謝燕

在解決軸對稱圖形的問題時，有些同學由于概念模糊、讀題不仔細、缺乏分類討論思想、解題方法單一等原因導致錯誤或不會解題，下面就同學們在解題中常見的錯誤進行分類辨析，希望能給同學們的學習提供幫助.

一、 概念模糊、答題隨意

例1 （1） 等邊三角形的對稱軸是_______.

【解析】很多同學的錯解是：三條高線或三條角平分線或三條中線.產生這種錯誤的根源是對“對稱軸是一條直線”這個概念模糊不清.

【正確答案】三條高線所在的直線或三條角平分線所在的直線或三條中線所在的直線.

（2） 一個三角形一邊上的中線和高重合，則這個三角形是_______.

【解析】部分同學的錯解是等腰三角形或等邊三角形.產生這種錯誤的根源是忽視了等邊三角形是特殊的等腰三角形，兩個概念之間的包含關系.

【正確答案】等腰三角形.

二、 讀題不仔細，缺乏分類討論思想導致漏解

例2 （1） 如圖1，畫出到△ABC三邊距離相等的點，共有幾個？

（2） 如圖2，直線l1、l2、l3表示三條互相交叉的公路，現(xiàn)要建一個加油站，要使它到三條公路的距離相等，畫出符合要求的點的位置，共有幾個？

【解析】兩題很相似，都是畫角平分線的交點，如果同學不注意細節(jié)，沒有關注到第（1）題中三角形的邊是線段，而第（2）題中講的是直線，那么將會把兩題都答出一樣的答案：1個.

【正確答案】（1） 1個（點在三角形內部）；（2） 4個（圖中四個區(qū)域中各1個點）.

例3 （1） 等腰三角形的一個角為50°，則其余兩角的度數為_______.

（2） 等腰三角形的周長為10 cm，其中一邊長為4 cm，則另兩邊長為_______.

【解析】等腰三角形較一般三角形特殊之處就是角有頂角和底角之分，邊有腰和底之分，這就決定了在解決如上問題時要看清題目是否明確指出角的身份和邊的身份，若沒有明確指出，則必須分類討論.

【正確答案】（1） 當這個50°角是頂角時，其余兩個是底角，度數為=65；

當這個50°角是底角時，另兩個角中一個也是底角，度數為50，另一個是頂角，度數為180-2×50=80.

所以答案為：65°、65°或80°、50°.

（2） 當其中4 cm長的邊為腰時，則底邊長為10-2×4=2；

當其中4 cm長的邊為底時，則腰長為=3.

所以答案為：4 cm、2 cm或3 cm、3 cm.

例4 （1） 等腰三角形的兩邊長分別是5 cm和9 cm，則它的周長為_______.

（2） 等腰三角形的兩邊長分別是4 cm和9 cm，則它的周長為________.

【解析】通過分類討論可得（1）的答案是5+5+9=19或9+9+5=23；（2）的答案是4+4+9=17或9+9+4=22.想一想這樣的解答正確嗎？題目沒有明確邊的身份，所以進行分類討論是對的，但是第（2）題中的第一種分類，這個三角形三邊長分別是4、4、9，根據三角形兩邊之和大于第三邊，是不能組成三角形的，所以要舍去.

【正確答案】（1） 當5 cm是腰長時，三角形三邊長分別為5 cm、5 cm和9 cm，能組成三角形，周長為5+5+9=19；

當9 cm是腰長時，三角形三邊長分別為9 cm、9 cm和5 cm，能組成三角形，周長為9+9+5=23.

所以答案為：19 cm或23 cm.

（2） 當4 cm是腰長時，三角形三邊長分別為4 cm、4 cm和9 cm，不能組成三角形，這種情況舍去；

當9 cm是腰長時，三角形三邊長分別為9 cm、9 cm和4 cm，能組成三角形，周長為9+9+4=22；

所以答案為：22 cm.

三、 解題思路單一，不善應用方程和整體思想方法

例5 （1） 如圖3，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的角平分線，且BD=BE，∠A=100°，則∠DEC=_______.

（2） 如圖4，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=30°，∠EDC=_______.

【解析】如第（1）題是同學們掌握得很好的常規(guī)題，由等邊對等角、三角形內角和為180°、平角定義，一步步轉化，從而得出正確的結論；而用這種方法想要解決第（2）題，就會發(fā)現(xiàn)僅從條件出發(fā)一個角的度數都沒辦法求出，此時，思路受阻，如果同學們大腦中只有這種單一的直接的解題方法的話，這類問題就無從下手.引入方程思想和整體思想，本題才能順利解決.

【正確答案】

（1） ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.

∵∠A=100°，∴∠ABC=∠C=40°.

∵BD是△ABC的角平分線，

∴∠DBE=20°.

∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE=80°.

∵∠BED+∠DEC=180°，

∴∠DEC=100°.

（2） 由等邊對等角得∠B=∠C=α， ∠ADE=∠AED=β，所求∠EDC即可轉化為β-α，已知的∠BAD=30°，轉化為∠BAC-∠DAE=30°，即180-2α-（180-2β）=30°，通過計算可以求出整體β-α=15°，則∠EDC=15°.

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練一練：

1. 下列說法中：（1） 等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；（2） 等腰三角形的兩腰上的中線長相等；（3） 等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；（4） 等腰三角形的一邊長為8，一邊長為16，那么它的周長是32或40.其中不正確的是________（填序號） .

2. 如圖5，在△ABC中，AB=AC=BD，其中D為邊BC上的點，求∠1和∠2的大小關系.

答案：1. （1）（3）（4）

2. 提示：設∠B=α，則∠2=90-，∠1=90-，消去α可得：3∠2-∠1=180°

（作者單位：江蘇省常熟市第一中學）