王光濤

一、本文的符號(hào)

二、概念、術(shù)語(yǔ)和詳細(xì)數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程及結(jié)果。

1、實(shí)現(xiàn)的方差和二次變差

2、隨機(jī)波動(dòng)率

3、單次冪變差過(guò)程

4、雙次冪變差過(guò)程

5、帶有罕見(jiàn)、大幅跳躍的隨機(jī)波動(dòng)率模型

5.1 罕見(jiàn)的跳躍及其二次變差

5.2 罕見(jiàn)的跳躍與單次冪變差

5.3 罕見(jiàn)的跳躍與雙次冪變差

三、實(shí)證分析

上證指數(shù)000001的五分鐘交易數(shù)據(jù)，時(shí)間是2013/10/14—2013/11/25日，四十個(gè)交易日。其二次變差、實(shí)現(xiàn)的方差、雙次冪變差如右下圖所示：

從右圖中可以直觀的看到雙次冪變差對(duì)實(shí)現(xiàn)方差的逼近比實(shí)現(xiàn)的方差對(duì)二次變差的逼近要好的多，但是處在同一個(gè)數(shù)量級(jí)。二次變差與實(shí)現(xiàn)方差的離差平方和為1.3874e-007，這是一個(gè)非常接近于零的數(shù)，可見(jiàn)實(shí)現(xiàn)的方差可以作為二次變差的估計(jì)量。而雙次冪變差與實(shí)現(xiàn)方差的離差平方和為3.2009e-008，這個(gè)數(shù)與1.3874e-007相比更加接近于零，與右圖也是吻合的。同時(shí)也說(shuō)明（23）式是成立的。

上圖為真實(shí)交易數(shù)據(jù)生成的圖像，左圖給出了存在跳躍時(shí)的實(shí)現(xiàn)方差、二次變差和雙次冪變差的圖像。不失一般性的在第十天中加入一個(gè)2%的價(jià)格跳躍。也就是說(shuō)當(dāng)五分鐘的價(jià)格中有2%的跳躍時(shí)就可以檢測(cè)到。當(dāng)加入1%的跳躍時(shí)，五分鐘數(shù)據(jù)監(jiān)測(cè)不到，但卻可以被一分鐘的數(shù)據(jù)捕捉到。

右圖是實(shí)現(xiàn)的方差減去雙次冪變差生成的圖像，可以清晰的看到在第十個(gè)交易日有明顯的價(jià)格跳躍，其值為0.00040278。而2%的平方為0.0004，可見(jiàn)右圖準(zhǔn)確的捕捉到了這個(gè)跳躍，驗(yàn)證了（24）式。為了更好的比較分析，下面我們分析一分鐘的交易數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)采用2013/11/18—2013/11/25日，8個(gè)交易日的價(jià)格。

由以上分析知，左圖中第二個(gè)交易日存在價(jià)格跳躍，實(shí)際是第480個(gè)交易價(jià)格的收益率為-0.079048，是一個(gè)比剔除這個(gè)收益率外其他收益率的均值6.8920e-006大的多的值。此處實(shí)現(xiàn)的方差減去雙次冪變差的結(jié)果為0.0062297。而-0.079048的平方為0.0062486，與0.0062297是如此的接近。當(dāng)用6.8920e-006替代-0.079048重新分析時(shí)，結(jié)果如下圖。

右圖坐標(biāo)軸的明顯變化也顯示了一分鐘數(shù)據(jù)的實(shí)現(xiàn)方差可以比五分鐘數(shù)據(jù)更好的逼近二次變差。這與數(shù)學(xué)理論是吻合的。不失一般性的在第480個(gè)交易價(jià)格處增加一個(gè)1%的跳躍，得到的以下兩張圖，清晰的展現(xiàn)了跳躍的存在。事實(shí)是第二個(gè)交易日的實(shí)現(xiàn)方差減去雙次冪變差的結(jié)果為0.00010412，1%的平方為0.0001.再一次驗(yàn)證了（24）式。

四、總結(jié)

為了簡(jiǎn)單明了的說(shuō)明問(wèn)題，實(shí)證分析中僅僅隨機(jī)的加入了一個(gè)跳躍，當(dāng)隨機(jī)的加入多個(gè)跳躍時(shí)得到同樣的結(jié)論。本文的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和實(shí)證分析一致的說(shuō)明了雙次冪變差對(duì)跳躍的穩(wěn)健性，以及實(shí)現(xiàn)的方差可以作為二次變差的無(wú)偏估計(jì)值。所以價(jià)格跳躍的二次變差可以由已實(shí)現(xiàn)的方差與已實(shí)現(xiàn)的雙次冪變差之差表示，從而可以把價(jià)格跳躍分離出來(lái)。但是本文未給出識(shí)別跳躍的臨界值，因此還有待更深入的研究。

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