黃欲涵
在我們生活的周圍有許多軸對(duì)稱的圖案,為了更好地認(rèn)識(shí)它們,在此安排了一些基礎(chǔ)知識(shí)來讓同學(xué)們領(lǐng)悟其基本的特點(diǎn),比如我們學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱的性質(zhì)、線段和角的軸對(duì)稱性、等腰三角形的軸對(duì)稱性. 首先回顧一下本章中的一些基本概念.
一、 線段的軸對(duì)稱性
1. 線段是軸對(duì)稱圖形,線段的垂直平分線就是它的對(duì)稱軸.
2. 線段的垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.
3. 線段的垂直平分線的判定:到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.
例1 如圖1,若該小船從點(diǎn)A航行到點(diǎn)B的過程中先要到達(dá)岸邊l的點(diǎn)P處補(bǔ)給后,再航行到點(diǎn)B,但要求航程最短,試在圖中畫出點(diǎn)P的位置.
【解析】如圖2,點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于直線l成軸對(duì)稱,連接A′B交直線l于點(diǎn)P,則點(diǎn)P為所求.
例2 如圖3,已知AB=AC,DE垂直平分AB,交AB、AC于D、E兩點(diǎn),若AB=12 cm,BC=10 cm,求△BCE的周長(zhǎng).
【解析】本題利用題中條件DE垂直平分AB,得到AE=BE,△BCE的周長(zhǎng)就轉(zhuǎn)化為BC與AC兩條線段的和,所以l△BCE=22 cm.
【點(diǎn)評(píng)】這題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì),是典型的線段轉(zhuǎn)化問題.
二、 角的對(duì)稱性
1. 角是軸對(duì)稱圖形,角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸.
2. 角平分線的性質(zhì):角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.
3. 角平分線的判定:角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.
例3 如圖4,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=DC. BE與DF相等嗎?請(qǐng)說明理由.
【解析】題中的條件滿足角平分線的性質(zhì),容易得到CF=CE,再結(jié)合題中給出的條件BC=DC,利用直角三角形全等的判定“HL”定理證明△FDC≌△EBC,由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BE=DF.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要利用角平分線的性質(zhì)得到兩直角三角形的一對(duì)直角邊對(duì)應(yīng)相等,從而用全等三角形的知識(shí)解決問題,所以由題目的條件聯(lián)想得到對(duì)應(yīng)的結(jié)論,是我們做幾何題的常用思路.
例4 如圖5,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分別為A、B. 下列結(jié)論中,不一定成立的是( ).
A. PA=PB B. PO平分∠APB
C. OA=OB D. AB垂直平分OP
【解析】由角平分線的性質(zhì)可得PA=PB,故A選項(xiàng)正確,再用角平分線的判定說明B也是正確的,利用直角三角形全等的判定“HL”定理證明△AOP≌△BOP,得到C也是正確的,所以最后D是不一定成立的.
【點(diǎn)評(píng)】綜合考查了角平分線的性質(zhì)和判定,同時(shí)考查了直角三角形全等的判定方法.
三、 等腰三角形的對(duì)稱性
1. 等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,頂角的平分線所在直線是它的對(duì)稱軸.
2. 等腰三角形的性質(zhì):①等邊對(duì)等角;②三線合一.
3. 等腰三角形的判定:等角對(duì)等邊.
例5 如圖6,已知AB=AC,AD=AE.求證:BD=CE.
【解析】過A作AG⊥BC.
∵AB=AC,AG⊥BC,∴BG=CG.
又∵AD=AE, AG⊥BC,
∴DG=EG. ∴BD=CE.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形“三線合一”性質(zhì),所以看見等腰三角形就要想到“三線合一”,作出底邊上的高線,這是解決等腰三角形相關(guān)問題常規(guī)的添線方法.
例6 如圖7,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,AE平分∠CAB交CD于點(diǎn)F.試說明CE=CF.
【解析】∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCD=90°.
∵CD⊥AB于點(diǎn)D,
∴∠B+∠BCD=90°.
∴∠ACD=∠B.
又∵AE平分∠CAB,
∴∠CAE=∠EAB.
又∵∠CEF=∠B+∠EAB,
∠CFE=∠CAE+∠ACD,
∴∠CFE=∠CEF.
∴CE=CF.
【點(diǎn)評(píng)】本題綜合運(yùn)用角平分線的定義,內(nèi)角和外角的關(guān)系和等角對(duì)等邊來說明CE=CF.學(xué)習(xí)了等角對(duì)等邊以后,今后如果我們要證明兩條線段相等,除了考慮線段的轉(zhuǎn)化、三角形全等,還有一種方法就是等角對(duì)等邊.
我們回顧了這一章的一些重要的概念后,同學(xué)們有什么收獲嗎?學(xué)習(xí)幾何需要牢牢抓住基本概念,從題中的條件出發(fā)推出我們需要的結(jié)論,同時(shí)掌握了基本概念后我們可以熟悉基本的圖形,掌握基本的添線方法.加油,孩子們,繼續(xù)讀下去,會(huì)更加精彩!
(作者單位:江蘇省常熟市周行學(xué)校)