朱向陽

（義烏市義亭小學，浙江 義烏 322000）

數(shù)學學習從某種意義上說就是在培養(yǎng)和提高數(shù)學能力。數(shù)學能力可以認為是學習數(shù)學知識，掌握數(shù)學方法，運用數(shù)學技能，解決數(shù)學問題的本事大小，它是數(shù)學素質(zhì)的重要表現(xiàn)。全面提高學生數(shù)學能力是數(shù)學老師教學的基本要求。

一、發(fā)展小學生數(shù)學能力的基礎(chǔ)：四力

筆者認為：發(fā)展小學生數(shù)學能力的基礎(chǔ)需要有學習內(nèi)驅(qū)力、個人行動力、小組合作力和數(shù)學思辨（想象）力。下面以《平行四邊形的面積》教學為例。

（一）學習內(nèi)驅(qū)力——孩子需要有解決問題的欲望

學生學習的內(nèi)驅(qū)力來自于解決數(shù)學問題的積極愿望。比如課始即拋出問題“對平行四邊形你都知道些什么？想一想，你準備怎么去計算平行四邊形的面積？”簡單的回顧能喚醒學生對平行四邊形特征的已有認知，直截了當?shù)膯栴}能激起學生解決問題的欲望。

（二）個人行動力——解決問題需要孩子付諸行動

如果說學習內(nèi)驅(qū)力是學生學習心理動力的話，那么解決問題更需要孩子將想法付諸行動的行動力，孩子需要運用所學的知識和方法自行試著去解決。老師緊接著拋出要求“請你自己量出必要的數(shù)據(jù)算一算平行四邊形的面積?！苯o學生自行探索的時間和空間，學生將剛才的想法去實踐嘗試，增強學習體驗，豐富數(shù)學活動的經(jīng)驗。有的孩子用“底×高”的方法計算面積，有的孩子用“底邊×鄰邊”的方法計算面積等。學生在似懂非懂中暴露出了問題，在自以為是中揭示出了矛盾。孩子只有在行動中才能經(jīng)歷過程、感受困惑、發(fā)現(xiàn)問題、明確學習的方向。

（三）小組合作力——學會在解決問題過程中互助和分享

學習僅依靠孩子個體的力量會是缺乏深度和廣度的，借助合作交流，數(shù)學學習活動能更好地揭示問題、發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

孩子獨立嘗試后進行交流：

生1：我是用“底×鄰邊”的方法計算的。我們知道平行四邊形容易變形，我抓住平行四邊形的對角一拉，它就變成了長方形?！伴L方形的面積=長×寬”，所以平行四邊形的面積是“底×鄰邊”。

生2：我是用“底×高”的方法計算的。我沿著高把這個“三角形”割下來補到這邊，就變成一個長方形，“長方形的面積=長×寬”，所以平行四邊形的面積是“底×高”。

在合作性學習中，解決問題策略的多樣性得以很好地展現(xiàn)出來，通過交流和分享，不僅能將孩子的思考過程顯性化，也能幫助孩子更全面、準確地看待和思考問題。

（四）數(shù)學思辯（想象）力——善于在解決問題中聯(lián)系和對比

對數(shù)學解決問題策略的對比能很好地揭示數(shù)學知識方法的本質(zhì)。

“比較上面這兩種方法，它們有什么共同的特點？又有什么不同的地方？”

孩子發(fā)現(xiàn)，這兩種方法都是將平行四邊形“轉(zhuǎn)化”成長方形，利用長方形的面積計算方法推導出平行四邊形面積計算方法。不同的是，前者利用平行四邊形易變性的特點“推拉”成長方形，后者是利用“割補”將平行四邊形“轉(zhuǎn)化”成長方形。

“你有什么想說的嗎？”

生1：這兩種方法結(jié)果不一樣，肯定有一種是錯的。

生2：我想知道哪一種是對的？哪一種是錯的？

通過直觀模型的演示和比較，孩子很快發(fā)現(xiàn)：“推拉”后圖形的面積變了，“割補”后面積沒變。

二、發(fā)展小學生數(shù)學能力的要素：四要

發(fā)展小學生的數(shù)學能力，筆者認為有四個要素：素材簡潔，過程簡單，內(nèi)容典型，目標高遠。下面以《雞兔同籠》教學為例。

（一）素材要簡潔：是講究情境外衣還是突出數(shù)學本質(zhì)

“雞兔同籠”是滲透“嘗試與猜測”數(shù)學思想和學習“假設(shè)”方法解決問題比較典型的素材。問題很簡單“雞兔同籠，有12個頭，30條腿。雞、兔各有幾只？”但內(nèi)涵很豐富，滲透猜測、嘗試、分析、調(diào)整的數(shù)學思想策略；方法很多元，畫圖法、列表法、假設(shè)法、方程法等等。

這么重要的內(nèi)容，在設(shè)置問題情境的時候，需不需要更為豐富？答案是否定的，不需要。這個表述已經(jīng)將數(shù)學信息直觀、充分又簡潔地呈現(xiàn)出來了。

那雞和兔的情境是否可以再簡化？答案也是否定的，除了“12個頭，30條腿”這兩個顯性條件，還有兩個隱性條件，“每只雞有2條腿，每只兔有4條腿”，這既是生活常識，也是解決這個問題的必要條件。這個情境也已經(jīng)不能再減了。

“雞兔同籠”的問題情境非常簡潔，既顯得現(xiàn)實有趣，又剔除了無關(guān)因素，而且非常鮮明地呈現(xiàn)了“求兩個未知數(shù)”這一需要嘗試分析和假設(shè)調(diào)整的數(shù)學內(nèi)容。

類似這樣的思路，在“乘法分配律”等內(nèi)容教學中也可以借鑒。數(shù)學問題解決能力的培養(yǎng)，需要盡可能排除無關(guān)因素的干擾，突出數(shù)學的規(guī)律和本質(zhì)。

不要讓“鮮艷”的外衣掩蓋了真實的“本質(zhì)”。

（二）過程要簡單：是注重程序步驟還是力求思路順暢

“雞兔同籠”問題用假設(shè)法解答，步驟多、要求高，一般孩子理解和掌握比較困難，但用列表嘗試的教學步驟就可以很簡單。

（1）先考慮好準備怎么試，再把嘗試的過程寫在表格里。然后小組交流。（開放的學習活動，孩子按自己的思路和方法嘗試解決，教師觀察收集素材）

（2）哪個小組愿意把方法推薦給大家？簡單說說推薦的理由。（教師有序地選擇交流的材料：可以突出“嘗試”的有序，可以突出“嘗試”的效率，還可以突出“分析調(diào)整”的精彩。孩子在交流中充分領(lǐng)悟了各種方法間的要點）

（3）他們的嘗試有什么特點？（他人的思路需要內(nèi)化為自己的理解）

嚴密和周全的步驟，雖有助于問題的解決，達到精細化的程度，但也會局限學生的思維。而開放的問題則使人人有事做、個個有話說，師生共同將思路理順，將方法理清，也就提升了孩子解決問題的數(shù)學能力。

不要讓“程序”的刻板阻礙了思想的“通暢”。

（三）內(nèi)容要典型：是追求方法多樣還是強調(diào)方法質(zhì)量

古人對“雞兔同籠”問題進行了深入的研究，我們現(xiàn)代人也不甘落后，除了常見的畫圖法、列表法、假設(shè)法、方程法外，還研究了許多有趣的方法。比如：我國數(shù)學家張景中院士的“把雞翅也算成腳”；匈牙利數(shù)學家波利亞的“金雞獨立法”；南京師范大學單墫博士“把兔‘劈開’，成兩‘半兔’”等等。

我們的教學是不是要追求解決問題方法的多樣？并將它視為最為重要的出發(fā)點和學習內(nèi)容呢？其實不然?？v觀所有的方法，雖思考形式是“假設(shè)”，但其基本落腳點都是“分析調(diào)整”，而最原始的出發(fā)點就是“嘗試猜測”。由于嘗試的方式不同，也就產(chǎn)生了畫圖、列表等各種各樣具體的解題方法。就展示過程和分析觀察而言，“列表嘗試”作用體現(xiàn)得較為充分和明顯些。

通過“一一列舉嘗試”，培養(yǎng)學生“有序”思維的意識；通過“取中列舉嘗試”，考量學生“判斷增減方向”的能力；最終通過“跳躍列舉嘗試”，培養(yǎng)學生“分析調(diào)整”的能力。而假設(shè)法，可以簡單地認為，只是跳躍列舉思維的算式化，是跳躍列舉中最簡潔特例的算式表達。

不要讓“方法”的多樣降低了思維的“質(zhì)量”。

（四）目標要高遠：是解決眼前問題還是著力長遠發(fā)展

試問：面對一個新問題，你總是能想到用什么方法（具體招式）去解決的嗎？如果不能怎么辦？

招式是與問題對應(yīng)的，解決什么問題用到什么招式，掌握得如何與“所見所聞所練”有關(guān)，豐富招式的辦法只能是“多聽多做多練”，這也是題海戰(zhàn)術(shù)的源頭。然而，招式是沒有再生功能的。但思想不同，它是處于指導性地位的，作為根本大法，它能派生出具體的招式，如同練武，最重要的是修煉內(nèi)在的功力，從而達到“忘卻招式，無招勝有招”的境界。

如此說來，學生數(shù)學能力的培養(yǎng)是“樹思想”重要還是“教招式”重要？將具體方法（招式）作為學習目標，只能解決眼前問題；而將解決問題的思路作為學習目標，能著力長遠發(fā)展，解決更多新的問題?？梢姡惺皆从谒枷氲暮喕途唧w化。

因此，面對“雞兔同籠”這個問題，老師要幫助學生產(chǎn)生本能“我先試一試”，至于怎么試，不同的孩子基于不同的認知基礎(chǔ)和學習水平，會有不同的方法。最終通過比較將其簡化后，就順理成章地掌握了假設(shè)法的解題方法或招式。

不要讓“現(xiàn)實”的成功遮掩了長遠的“發(fā)展”。

只有找到承載具體方法的數(shù)學思想平臺，孩子的數(shù)學能力才能發(fā)展得更好。

三、發(fā)展小學生數(shù)學能力的路徑：四遞進

發(fā)展小學生數(shù)學能力的途徑，要注意從技巧到基礎(chǔ)、從特殊到一般、從獨立到關(guān)聯(lián)、從靜態(tài)到動態(tài)的遞進。

（一）從技巧到基礎(chǔ)：夯實基礎(chǔ)比擁有技巧更需看重

我們應(yīng)該明確的是：夯實解決問題的思想基礎(chǔ)比擁有具體解題方法重要得多。

比如，《商不變規(guī)律》（北師大版四年級下冊）的教學，記住規(guī)律并不難，但理解并從中獲得數(shù)學思想、發(fā)展數(shù)學能力就需要下功夫。可以嘗試建構(gòu)以下的學習問題序列。

（1）今天這節(jié)課我們一起來研究除法運算中一種特有的規(guī)律——商不變的規(guī)律。想一想，要知道什么時候商不變，我們可以去研究誰和誰？（被除數(shù)和除數(shù)）

（2）被除數(shù)和除數(shù)怎樣變，商才不會變？（“被除數(shù)加上幾，除數(shù)也加幾，商可能不變”等）

（3）請你以60÷30=2為例，對你認為最有可能的那種情況進行驗證。（要求寫三個式子（60○□）÷（30○□）= ÷ = ）

（4）觀察商不變的這組算式，有什么發(fā)現(xiàn)？（被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)，商不變）

（5）剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律在其他除法算式中是否也成立呢？請你再寫式子驗證一下。

（6）這節(jié)課我們討論了什么？是怎樣得出結(jié)論的？

（7）想一想，在除法中還會有什么規(guī)律？在其他運算中，也有類似的規(guī)律嗎？

這種“猜測——驗證——結(jié)論——拓展”的思路，成為探究型學習的重要路徑。

（二）從特殊到一般：形成思想比掌握方法更為重要

我們不難理解，平行四邊形面積計算公式的推導是個學習個例，掌握計算公式也是一件很簡單的事情。但我們在推導的過程中，不能僅僅突出公式，而應(yīng)著力突出將平行四邊形轉(zhuǎn)變成長方形的過程和思想，強化這種善于將“新知”轉(zhuǎn)化為“舊知”的思想認識，從“特例”邁向“一般化”，“轉(zhuǎn)化思想”就能成為孩子自主學習新知的強大武器。

再比如：“雞兔同籠”問題也是一個問題的“特例”，如果我們僅滿足于解決這個問題的本身，意義和價值并非很大，但我們從這個“特例”中突出“嘗試、分析、調(diào)整”的思想，它就能成為我們解決缺乏知識基礎(chǔ)的新問題時的一種重要指導思想。

（三）從獨立到關(guān)聯(lián)：建立關(guān)聯(lián)比獨立掌握更有意義

數(shù)學學習中不僅知識是有關(guān)聯(lián)的，方法也是如此。如果不滿足于獨立掌握各種方法，而是努力揭示這些思想方法中的內(nèi)在聯(lián)系，必然使孩子的認識更深刻，理解更到位，從而產(chǎn)生1+1＞2的學習效果。

例1：兩位數(shù)減兩位數(shù)的退位減法。對比其中的口算法和豎式計算，可以發(fā)現(xiàn)“口算法就是豎式計算的算式表達”，沒有這“一比”，將兩種方法割裂開來是達不到可以達到的深度的。62-48：12-8=4，50-40=10，10+4=14

例2：雞兔同籠。將“跳躍列舉嘗試”的過程算式化，我們就很容易發(fā)現(xiàn)，其實運用“假設(shè)”的方法列式解答只是列表法的概括而已，理解了列表，假設(shè)的思路可以更寬泛。

例3：平行四邊形的面積。比較“推拉轉(zhuǎn)化”和“割補轉(zhuǎn)化”，可以清楚地發(fā)現(xiàn)，它們都是將“新圖形”（平行四邊形）轉(zhuǎn)變成“舊圖形”（長方形），利用“舊知識”（長方形的面積計算方法）推導出“新知識”（平行四邊形的面積計算方法）。如果更進一步思考，還可以發(fā)現(xiàn)圖形面積計算最基本的方法是利用“數(shù)面積單位”，借助“一排放幾個×幾排”來解決的。

知識不應(yīng)只求多，更應(yīng)求聯(lián)。建立關(guān)聯(lián)的知識結(jié)構(gòu)才是具有強大生命力的。

（四）從靜態(tài)到動態(tài)：放眼全局比著眼局部更具價值

以“垂直與平行”學習為例：垂直和平行都是同一平面上兩條直線的特殊關(guān)系，這種特殊關(guān)系在圖形特征的認識中具有重要的意義。但如果教學就事論事，針對垂直認識垂直，觀察平行研究平行，效果未必很好。

如果我們稍作調(diào)整，用兩根小棒代替兩條直線，放在黑板平面上，一條靜止，另一條旋轉(zhuǎn)，化靜為動。利用“運動”的手段，將這種“特殊”關(guān)系納入“一般”范圍中去觀察，不僅能更為明顯地襯托出它的“唯一特殊性”，還能更好地增強同一平面上兩條直線關(guān)系的“整體性”。

這種化靜為動，放眼全局認識局部的方法，在“銳角、直角、鈍角、平角、周角”的認識，在“正方形與長方形關(guān)系、平行四邊形與長方形關(guān)系”的理解中，同樣具有積極的價值。

發(fā)展學生的數(shù)學能力是數(shù)學老師的基本職責，是數(shù)學教學的目標取向。需要我們將它落實于日常的數(shù)學課堂中，需要我們逐步認識其要素和途徑，循序漸進、常抓不懈，必有所獲。