王浩

把三視圖列為初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的必學(xué)內(nèi)容也是這一輪課改中一個(gè)突出的亮點(diǎn).由于教師自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)（多數(shù)教師沒(méi)有學(xué)過(guò)機(jī)械制圖）和缺乏教學(xué)經(jīng)驗(yàn)等原因，如何落實(shí)好課標(biāo)中規(guī)定的關(guān)于三視圖教學(xué)的各項(xiàng)目標(biāo)，很多教師都感到困難.本文就三視圖教學(xué)的意義，三視圖的概念、畫(huà)法及應(yīng)用等方面的教學(xué)，談?wù)剛€(gè)人的一些經(jīng)驗(yàn)和體會(huì).

一、正確認(rèn)識(shí)三視圖教學(xué)的意義

三視圖作為“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容之一，它與其他“圖形與幾何”的內(nèi)容一樣，在培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和發(fā)展空間想象能力方面有著重要的作用.且三視圖教學(xué)中這方面的作用表現(xiàn)為這樣的一種特性：讓學(xué)生逐步適應(yīng)、并學(xué)會(huì)三維與二維的空間形式的轉(zhuǎn)換.

三視圖是設(shè)計(jì)者與制作者之間相互溝通交流的一種不可替代的語(yǔ)言.如設(shè)計(jì)人員要把他設(shè)計(jì)的一個(gè)螺帽毛坯形狀、尺寸要求告訴工人，把螺帽毛坯畫(huà)成如圖1那樣的立體圖. 此圖雖然很有立體感，但仍然無(wú)法把螺帽毛坯的底面、側(cè)面是怎樣的幾何圖形、中間的圓孔與整個(gè)毛坯有怎樣的位置關(guān)系等說(shuō)清楚. 只有用圖2那樣的三視圖，才能清楚地說(shuō)明螺帽外形是一個(gè)正六棱柱，正中位置有一個(gè)上下穿透的圓柱形的孔.也正因?yàn)槿晥D的這種獨(dú)特功能，使它在人們生產(chǎn)、生活實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用.

也許有人認(rèn)為三視圖的內(nèi)容太專(zhuān)業(yè)化，質(zhì)疑作為基礎(chǔ)教育的數(shù)學(xué)教學(xué)的必學(xué)內(nèi)容是否合適？對(duì)此我們還需從我國(guó)教育事業(yè)的發(fā)展來(lái)認(rèn)識(shí)，近幾年來(lái)我國(guó)職業(yè)教育有了迅速的發(fā)展，升入職業(yè)高中的學(xué)生與普通高中學(xué)生比例已經(jīng)達(dá)45.06∶54.94（2013年數(shù)據(jù)）.三視圖這部分內(nèi)容對(duì)升入職業(yè)高中的許多學(xué)生來(lái)說(shuō)則是十分重要的基礎(chǔ)課程，從這個(gè)角度來(lái)看，把三視圖列為初中數(shù)學(xué)的必學(xué)內(nèi)容也是我國(guó)教育事業(yè)發(fā)展新格局的需要.

我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)努力使學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)三視圖的重要性，這樣就能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)三視圖的積極性.

二、正確解讀三視圖的概念

在這輪課程改革的初期，不少教材把三視圖解釋成人們觀察物體時(shí)，從正面、上面、左面三個(gè)不同方向看到的圖形，這種說(shuō)法是不正確的. 這種模糊解釋給學(xué)生畫(huà)三視圖、識(shí)讀三視圖帶來(lái)許多困難.

用正投影來(lái)定義三視圖才是唯一正確的方法. 同樣都從同一個(gè)方向去觀察一個(gè)圓柱體，不同的人觀察到的圖形可能是不同的，而當(dāng)圓柱體與投影面的相對(duì)位置確定的情況下，圓柱體在投影面上的正投影則是唯一確定的，這可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證，如圖3.

同樣也只有用物體在正投影面、側(cè)投影面、水平投影面上的正投影，并在把三個(gè)投影面旋轉(zhuǎn)展平（如圖4）后所得的平面圖形來(lái)定義三視圖，才能得到. 使學(xué)生理解畫(huà)三視圖的基本法則：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等.在這輪課改的初期不少教材連這條畫(huà)三視圖的基本法則都沒(méi)有給出.

在講解三視圖概念時(shí)必須講清楚以下三點(diǎn)：

（1）每一個(gè)視圖分別是物體在哪一個(gè)投影面上的正投影.

（2）三個(gè)視圖的相對(duì)位置，如圖4.值得注意的是有些教輔讀物、甚至是中考題把三個(gè)視圖畫(huà)在同一水平線上（如圖5），這會(huì)對(duì)學(xué)生正確理解三視圖的概念造成負(fù)面的影響.

（3）圖4中三個(gè)視圖的相對(duì)位置是要符合“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的畫(huà)法法則.

講視圖的概念必然要涉及空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，對(duì)這些關(guān)系應(yīng)采用實(shí)驗(yàn)、實(shí)例等合情推理的方法使學(xué)生認(rèn)同. 切忌用像立體幾何中那樣嚴(yán)格的推理方法.例如，我們可以用電線桿與地面的位置關(guān)系的實(shí)例來(lái)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)投射線與投影面的垂直，而不去追究直線與平面垂直的定義.

增加一些辨認(rèn)三視圖與視圖之間點(diǎn)、線、面之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的訓(xùn)練，對(duì)理解三視圖的概念是很有幫助的.

案例1 ?一個(gè)幾何體和它的三視圖如圖6.請(qǐng)完成下面的填空：

（1） 幾何體中棱B1B2，A1B1在主視圖中的正投影分別是 ? ? ? ? ? 、 ? ? ? ? ? .

（2）幾何體中棱A2D2在主視圖、俯視圖、左視圖中的正投影分別是 ? ? ? ? ? 、 ? ? ? ? ? ?、 ? ? ? ? ? .

（3） 幾何體中側(cè)面B1C1C2B2在主視圖、俯視圖、左視圖中的正投影分別是 ? ? ? ? ? 、 ? ? ? ? ? ?、

.

（4）主視圖中矩形PQKJ是幾何體中側(cè)面

的正投影，正投影為左視圖中矩形的邊XS的幾何體的面是 ? ? ? ? ? ?.

（5）三視圖中與線段SU相等的線段是 ? ? ? ? ? .

三、掌握畫(huà)三視圖、識(shí)讀三視圖的關(guān)鍵

正確理解三視圖的正投影本質(zhì)，搞清三個(gè)視圖之間的關(guān)系，以及它們與實(shí)物之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是正確畫(huà)三視圖，識(shí)讀三視圖的關(guān)鍵所在.講解這些關(guān)系要著重講清以下兩個(gè)方面.

（1）尺寸關(guān)系：也就是要遵循“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”.

（2）方位關(guān)系：方位關(guān)系指的是每個(gè)視圖的上、下、左、右，分別表示物體的哪一個(gè)方位.具體的說(shuō)：主視圖的上、下表示物體的上、下，主視圖的左、右表示物體的左、右;俯視圖的上、下表示物體的后、前，俯視圖的左、右表示物體的左、右;左視圖的上、下表示物體的上、下，左視圖的左、右表示物體的后、前，如圖7所示.endprint

案例2 ? 用一個(gè)過(guò)兩條母線的平面截一個(gè)圓柱所得幾何體如圖8.請(qǐng)畫(huà)出三視圖，并在三視圖上標(biāo)出相應(yīng)尺寸.

分析：畫(huà)三視圖通常先選一個(gè)合適的主視方向，選取的依據(jù)是如何使主視圖、俯視圖簡(jiǎn)明、易畫(huà). 本題可選圖8中的正視的方向?yàn)橹饕暦较颍敲锤┮晥D就是和幾何體底面相同的一個(gè)弓形.由立體圖中的尺寸可得這個(gè)弓形弦所對(duì)的圓心角為120°，這樣就很容易畫(huà)出俯視圖.畫(huà)出俯視圖后，根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”就可依次畫(huà)出主視圖、左視圖.

解 ? 所求三視圖如圖9.

注意：左視圖矩形的水平方向的邊長(zhǎng)應(yīng)畫(huà)成和俯視圖弓形的高相等.

案例3 ?由若干個(gè)單位立方體壘成的一個(gè)幾何體的三視圖如圖10.請(qǐng)描述這個(gè)幾何體的形狀，嘗試畫(huà)出立體示意圖.

解 ?由主視圖、左視圖，知這個(gè)幾何體有三層.由俯視圖，知底層有3個(gè)小立方體.由主視圖、左視圖，知這個(gè)幾何體中間位置靠前有兩層，第二層有一個(gè)小立方體，右邊位置靠后有三層，第二、三層各有一個(gè)小立方體，畫(huà)出立體示意圖，如圖11.

從上例可以看到，搞清各個(gè)視圖與實(shí)物之間的方位關(guān)系是十分重要的.

為了更好地培養(yǎng)學(xué)生畫(huà)三視圖、識(shí)讀三視圖的能力，我們還可以進(jìn)行一些補(bǔ)畫(huà)三視圖的訓(xùn)練.

案例4 ?已知一個(gè)幾何體的主視圖和俯視圖如圖12，請(qǐng)根據(jù)已知視圖想象幾何體的可能形狀，并按照你的想象補(bǔ)畫(huà)左視圖.

這是一道開(kāi)放題，它含了畫(huà)三視圖和識(shí)讀三視圖的兩方面的訓(xùn)練，它既能幫助學(xué)生熟練掌握三視圖的畫(huà)圖法則和三視圖與物體的方位關(guān)系，又能培養(yǎng)學(xué)生豐富的想象力，且富有趣味.有意思的是教師給出的答案大多如圖13，而學(xué)生給出的答案有六、七種之多，如圖14等.

在三視圖的教學(xué)中我們還可以增加一些實(shí)用性很強(qiáng)的案例，讓學(xué)生感受三視圖的魅力.

案例5 ?一家緊固件進(jìn)出口公司收到國(guó)外一家公司訂購(gòu)球頭螺栓的一份訂單，訂單中附上該螺栓的三視圖（這里省略了左視圖）如圖15，制作的材料是不銹鋼，訂數(shù)為180000枚，該進(jìn)出口公司接單后考慮到今后托運(yùn)等環(huán)節(jié)的需要，要估算一下這批貨物的總質(zhì)量是多少？你能幫助該公司完成立這項(xiàng)任務(wù)嗎？怎樣完成？

分析：根據(jù)國(guó)外客商所給的圖紙，我們可以判斷這批螺栓的上部是球被一個(gè)平面截得的部分（叫做球缺），可以從網(wǎng)上查出它的體積計(jì)算公式是V= （3r2+h2）（r表示球缺的底面半徑，h表示球缺的高），下部是一個(gè)圓柱.這樣我們就可以求出每一個(gè)螺栓的體積，再查出所用材料不銹鋼的密度約7.8g/cm3，于是就可以算出每個(gè)螺栓的質(zhì)量，繼而估計(jì)出整批貨物的總質(zhì)量.

解 ?由視圖，知螺栓的上部是球缺，球缺的底面半徑r=15mm，高h(yuǎn)=4mm.球缺的體積V= （3r2+h2）= （3×152+42）= （mm3）.下部圓柱的底面半徑r=5mm，高h(yuǎn)=40mm，圓柱的體積V=πhr2=40×52×π=1000π.（ +1000π）÷1000×7.8÷1000×180000≈6442.7（kg）.也就是這批貨物總質(zhì)量約為6442.7kg.endprint