蔣翠俠，劉玉葉，周瑩瑩

(1. 合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，安徽 合肥 230009；2. 合肥工業(yè)大學(xué) 過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室，安徽 合肥 230009)

基于分位數(shù)回歸的均值-VaR組合投資決策分析

蔣翠俠1,2，劉玉葉1，周瑩瑩1

(1. 合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，安徽 合肥 230009；2. 合肥工業(yè)大學(xué) 過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室，安徽 合肥 230009)

建立在均值—方差分析框架下的組合投資決策，需要較強的正態(tài)分布假設(shè)，難以準(zhǔn)確刻畫與分散非對稱與極端尾部風(fēng)險。為此，文章考慮均值-VaR模型，將模型求解過程轉(zhuǎn)化為一個分位數(shù)回歸問題，給出了均值-VaR模型求解新算法。使用滬深300指數(shù)中的60只成分股進行了實證研究，驗證了算法的有效性，并將基于分位數(shù)回歸的均值-VaR模型與均值—方差模型進行了對比，發(fā)現(xiàn)前者能夠很好地分散尾部風(fēng)險。

分位數(shù)回歸；組合投資；均值-VaR模型；均值—方差模型

一、引 言

美國經(jīng)濟學(xué)家Markowitz(1952)[1]發(fā)現(xiàn)通過組合投資可以有效降低風(fēng)險，從而構(gòu)建了均值—方差模型的分析框架，標(biāo)志著現(xiàn)代組合投資理論的開端。在此基礎(chǔ)上，組合投資決策理論與方法研究取得了巨大進展，為分散化投資降低金融風(fēng)險提供了決策依據(jù)。均值—方差模型主要通過二次規(guī)劃方法進行求解，可以實現(xiàn)：在給定期望收益條件下，投資風(fēng)險最小化；或者給定風(fēng)險條件下，投資收益最大化。然而，均值—方差分析框架是建立在正態(tài)性假設(shè)條件下，以均值表示期望收益、以方差表示風(fēng)險，僅僅考慮了金融資產(chǎn)的前二階矩特征。蔣翠俠等(2007)[2]指出，當(dāng)金融資產(chǎn)收益不服從正態(tài)分布時，金融市場存在高階矩風(fēng)險，且風(fēng)險具有時變特征，因而需要考慮更高階矩或者需要研究其尾部風(fēng)險。在這種情形下均值—方差分析框架就難以為繼了。

無疑，均值-VaR模型為此提供了一個選擇。G30集團于1993年發(fā)布了《衍生產(chǎn)品的實踐和規(guī)則》的報告，提出以VaR作為金融風(fēng)險測度指標(biāo)，作為方差風(fēng)險測度的替代。VaR是指金融資產(chǎn)或者組合投資在持有時期內(nèi)，在一定概率水平下所面臨的最大損失，綜合反映了市場整體風(fēng)險，迅速成為當(dāng)時金融界測量市場風(fēng)險的主流方法。1994年4月，國際清算銀行巴塞爾銀行監(jiān)管委員會將VaR作為風(fēng)險度量的標(biāo)準(zhǔn)，并依此計提風(fēng)險準(zhǔn)備金。Alexander(2002)[3]比較了均值-VaR與均值—方差模型，驗證了均值-VaR組合投資選擇標(biāo)準(zhǔn)與效用最大化的一致性。Consigli(2002)[4]研究了厚尾分布情況下均值- VaR 組合投資模型。許啟發(fā)(2008)[5]研究了動態(tài)VaR風(fēng)險條件下的組合投資決策問題。許啟發(fā)等(2014)[6]研究了多期VaR風(fēng)險測度問題。徐金菊(2013)[7]驗證了基于分位數(shù)回歸的多期VaR和多期CVaR風(fēng)險測度的效果。張鵬(2014)[8]將VaR風(fēng)險度量方法拓展到多階段投資組合優(yōu)化,提出了完全市場情況下多階段均值-VaR投資組合模型。雖然均值-VaR模型能夠很好地分散尾部風(fēng)險，但其求解過程主要涉及凸規(guī)劃問題，影響和制約了其推廣應(yīng)用價值。

回歸分析在統(tǒng)計學(xué)中已有悠久的歷史，為廣大用戶熟知并掌握。如果可以將組合投資決策模型的求解過程轉(zhuǎn)化為一個回歸分析問題，則不僅可以方便地得到模型的最優(yōu)解，而且能夠為廣大用戶所接受。眾所周知，均值—方差模型可以轉(zhuǎn)化為一個均值回歸分析。在這一思想指引下，Basset等(2004)[9]對此開展了研究工作，基于Choquet期望效用理論提出了悲觀風(fēng)險測度方法，并在分位數(shù)回歸框架下討論了悲觀風(fēng)險測度的組合投資決策問題，并通過數(shù)值模擬驗證了其有效性。

根據(jù)統(tǒng)計學(xué)的觀點，VaR就是收益分布的一個特定分位數(shù)。一個自然的問題在于，能否將一個均值-VaR模型轉(zhuǎn)化為一個分位數(shù)回歸？本文對此開展研究，主要包括：第一，論證了VaR與分位數(shù)之間的等價關(guān)系——置信水平100(1-α)%下VaR恰為收益序列分布函數(shù)的α分位數(shù)的相反數(shù)；第二，建立了均值-VaR模型，將其求解轉(zhuǎn)化為一個分位數(shù)回歸問題，給出其求解算法；第三，從滬深300指數(shù)中選取60只成分股票，將基于分位數(shù)回歸的均值-VaR模型與均值—方差模型進行了實證比較，發(fā)現(xiàn)前者能夠更加有效地分散尾部風(fēng)險。

二、模型和方法

1.VaR與分位數(shù)

VaR是指在一定的概率水平下，投資者在持有期內(nèi)持有資產(chǎn)所承擔(dān)的最大損失。令Lt表示持有期為t的金融資產(chǎn)的損失，則收益表示為rt=-Lt，在給定概率水平100(1-α)%下，VaR定義為：

VαR1-α(Lt)=inf{x|p(L≥x)≤α} =inf{x|p(-r≥x)≤α} =-sup{-x|p(r≤-x)≤α} =-sup{x*|p(r≤x*)≤α} =-Qr(α)

(1)

式(1)中，inf{}表示下確界，sup{}表示上確界。由式(1)可知，在給定概率水平100(1-α)%下，VaR為收益序列的α分位數(shù)的相反數(shù)。

2.均值-VaR模型與分位數(shù)回歸

均值回歸框架下的均值—方差模型，只能在平均水平上考慮組合投資的分布情況。由于大多數(shù)金融資產(chǎn)都表現(xiàn)出特殊的統(tǒng)計特征，如尖峰厚尾，不服從正態(tài)分布等，需要更加細(xì)致地考慮其尾部風(fēng)險特征，分位數(shù)回歸為此提供一個基本工具(見許啟發(fā)等(2011)[10]的研究結(jié)果)。為細(xì)致刻畫組合投資的整個分布情況，特別是收益分布的尾部風(fēng)險特征，本文主要建立分位數(shù)回歸框架下的均值-VaR模型，進行組合投資決策。

考慮由n個金融資產(chǎn)X=(X1,X2,…,Xn)′經(jīng)過組合投資方案π，得到一個組合投資Y=X′π。

收益序列{yt}t=1,2,…,T建立線性分位數(shù)回歸模型為：

(2)

式(2)中，xit,i=1,2,…,n為解釋變量，τ(0<τ<1)為分位點；α(τ)為截距項，β(τ)=(β1(τ),β2(τ),…,βn(τ))′為τ分位點處的回歸系數(shù)向量，隨分位點而變化，表現(xiàn)出異質(zhì)性。收益序列的第τ分位數(shù)，可以通過簡單的優(yōu)化求解，最小化目標(biāo)函數(shù)：

(3)

式(3)中，ρ為分段線性損失函數(shù)，定義為ρτ(u)=u(τ-I(u<0))，I(·)為指示函數(shù)。

則投資組合的VaR可以表示為一個優(yōu)化問題：

(4)

式(4)中，ρ為分段線性損失函數(shù)，定義為ρτ(u)=u(τ-I(u<0))，I(·)為指示函數(shù)。因為Rogers (1968)[11]已經(jīng)證明，上述優(yōu)化問題的解ξ就是隨機變量Y的τ分位數(shù)。

由此，可以考慮期望收益給定的條件下VaR風(fēng)險最小化，建立拉格朗日目標(biāo)優(yōu)化問題：

(5)

式(5)中，λ代表風(fēng)險厭惡參數(shù)，λ越大，表示投資者風(fēng)險厭惡程度越高；μ(Y)表示組合投資Y的均值水平。將組合投資權(quán)重之和設(shè)定為1，即I′π=1，則上述問題可以轉(zhuǎn)化為有條件求極值問題：

s.t. μ(XTπ)=μ0

ITπ=1

(6)

式(6)中，優(yōu)化的目標(biāo)為VaR風(fēng)險，約束條件為給定收益μ0。因此，這是一個典型的均值-VaR模型。接下來，給出其分位數(shù)回歸求解算法。

如果將第1個資產(chǎn)視為基準(zhǔn)，將關(guān)系代入式(6)，則可以得到式(6)的樣本對應(yīng)：

(7)

式(7)中，π為權(quán)重，且π(β)=(1-β2-β3-…-βn,β2,β3,…,βn)T。可以看出，式(7)是一個標(biāo)準(zhǔn)分位數(shù)回歸問題，其中：x1t為響應(yīng)變量，(x1t-x2t,x1t-x3t,…,x1t-xpt)為解釋變量，ξ為截距項。通過分位數(shù)回歸，一方面可以得到最優(yōu)組合投資權(quán)重π(β),另一方面可以得到最小VaR風(fēng)險ξ。

三、實證研究

1.數(shù)據(jù)選取與統(tǒng)計分析

本文選取滬深300指數(shù)中的60只成分股票，以其日收益率為研究對象，主要包括中興通訊、華僑城A和TCL集團等，數(shù)據(jù)區(qū)間為2008年1月1日到2014年10月31日，剔除節(jié)假日和非同步交易日，樣本容量為 N=1759，數(shù)據(jù)來源于雅虎財經(jīng)網(wǎng)站。

表1給出了部分成分股日對數(shù)收益率(rt=100×(lnpt-lnpt-1))的描述性統(tǒng)計和J-B檢驗結(jié)果，可以看出，大多數(shù)股票的均值都是負(fù)的，且均值和標(biāo)準(zhǔn)差之間存在較大差異，如：華東醫(yī)藥的平均收益最高，其標(biāo)準(zhǔn)差并非最大；中聯(lián)重科的均值最小，其標(biāo)準(zhǔn)差卻較大。這說明收益與標(biāo)準(zhǔn)差之間并非完全對應(yīng)，與金融市場上投資回報之間的“高收益、高風(fēng)險”或“低收益、低風(fēng)險”這些經(jīng)典規(guī)律相違背。表1中的偏度與超額峰度的統(tǒng)計結(jié)果表明，大多數(shù)股票都呈現(xiàn)左偏特征，并且所有指數(shù)的超額峰度都大于0，存在極端收益狀態(tài)。這些特征表明，收益序列都不符合正態(tài)分布假設(shè)，這一結(jié)果由J-B檢驗得到了加強。為此，需要使用分位數(shù)回歸方法揭示收益序列的動態(tài)規(guī)律，一方面，避免對分布特征的假定；另一方面，能夠揭示收益序列的異質(zhì)性。

注：(1)J-B檢驗是由Jarque-Bera提出的，用于檢驗隨機變量是否服從正態(tài)分布；(2)***、**、*分別表示在0.1%、1%和5%水平下顯著；(3)超額峰度值是在R3.0.1軟件中使用moments包中skewness函數(shù)計算的結(jié)果，其取值滿足：超額峰度=峰度-3，大于0就表明具有高峰特征，意味著有極大可能性取得極端值.

2.組合投資分析

根據(jù)均值-VaR模型構(gòu)建的組合投資，使用分位數(shù)回歸方法計算期望收益固定條件下，收益序列低尾分布的風(fēng)險，并與均值—方差模型下的組合投資進行比較，主要包括尾部風(fēng)險和績效比較、有效前沿比較以及風(fēng)險的分布密度比較。

(1)最小風(fēng)險組合投資

悲觀投資者的投資心理是寧愿取得較小收益，也不愿承擔(dān)較大風(fēng)險。因此，本文在計算組合投資的風(fēng)險時，賦予較低的分位點以較大的權(quán)重，賦予較高的分位點以較小的權(quán)重，共提出了四種參數(shù)選擇方案，以比較均值—方差模型和均值-VaR模型構(gòu)建的組合投資的風(fēng)險和績效。方案分配結(jié)果見表2。為便于比較，每一種方案之間都存在一定的關(guān)聯(lián)性：方案二是在方案一的基礎(chǔ)上增加了一個參數(shù)；方案二和方案三的權(quán)重相同，但方案三選取了更加極端的分位點，強調(diào)了極端風(fēng)險的存在；方案三和方案四的分位點相同，但方案四賦予不同分位點的權(quán)重差異更大，更加符合投資者的投資心理。在每一方案下，計算出組合投資的標(biāo)準(zhǔn)差、VaR、Sharp比率(ShR)與Sortino比率(SoR)，結(jié)果見表3。對兩種方法進行比較，就風(fēng)險而言，與均值—方差模型相比，均值-VaR模型構(gòu)建的組合投資的標(biāo)準(zhǔn)差較大，但VaR較小，符合悲觀組合投資構(gòu)建原理。就績效而言，均值—方差模型和均值-VaR模型構(gòu)建的組合投資的ShR比率和SoR比率相差不大，由此說明，在獲得相同績效的條件下，本文提出的均值-VaR方法能使投資者承擔(dān)較小的尾部風(fēng)險，因而更加有效。對均值-VaR方法下的四種參數(shù)選擇方案結(jié)果進行比較，越考慮極端收益分布，且賦予的權(quán)重越大，其標(biāo)準(zhǔn)差越小，VaR越大，說明未考慮尾部風(fēng)險的均值—方差模型已不能指導(dǎo)組合投資決策，而本文所用的均值-VaR模型更具有代表性。

注：(1)ShR率是比由Sharp(1966, 1994)[12,13]提出的，其值等于期望收益除以標(biāo)準(zhǔn)差；(2)SoR比率是由Sortino等(1991,1994)[14,15]提出的，其值等于期望收益除以下行風(fēng)險.

以上結(jié)論也可以從組合投資收益序列尾部分布密度函數(shù)中得出。圖1報告了基于均值回歸的均值—方差模型(實線)與基于分位數(shù)回歸的均值-VaR模型(虛線)所得組合投資收益的核密度估計。圖1中，橫軸代表收益，負(fù)的收益即為損失，縱軸為概率密度。由于VaR為收益序列下尾分布的相反，我們比較圖1中收益分布的尾部特征，發(fā)現(xiàn)虛線在實線的下方，表明基于分位數(shù)回歸的均值-VaR模型取得較大風(fēng)險的可能性小于基于均值回歸的均值—方差模型，從而有效地分散了尾部風(fēng)險。

(2)組合投資有效前沿

基于均值回歸的均值—方差模型的有效前沿描繪了相同的預(yù)期收益率條件下，風(fēng)險最小的組合投資或者風(fēng)險相同的條件下，預(yù)期收益率最大的組合投資。同樣地，本文計算了基于分位數(shù)回歸的均值-VaR模型的有效前沿。將期望對數(shù)收益設(shè)定在(-0.001,0.002)的范圍內(nèi)，得到兩個模型的收益—標(biāo)準(zhǔn)差有效前沿和收益-VaR有效前沿，分別如圖2和圖3所示。

由圖2可知，基于分位數(shù)回歸的均值-VaR模型的有效前沿在基于均值回歸的均值—方差模型有效前沿的右側(cè)，表明相同的期望收益率條件下，前者所得組合投資的標(biāo)準(zhǔn)差高于后者。然而，方差風(fēng)險存在諸多缺點，如不能區(qū)分負(fù)收益和正收益，將其都視為風(fēng)險，不符合理性人假設(shè)?？紤]VaR風(fēng)險，則更符合實際要求。圖3中，基于分位數(shù)回歸的均值-VaR模型的參數(shù)選擇方案一，其有效前沿在基于均值回歸的均值—方差模型有效前沿的左側(cè)，意味著：相同的期望收益率條件下，前者所得組合投資的VaR低于后者。

綜合上述信息，基于分位數(shù)回歸的均值-VaR模型能夠更好地分散VaR風(fēng)險，更加適合于尾部風(fēng)險管理。

(3)風(fēng)險值核密度估計

這里從另外一個角度分析組合投資效果，考慮風(fēng)險值(包括標(biāo)準(zhǔn)差和VaR)的核密度估計結(jié)果。給定期望收益范圍(-0.001,0.002)，分別使用基于分位數(shù)回歸的均值-VaR模型與基于均值回歸的均值—方差模型進行組合投資選擇，計算其標(biāo)準(zhǔn)差風(fēng)險與VaR風(fēng)險，并給出風(fēng)險值的核密度估計，分別見圖4和圖5。

由圖4可知，就標(biāo)準(zhǔn)差風(fēng)險而言，基于分位數(shù)回歸的均值-VaR模型所得風(fēng)險值核密度曲線在基于均值回歸的均值—方差模型的右側(cè)，表明前者的標(biāo)準(zhǔn)差風(fēng)險大于后者。由圖5可知，就VaR風(fēng)險而言，基于分位數(shù)回歸的均值-VaR模型所得風(fēng)險值核密度曲線在基于均值回歸的均值—方差模型的左側(cè)，表明前者的VaR風(fēng)險值小于后者。這一結(jié)果與有效前沿所得的結(jié)論相一致，進一步說明，本文提出的基于分位數(shù)回歸的均值-VaR模型能夠很好地分散尾部風(fēng)險。

四、結(jié) 論

本文基于分位數(shù)回歸給出了均值-VaR模型組合投資決策方法，主要貢獻在于將均值-VaR模型的求解過程轉(zhuǎn)化為一個分位數(shù)回歸問題，從而避免復(fù)雜的凸規(guī)劃求解，有利于均值-VaR模型的推廣與應(yīng)用。

通過實證研究，檢驗了本文提出方法的有效性。在與經(jīng)典的均值—方差組合投資決策模型比較過程中，充分考慮了不同參數(shù)選擇方案的影響。實證結(jié)果表明：第一，通過風(fēng)險和績效的比較，基于分位數(shù)回歸的均值-VaR模型能使投資者承擔(dān)較小的尾部風(fēng)險，同時績效與均值—方差模型下的組合投資相差不大；第二，通過尾部特征、有效前沿與風(fēng)險值核密度估計等的比較，發(fā)現(xiàn)基于分位數(shù)回歸的均值-VaR組合投資能夠更好地分散VaR風(fēng)險，適合尾部風(fēng)險管理。

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責(zé)任編校：裴媛慧，孫詠梅

Mean-VaR Portfolio Through Quantile Regression Approach

JIANG Cui-xia1,2,LIU Yu-ye1,ZHOU Ying-ying1

(1.School of Management, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China;2. Key Laboratory of Process Optimization and Intelligent Decision-making, Ministry of Education, Hefei 230009, China)

The traditional mean-variance portfolio selection model need a rigorous normal distribution assumption. It is difficult to accurately describe and diversify the asymmetric and extreme tail risk of financial assets. So far, we consider the mean-VaR model and propose a new algorithm for its solution through quantile regression approach. For illustration, we use 60 stocks in Shanghai and Shenzhen 300 index. The performance of the mean-VaR model based on quantile regression is superior to the traditional mean-variance model.

Quantile Regression; Portfolio selection; mean-VaR model; mean-variance model

2014-11-20

國家自然科學(xué)基金資助項目(71071087)；教育部人文社會科學(xué)研究規(guī)劃基金資助項目(14YJA790015)；安徽省哲學(xué)社會科學(xué)規(guī)劃基金資助項目(AHSKY2014D103)；合肥工業(yè)大學(xué)產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)移與創(chuàng)新發(fā)展研究中心招標(biāo)項目(SK2014A073)

蔣翠俠，女，安徽碭山人，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向為數(shù)量經(jīng)濟理論與方法、金融計量、金融風(fēng)險管理。

F830.59

B

1007-9734(2015)01-0028-06