孫鵬，趙長勝，王仁

(江蘇師范大學(xué)測繪學(xué)院，徐州 221116)

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一種新的精密星歷內(nèi)插方法

孫鵬，趙長勝，王仁

(江蘇師范大學(xué)測繪學(xué)院，徐州 221116)

摘要：GPS精密星歷插值是精密單點(diǎn)定位的基礎(chǔ),本文將廣義重心有理插值應(yīng)用于GPS精密星歷插值,同時(shí)驗(yàn)證了滑動(dòng)廣義重心有理插值算法在精密星歷插值中的可行性,實(shí)驗(yàn)表明,滑動(dòng)廣義重心有理插值具有較好的穩(wěn)定性及很高的內(nèi)插精度,可以滿足精密定位的需要。

關(guān)鍵詞：精密星歷;拉格朗日插值;重心拉格朗日插值;廣義重心有理插值

0引言

獲取GPS衛(wèi)星的在軌位置是GPS定位的關(guān)鍵問題,獲取衛(wèi)星坐標(biāo)有兩種方式,一種是廣播星歷,一種是精密星歷。廣播星歷通過導(dǎo)航電文的數(shù)據(jù)塊Ⅱ直接發(fā)送給用戶接收機(jī),精度較低,不能滿足精密定位需要。事后精密星歷通常通過IGS網(wǎng)站下載,衛(wèi)星坐標(biāo)單位為km,精度已達(dá)2 cm,文件格式為sp3,每隔15 min給出一組星歷數(shù)據(jù)。而通常GPS接收機(jī)的實(shí)際采樣間隔為30 s、15 s甚至更密,因此我們需要對(duì)間隔15 min的精密星歷進(jìn)行內(nèi)插或者擬合,以獲取所需時(shí)刻的精密星歷,目前最常用的方法是拉格朗日插值、Neville插值、切比雪夫多項(xiàng)式擬合等[1-3]。本文引入一種新的插值方法:廣義重心有理插值,實(shí)驗(yàn)表明,該方法穩(wěn)定性較好,精度高。

1拉格朗日插值與重心拉格朗日插值

設(shè)有n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn),xj,j=0,1,…n,對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)fj,j=0,1,2,…n,可構(gòu)造n次插值多項(xiàng)式p,使p(xj)=fj,j=0,1…,n.則拉格朗日插值公式可以記為

(xj-xk),j=0,1,…n,

(1)

式中: lj(x)稱為拉格朗日插值基函數(shù);使用拉格朗日插值內(nèi)插衛(wèi)星位置時(shí),x為需要的內(nèi)插時(shí)刻; xj為插值節(jié)點(diǎn)的時(shí)刻; yj為插值節(jié)點(diǎn)三維坐標(biāo)值。拉格朗日插值在節(jié)點(diǎn)較少時(shí)具有較高的插值精度,但計(jì)算量較大,且當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加時(shí),容易出現(xiàn)振蕩或跳躍現(xiàn)象,即龍格現(xiàn)象[4],因此,使用精密星歷時(shí)通常采用低階滑動(dòng)拉格朗日插值,使待求歷元位于插值節(jié)點(diǎn)中心區(qū)間以獲得較高精度的插值結(jié)果[5-8]。

若定義重心權(quán)

wj=1/∏j≠k(xj-xk),j=0,1,…n.

(2)

則可得拉格朗日插值的改進(jìn)形式:重心拉格朗日插值[9]。

(3)

重心拉格朗日插值分子分母都包含插值權(quán)wj,其插值權(quán)依賴于插值節(jié)點(diǎn)的分布,但對(duì)于等距節(jié)點(diǎn)插值,重心拉格朗日插值仍是病態(tài)的。文獻(xiàn)[10]將重心拉格朗日插值用于精密星歷插值,并得到一些有益結(jié)論。

2廣義重心有理插值

重心有理插值可表示為

(4)

資助項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):41174032); 江蘇師范大學(xué)研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(編號(hào):2015YZD004)

聯(lián)系人： 趙長勝 E-mail: zhaocs1957@126.com其形式與重心拉格朗日插值相似,區(qū)別在于插值權(quán)的選取。

現(xiàn)給定插值節(jié)點(diǎn)xi,i=0,1,…n及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值fj,選擇一個(gè)整數(shù)d,滿足0≤d≤n,對(duì)每個(gè)i=0,1,…,n-d,令pi為點(diǎn)對(duì)(xi,fi),(xi+1,fi+1),…,(xi+d,fi+d)的次數(shù)至多為d的多項(xiàng)式,則構(gòu)造有理函數(shù)插值為

(5)

式中:

(6)

將多項(xiàng)式pi(x)寫成拉格朗日公式形式

(7)

將上式代入式(5),得

(8)

式中,

(9)

指標(biāo)集Jk={i∈I:k-d≤i≤k}.根據(jù)常數(shù)1的拉格朗日插值公式有

(10)

可得:

(11)

將式(8)及式(11)代入式(5),得廣義重心有理插值公式[11]為

(12)

式中,插值權(quán)wj由式(9)決定。

3驗(yàn)證與分析

選取由IGS提供的2015年4月4日精密星歷數(shù)據(jù)(文件名為igs18386.sp3),提取衛(wèi)星號(hào)為PG01的間隔為30min的衛(wèi)星坐標(biāo)(0:00-23:30),用廣義重心有理插值(本文d取12)內(nèi)插其余各已知點(diǎn),將精密星歷給出坐標(biāo)作為真值,判斷內(nèi)插精度。內(nèi)插結(jié)果如圖1所示。

圖1　三方向內(nèi)插至15 min誤差

內(nèi)插結(jié)果顯示,廣義重心有理插值在最外側(cè)出現(xiàn)了一定的波動(dòng)情況,其中X方向在23:15處出現(xiàn)了1dm的誤差,Y方向在0:15處出現(xiàn)了9cm的誤差,Z方向在0:15處出現(xiàn)了接近1dm的誤差。邊緣處的結(jié)果用于精密單點(diǎn)定位是不夠理想的,但1:00至22:00之間的插值精度可達(dá)1mm,而精密星歷自身精度為厘米級(jí),故這一時(shí)間段內(nèi)的插值結(jié)果是可靠的。如果需要獲取0:00-0:45以及22:45-24:00之間的插值結(jié)果,可以拼接前后兩天的部分節(jié)點(diǎn),即可獲取當(dāng)天任意時(shí)刻高精度插值結(jié)果。

也可以采用滑動(dòng)插值的方式獲取高精度插值結(jié)果。下面驗(yàn)證最佳插值節(jié)點(diǎn)數(shù)量以及d的最佳取值。以4月4日11:45為插值中心向兩側(cè)拓展10、12、14、16、18個(gè)間隔30min插值節(jié)點(diǎn),并內(nèi)插其間其余各已知?dú)v元,插值穩(wěn)定性如圖2所示。

圖2　不同節(jié)點(diǎn)數(shù)量端點(diǎn)突變

結(jié)果顯示:采用10個(gè)節(jié)點(diǎn)的滑動(dòng)廣義重心有理插值是不可靠的,采用12、14、16、18個(gè)節(jié)點(diǎn)插值,插值中心區(qū)間是高度穩(wěn)定的,且當(dāng)增加節(jié)點(diǎn)數(shù)量時(shí),邊緣也相對(duì)穩(wěn)定。

現(xiàn)使用上述數(shù)據(jù)不同節(jié)點(diǎn)數(shù)n內(nèi)插11:45歷元,求得插值誤差detX,detY,detZ.如表1所示。

結(jié)果表明,采用滑動(dòng)廣義重心有理插值時(shí),當(dāng)取12個(gè)節(jié)點(diǎn),d取10時(shí)插值精度可達(dá)毫米級(jí),取14個(gè)節(jié)點(diǎn),d=12或16個(gè)節(jié)點(diǎn)d=12或14時(shí)插值誤差可達(dá)亞毫米,當(dāng)增加節(jié)點(diǎn)數(shù)量時(shí),插值結(jié)果趨于穩(wěn)定,由于精密星歷自身精度為厘米級(jí),故采取滑動(dòng)廣義重心有理插值精度高,可靠性好,可以用于精密星歷內(nèi)插。

表1　不同節(jié)點(diǎn)數(shù)n內(nèi)插11:45歷元誤差

4結(jié)束語

1) 使用廣義重心有理插值內(nèi)插精密星歷,精度高,穩(wěn)定性好。

2) 給出了滑動(dòng)廣義重心有理插值的最佳節(jié)點(diǎn)數(shù)以及d的可選取值,為實(shí)際應(yīng)用提供了參考。

3) 插值權(quán)的確定依賴于d的取值,d的最佳取值有待進(jìn)一步討論。

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孫鵬(1991-),男,碩士生,主要研究方向?yàn)镚NSS數(shù)據(jù)處理。

趙長勝(1957-),男,教授,研究方向?yàn)榇蟮販y量與測量數(shù)據(jù)處理。

王仁(1990-),男,碩士生,主要研究方向?yàn)镚NSS數(shù)據(jù)處理。

A New Method for Precise Ephemeris Interpolation

SUN Peng,ZHAO Changsheng,WANG Ren

(SchoolofGeodesyandGeomatics,JiangSuNormalUniversity,Xuzhou221116,China)

Abstract:Precise Point Positioning(PPP) is based on GPS precise ephemeris interpolation. This article uses Generalized Barycentric Rational Interpolation for precise ephemeris interpolation, and verifies that Sliding Generalized Barycentric Rational Interpolation is also feasible. The experiment shows that, Generalized Barycentric Rational Interpolation is precise and highly stable and can meet the demands of PPP

Key words:Precise ephemeris; Lagrange interpolation; Barycentric Lagrange interpolation; Generalized Barycentric Rational Interpolation

作者簡介

收稿日期：2015-07-27

中圖分類號(hào)：P228.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-9268(2015)06-0089-03

doi:10.13442/j.gnss.1008-9268.2015.06.020