李紅菊，丁 健

(安徽新華學(xué)院公共課教學(xué)部，合肥230088)

0 引言

極限理論是微積分學(xué)說的基礎(chǔ)，求函數(shù)的極限也是學(xué)生學(xué)習(xí)中常見的一類題型，其方法是多樣的，而等價代換就是眾多方法中最有效的一種。1986年，鄒兆南［2］引入了無窮大階的概念，討論了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的無窮大的階，證明了無窮大的運算法則和在乘除運算中的等價替換定理，此后等價無窮大量的應(yīng)用受到眾多學(xué)者的關(guān)注，尤其是利用等價無窮大量代換求極限［3-10］，這是因為一方面等價無窮大量代換可達到簡化極限運算的目的，但另一方面該方法也很容易導(dǎo)致出錯。2009年，鄭婕［6］系統(tǒng)的研究了等價無窮大量在極限運算中的四則運算和乘方運算的條件和結(jié)論，文中對于加法運算的結(jié)論為:設(shè)α(x)、α1(x)、β(x)、β1(x)皆為1時的無窮大量，且1，1，若1存在且不等于1，則α(x)-β(x)～ α1(x)-β1(x)?(x→x0)。展丙軍［7］等人討論了無窮大量的比較，定義了高階無窮大量、低階大量和(A≠1)階無窮大量等概念，并舉例討論了其在級數(shù)斂散性判定中的應(yīng)用;李昌文［8］等人討論了等價無窮小量和等價無窮大量的一個誤區(qū);孫衛(wèi)衛(wèi)［1］等人闡述了等價無窮大量在(A≠1)、(A≠1)、(A≠1)、(A≠1)和(A≠1)型未定式的計算中等價代換的條件，并將文獻［6］中的減法運算推廣至在某個極限過程中(A≠1)(A≠1)或為無窮大的情形。大量的文章研究了極限運算中等價無窮大量的乘除運算，而加減運算研究的較少。本文主要研究在某個自變量的變化過程中時等價無窮大量的減法運算，得到了該條件下無窮大量等價代換的一個充分條件，豐富和完善了無窮大量的等價代換理論。

1 預(yù)備知識

定義1［7］設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)是在自變量的某個變化過程中的無窮大量，且也是在這個變化過程中的極限。

注2:定義2中自變量的變化過程也可以為x→-∞和x→+∞。

為了敘述的方便，已以下皆假設(shè)x→x0是大于零的常數(shù)。

2 主要結(jié)論

由定義1和定義2易得性質(zhì)1。

性質(zhì)1若在x→x0時rank［f(x)］=k，則在x→x0時x→∞是關(guān)于x→∞的同階無窮大量;若在x→∞時rank［f(x)］=k，則在x→∞時xk是關(guān)于xk的同階無窮大量。

性質(zhì)2若在自變量的同一變化過程中，rank［f1(x)］=k1＞0且 rank［f2(x)］=k2＞0，則rank［f1(x)f2(x)］=k1+k2。

證明:假設(shè) x→ x0時 rank［f1(x)］=k1且 rank［f2(x)］=k2，則

rank［f1(x)f2(x)］，rank［f1(x)f2(x)］。

所以 rank［f1(x)f2(x)］，

即rank［f1(x)f2(x)］=k1+k2。在自變量的其它變化過程中的結(jié)論可類似證明。

性質(zhì)3 若在自變量的同一變化過程中，rank［f1(x)］=k1＞0且 rank［f2(x)］=+∞，則rank［f1(x)f2(x)］=+ ∞。

性質(zhì)6若f1(x)和f2(x)是在自變量的同一變化過程中的兩個無窮大量，則

證明:假設(shè)該極限過程為 x→x0.若rank［f1(x)］=+∞或rank［f2(x)］=+∞，結(jié)論顯然成立;現(xiàn)假設(shè)rank［f1(x)］=k1且 rank［f2(x)］=k2，則，則A必為常值，所以rank［f1(x)-f2(x)］≤k1.在自變量的其它變化過程中的結(jié)論可類似證明。

在文獻［1］和文獻［3］研究的基礎(chǔ)上，本文僅研究等價無窮大量在極限減法運算中的如下情形。

定理2設(shè)在自變量的某個變化過程中，函數(shù) γ(x)、γ(x)、γ(x)、γ(x)、γ(x)皆是無窮大量且rank［α(x)- α1(x)］ ＜ rank［γ(x)］。若 rank［α(x)- α1(x)］ ＜ rank［γ(x)］且 rank［β(x)- β1(x)］ ＜rank［γ(x)］，則

證明:若 rank［α(x)- α1(x)］＜ rank［γ(x)］且 rank［β(x)- β1(x)］＜ rank［γ(x)］，則由性質(zhì)4 和性質(zhì)5可知，所以由定理1可知結(jié)論成立。

3 應(yīng)用舉例

4 結(jié)語

本文在無窮大量階的概念的基礎(chǔ)上，得到了極限運算中等價無窮大量加減運算的一個新的充分條件，豐富和完善了無窮大量的等價代換理論，但是如何確定無窮大等價代換后誤差的階，還沒有特別好的辦法，值得進一步的研究。

［1］ 孫衛(wèi)衛(wèi)，孫建英.等價無窮大在未定式計算中的應(yīng)用［J］.哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，2014，30(3):69-72.

［2］ 鄒兆南.無窮大的階及其運算法則［J］.重慶交通學(xué)院學(xué)報，1986，2(17):114-120.

［3］ 甘以炎.等價無窮大及其漸近表示式［J］.葛洲壩水電工程學(xué)院學(xué)報，1996，18(4):83-85.

［4］ 常庚哲.關(guān)于無窮大量的等價［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2000，3(3):13-15.

［5］ 王梅英，陸偉東.無窮小與無窮大的階在極限運算及判級數(shù)斂散性中的應(yīng)用［J］.南京審計學(xué)院學(xué)報，2007，4(2):73-76.

［6］ 鄭婕.等價代換在極限求解中的應(yīng)用［J］.中國教師.高等教育，2009(1):206-207.

［7］ 展丙軍，展銘望.無窮大量的性質(zhì)及妙用［J］.大慶師范學(xué)院學(xué)報，2011，31(3):67-70.

［8］ 李昌文，潘亞麗.關(guān)于無窮小與無窮大的幾個教學(xué)誤區(qū)［J］.淮北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013，34(4):90-93.

［9］ 劉桂仙，劉慶升.求極限的等價無窮大代換［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2014，1(1):51-52.

［10］ 馬志良.無窮大量與無窮大量的等價［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014(7):74.