hào)示意圖

(9)

顯而易見(jiàn),這兩個(gè)矩陣有下列關(guān)系：

S·T=T·S=δ，δ為N·N列單位矩陣。

上述定義了球珠之間的連接方式,那么就可以通過(guò)求解圓球鏈纖維模型中單個(gè)球珠ν運(yùn)動(dòng)來(lái)模擬纖維在流場(chǎng)中的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。圓球鏈纖維模型中單個(gè)球珠受力有通過(guò)球珠質(zhì)心的合外力Fν和球鉸鏈b、c處的內(nèi)部約束力Xb、Xc,這些力產(chǎn)生的力矩有合外力力矩Mν和約束力矩Yb、Yc,受力情況如圖9所示。

圖9 球珠ν受力示意圖

纖維模型中每個(gè)球珠在流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)都滿足牛頓第二定律和角動(dòng)量守恒定律。對(duì)球珠ν應(yīng)用牛頓第二定律有：

(10)

對(duì)球珠ν由角動(dòng)量平衡定律可得：

(11)

該纖維模型可以模擬纖維在無(wú)界線性剪切流和拋物線剪切流條件下運(yùn)動(dòng)變形情況。同時(shí),該模型無(wú)需迭代約束來(lái)保持纖維之間的連接,因此這有助于減少計(jì)算機(jī)的運(yùn)算量,提高計(jì)算機(jī)運(yùn)行速度和計(jì)算效率。但是該模型在模擬過(guò)程中忽略了球珠慣性和球珠之間的水動(dòng)力作用(與第一模型之間的三種變形的受力處理方式不同,導(dǎo)致模型迭代數(shù)量減少,降低對(duì)計(jì)算機(jī)的性能要求)。

2.2 橢球體鏈纖維模型

相比于Paal Skjetne等人模型,Ross等人[7]提出了球鉸連接的橢球體鏈建立柔性纖維模型的新型模擬方法,如圖10所示。a為長(zhǎng)半軸,b為短半軸,參數(shù)是兩橢球間距(一般ε=0.01b)。在纖維懸浮液中,每個(gè)柔性纖維由N個(gè)剛性橢球體通過(guò)N-1個(gè)小球和球鉸關(guān)節(jié)所連接,各球鉸關(guān)節(jié)有3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,因此該模型可以模擬纖維在流場(chǎng)中的彎曲和扭轉(zhuǎn)變形。在剪切流中纖維拉伸變形相當(dāng)于其他變形來(lái)講是很小的，所以經(jīng)常被忽略。在球鉸關(guān)節(jié)處定義約束稱為阻力勢(shì),對(duì)于不同阻力勢(shì)可以模擬不同柔性的纖維。

圖10 柔性纖維剛性橢球體連接示意圖

整數(shù)函數(shù)i+()和i-()與PaalSkjetne模型定義方式相同；則連接矩陣S和T為：

(12)

圖13 圓柱桿鏈纖維模型示意圖

(13)

同樣這兩個(gè)矩陣性質(zhì)為：

TS=ST=E

E=N·N單位矩陣

圖12 橢球體i受力分析示意圖

單個(gè)橢球體i用牛頓第二定律表示的動(dòng)力學(xué)方程為：

(14)

單個(gè)橢球體i用角動(dòng)量守恒定律表示為：

(15)

該模型不僅能夠?qū)蝹€(gè)纖維在流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)與模擬,也能在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中觀察到因纖維變形而引起的運(yùn)動(dòng)軌道偏移現(xiàn)象[6],而且還可計(jì)算出纖維懸浮液的瞬態(tài)相對(duì)黏度。同時(shí),該纖維模型不僅無(wú)需迭代約束來(lái)保持纖維之間的連接,而且用相對(duì)較少的橢球體來(lái)模擬大長(zhǎng)徑比纖維在運(yùn)動(dòng)時(shí)的變形情況,大大減少了計(jì)算機(jī)的工作量,提高了計(jì)算機(jī)運(yùn)行效率。但該模型很難確定橢球體之間的纖維距離(需迭代方法),同時(shí)也忽略了纖維間的水動(dòng)力作用。

2.3 圓柱桿鏈纖維模型

為了能夠簡(jiǎn)化計(jì)算纖維間距離,Schmid等人[8]提出了一種圓柱體鉸鏈連接而成的新纖維模型,如圖13所示。該纖維模型通過(guò)N-1個(gè)鉸鏈把N個(gè)剛性圓柱桿連接而成的圓柱桿鏈,鏈中每個(gè)桿(除桿N外)一端為半球形帽,另一端則是半球形窩。為了保證纖維彎曲和扭轉(zhuǎn)時(shí)纖維表面的光滑,桿N兩端都是半圓球形帽。圓柱桿長(zhǎng)為l,直徑為D,長(zhǎng)徑比為rpr≡l/D,鏈總長(zhǎng)為L(zhǎng)=Nl,纖維長(zhǎng)徑比rp=L/D。桿在鉸鏈處可以轉(zhuǎn)動(dòng)和扭曲,因此可以模擬纖維在流場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的彎曲和扭轉(zhuǎn)變形,但是由于約束限制纖維鏈總長(zhǎng)是不變的。

(16)

表1 不同纖維模型的對(duì)比分析

(17)

(18)

方程(18)中,第二項(xiàng)和第三項(xiàng)是作用在桿i質(zhì)心的約束力力矩。

該纖維模型能模擬大長(zhǎng)徑比(rp=50～280)的纖維,并能模擬纖維在絮凝狀態(tài)下的纖維特性和纖維間相互作用對(duì)纖維絮凝的影響,其纖維特性包含纖維柔軟度、形狀等因素,纖維間相互作用包含法向排斥力和靜摩擦等作用,但其考慮因素不包括動(dòng)摩擦和纖維間引力的影響,且假設(shè)纖維各向同性彎曲。此外,該模型也可模擬纖維在長(zhǎng)程水動(dòng)力作用下纖維在流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)變形情況,但是對(duì)計(jì)算機(jī)要求較高。

3 總結(jié)及展望

通過(guò)上述的闡述,對(duì)各種纖維模型的適應(yīng)范圍、優(yōu)越性和局限性進(jìn)行對(duì)比分析,如表1所示。

由表1可知，剛性纖維模型忽略了纖維在流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)變形,適用范圍相對(duì)較窄；而在柔性纖維模型中,各模型雖都考慮了纖維的運(yùn)動(dòng)變形,但仍存在一些不足之處。Yamamoto圓球形纖維模型主要局限于低濃度、底剪切流條件下的纖維運(yùn)動(dòng)變形,且計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜；PaalSkjetne圓球鏈纖維模型忽略了纖維的慣性和纖維間的相互作用；橢球體鏈纖維模型局限性主要表現(xiàn)為難確定橢球體之間的纖維距離,同時(shí)也忽略了纖維間的水動(dòng)力作用；圓柱桿鏈纖維模型忽略了動(dòng)摩擦和纖維間引力作用對(duì)纖維運(yùn)動(dòng)變形的影響,且在模擬長(zhǎng)程水動(dòng)力作用下纖維變形情況時(shí),計(jì)算機(jī)運(yùn)算量較大。從纖維模型發(fā)展過(guò)程來(lái)看,纖維模型發(fā)展趨勢(shì)應(yīng)是在圓柱桿鏈纖維模型基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)與發(fā)展,模型將可能考慮到更多影響纖維運(yùn)動(dòng)的因素,更能客觀真實(shí)地模擬纖維在流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)變形。

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(責(zé)任編輯：常 青)

The Research Progress of Fiber Motion Model in Pulp Suspension

GAO Zhi-fu1,2,*ZHANG Feng1,2WANG San-gang1

(1.College of Light Industry and Energy, Shaanxi University of Science & Technology, Xi’an, Shaanxi Province, 710021;2.ShaanxiProvinceKeyLabofPapermakingTechnologyandSpecialtyPaper,Xi’an,ShaanxiProvince, 710021)

Fiber model is very necessary for applying computer simulation technology to simulate fiber motion characteristics in pulp suspension. At present, there are rigid fiber model and flexible fiber model at home and abroad. This paper briefly introduced the development of the fiber model, especially analysed the ideas of building rigid fiber model and flexible fiber model, discussed the advantags, limitation and application area of different fiber models.

fiber pulp suspension; fiber; model; simulation; fluid

高致富先生,在讀碩士研究生；主要研究方向：制漿造紙?jiān)O(shè)備及其自動(dòng)化。

2015- 01- 16(修改稿)

TS71+2；TB322

A

0254- 508X(2015)05- 0064- 06