黃 達(dá) ，曾 彬顧東明

（1.重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400045；2.重慶大學(xué) 山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400045）

1 引 言

滲透穩(wěn)定性是土力學(xué)的重要研究內(nèi)容之一，而滲透破壞臨界水力比降的確定是進(jìn)行土體滲透穩(wěn)定性分析和滲流控制的基礎(chǔ)[1]。砂礫類無黏性粗粒土作為常用的壩體填筑材料和良好的土石壩地基土，其滲透破壞的臨界水力比降理論計(jì)算方法大致可歸納為3類：①基于滲透力概念，按照其與土體（或土顆粒）浮重間的極限平衡推導(dǎo)出的臨界水力比降公式，具有代表性的有Terzaghi公式[2]、劉杰公式[3]、沙金煊公式[4]、毛昶熙公式[5]等，其中前3種計(jì)算方法被有關(guān)規(guī)范[6]推薦使用；②基于毛管模型的土顆粒滲透破壞臨界水力比降公式，以Kovacs[7]提出的毛管模型為基礎(chǔ)，Indraratna等[8－9]推導(dǎo)了砂礫類土顆粒的臨界水力比降公式，劉忠玉等[10]推導(dǎo)了考慮細(xì)顆粒流失量的臨界水力比降公式；③基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)的概率統(tǒng)計(jì)方法，如葛祖立[11]采用多元回歸分析方法統(tǒng)計(jì)了418個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，建立了計(jì)算臨界水力比降的兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式。由于粗粒土的滲透破壞機(jī)制復(fù)雜，臨界水力比降離散程度大，不同計(jì)算公式得到的臨界水力比降差異較大[12]，因此，試驗(yàn)方法仍是當(dāng)前確定粗粒土臨界水力比降最直接、最可靠的方法，也是絕大多數(shù)理論或經(jīng)驗(yàn)取值方法的重要基礎(chǔ)。充分利用有限的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用概率統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)方法探求土體組構(gòu)與臨界水力比降統(tǒng)計(jì)相關(guān)性，進(jìn)而估計(jì)類似土體的臨界水力比降，這也是一種科學(xué)實(shí)用的途徑。

目前，在概率統(tǒng)計(jì)分析方面，一般采用多維正態(tài)分布方法，即變量的邊緣分布均為正態(tài)分布，但正態(tài)分布并不一定為小樣本條件下土體物理力學(xué)參數(shù)分布的最優(yōu)估計(jì)，甚至有時(shí)不能通過檢驗(yàn)[13]。Sklar[14]提出的Copula理論為構(gòu)建多變量聯(lián)合分布提供了一種很好途徑。該理論指出，可以將任何一有限維的聯(lián)合分布分解為它的邊緣分布和一個(gè)表示結(jié)構(gòu)關(guān)系的Copula函數(shù)，其中Copula函數(shù)描述變量間的相關(guān)性和一致性[14]。采用Copula理論建立相關(guān)變量間的相互關(guān)系，優(yōu)點(diǎn)在于可將邊緣分布和結(jié)構(gòu)關(guān)系分開研究，這樣就可構(gòu)造邊緣分布為任意分布的多變量聯(lián)合分布函數(shù)，使問題大大簡化。Copula理論已經(jīng)在國內(nèi)外金融、保險(xiǎn)以及水文等領(lǐng)域[15]廣泛應(yīng)用，如Shiau[16]利用Copula函數(shù)建立了干旱歷時(shí)和干旱烈度的聯(lián)合分布，Song等[17]基于Plackett Copula函數(shù)建立了干旱歷時(shí)、干旱烈度以及干旱間隔時(shí)間之間的聯(lián)合分布，并計(jì)算了相應(yīng)的條件重現(xiàn)期。Copula理論在巖土工程中應(yīng)用的報(bào)道并不多見，唐小松等[18]利用Copula函數(shù)對(duì)基樁荷載-位移雙曲線進(jìn)行了概率分析。

本文以朱崇輝[19]開展的砂礫類粗粒土室內(nèi)滲透變形試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，采用Copula理論構(gòu)造其臨界水力比降與孔隙比及級(jí)配特征參數(shù)（不均勻系數(shù)和曲率系數(shù)）的四維多變量聯(lián)合分布函數(shù)，為建立粗粒土臨界水力比降與孔隙比及級(jí)配特征的多變量概率相關(guān)關(guān)系和臨界水力比降的估值提供了一種新的途徑。

2 滲透變形試驗(yàn)及變量間相關(guān)性度量

2.1 滲透變形試驗(yàn)

以陜西楊凌渭河砂礫類粗粒土為研究對(duì)象，朱崇輝[19]開展了粗粒土滲透破壞臨界水力比降 Jcr與土體孔隙比e、級(jí)配不均勻系數(shù) Cu和曲率系數(shù)Cc的單因素滲透變形試驗(yàn)研究。試驗(yàn)裝置包括滲透儀、供水設(shè)備和量測(cè)設(shè)備，滲透變形試驗(yàn)示意圖如圖1所示。滲透儀主要由直徑約為100 mm的有機(jī)玻璃圓形試驗(yàn)筒、透水板及底座組成，試樣高度為80 mm。試驗(yàn)樣本顆粒粒徑范圍為0.1～20.0 mm。通過控制e、Cu和Cc中任兩個(gè)變量為常數(shù)，改變另一參數(shù)進(jìn)行顆粒人工級(jí)配（含水率控制在約5%～8%）。3組31次試驗(yàn)土體級(jí)配及孔隙比與相應(yīng) Jcr如表1所示。

圖1 滲透變形試驗(yàn)示意圖Fig.1 Schematic diagram of seepage-induced deformation test

表1 單因素滲透變形試驗(yàn)結(jié)果[19]Table 1 Results of seepage-induced deformation tests with single factor[19]

2.2 變量間相關(guān)性度量

在用Copula函數(shù)描述變量間的相關(guān)性結(jié)構(gòu)之前，須進(jìn)行變量間相關(guān)性分析，以考察各變量之間的相關(guān)程度。相關(guān)系數(shù)是度量隨機(jī)變量之間相關(guān)性的常用指標(biāo)，有Pearson線性相關(guān)系數(shù)γn、Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρn和Kendall秩相關(guān)系數(shù)τn等[15]，其計(jì)算公式分別為

表2為2.1節(jié)試驗(yàn)（表1）的相關(guān)性系數(shù)計(jì)算結(jié)果，可看出：粗粒土的 Jcr與e、Cu、Cc均存在較好的負(fù)相關(guān)性。

第二屆中國京菜節(jié)已經(jīng)落下帷幕，其為振興發(fā)展中國京菜奠定了更加堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。今后，在北京市商務(wù)局的指導(dǎo)下、在有關(guān)方面的支持下，北京烹飪協(xié)會(huì)將進(jìn)一步實(shí)施振興發(fā)展中國京菜行動(dòng)計(jì)劃，立足當(dāng)下、著眼未來，整體規(guī)劃、突出重點(diǎn)。在發(fā)展京菜的同時(shí)，還要高度重視京味餐飲企業(yè)和全國地方菜餐飲企業(yè)在京的發(fā)展。讓我們繼續(xù)努力，提升餐飲品質(zhì)穩(wěn)增長，為促進(jìn)北京餐飲行業(yè)的健康有序發(fā)展而努力奮斗。

表2 孔隙比及級(jí)配特征參數(shù)與臨界水力比降間的相關(guān)系數(shù)Table 2 Correlation coefficients of critical hydraulic gradient with void ratio and characteristic parameters of grain gradation

3 Copula聯(lián)合分布函數(shù)構(gòu)造

3.1 Copula理論簡介

Copula函數(shù)是定義在[0，1]區(qū)間均勻分布的聯(lián)合分布函數(shù)。設(shè) X1，…，Xn為具有邊緣分布 F1，…，F(xiàn)n的隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)為F (x1，x2，…，xn)，u1=F1(x1)，…，un=Fn(xn)，則存在一個(gè)n元Copula函數(shù)C，使得任意 xi∈ Rn，有[15]

式中：x1，x2，…，xn分別為隨機(jī)變量 X1，X2…，Xn的觀測(cè)值；u1，u2…， un分別為 X1，X2…，Xn的邊緣分布函數(shù)。

特別地，當(dāng) X1，…，Xn相互獨(dú)立或它們之間的相依性可以忽略不計(jì)時(shí)，則有

所以，對(duì)于相互獨(dú)立的多個(gè)變量，其聯(lián)合分布等于它們各自邊緣分布的乘積，而無需利用Copula函數(shù)構(gòu)建它們的聯(lián)合分布。由此可看出，Copula函數(shù)對(duì)于構(gòu)建多個(gè)非獨(dú)立變量間的聯(lián)合分布函數(shù)，特別是變量間的相關(guān)性不易明確地用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示時(shí)，更能顯現(xiàn)出其優(yōu)勢(shì)。顯然，e、Cu、Cc三者之間并非獨(dú)立。例如，Cu、Cc均是有效粒徑 d10和限定粒徑 d60的函數(shù)，e 與其顆粒組成也有密切關(guān)系[20]。采用傳統(tǒng)方法很難將4個(gè)變量間的整體關(guān)系表示出來，而采用Copula理論則可以實(shí)現(xiàn)。

Copula理論之所以受到大量研究者的青睞，還在于它可以將邊緣分布和變量間相關(guān)結(jié)構(gòu)分開來研究，這樣便大大減小了多變量概率模型建模和分析的難度。利用Copula函數(shù)構(gòu)造變量的聯(lián)合分布函數(shù)，第1步是估計(jì)各變量的邊緣分布函數(shù)，該函數(shù)可以是任意形式的；第2步是選擇最優(yōu)的Copula函數(shù)來描述變量間的相關(guān)關(guān)系。

3.2 小樣本單變量邊緣分布推斷及檢驗(yàn)

正態(tài)信息擴(kuò)散法基于信息擴(kuò)散原理，強(qiáng)調(diào)充分利用樣本數(shù)據(jù)信息，而非預(yù)先假定樣品符合某經(jīng)典的概率分布曲線（擬合檢驗(yàn)），因此，數(shù)學(xué)和物理意義更為嚴(yán)密。正態(tài)信息擴(kuò)散法是估計(jì)小樣本條件下巖土物理力學(xué)參數(shù)概率密度函數(shù)較好的方法[13]。該方法提出的隨機(jī)變量X 概率密度函數(shù) f (x) 的正態(tài)信息擴(kuò)散估計(jì)為

式中：h為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)擴(kuò)散函數(shù)的窗寬。

對(duì)于隨機(jī)變量X 的觀測(cè)值 xi，其最大值為 xmax，最小值為 xmin，根據(jù)正態(tài)信息擴(kuò)散的擇近原則，可求得h=β(xmax-xmin)/(n-1)[21]。β 是與n 相關(guān)的常數(shù)，可查表獲得，具體參見文獻(xiàn)[21]。

K-S檢驗(yàn)法[15]（即Kolmogorov-Smirnov法）是一種適用于樣本數(shù)較少情況下的概率分布類型的檢驗(yàn)方法，當(dāng)計(jì)算的隨機(jī)變量Dn小于具有顯著水平α 的上限值Dn，α?xí)r，便認(rèn)為通過檢驗(yàn)，具體檢驗(yàn)過程參見文獻(xiàn)[15]。利用K-S檢驗(yàn)法分別對(duì)由正態(tài)信息擴(kuò)散法得到的各變量的概率分布進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果如表4所示。各變量Dn均小于具有顯著水平0.05的上限值Dn，α，因此，由正態(tài)信息擴(kuò)散法得到的各變量的概率密度函數(shù)都通過擬合良好性檢驗(yàn)，能夠真實(shí)地反映隨機(jī)變量的概率分布情況。

表3 系數(shù)及1/(2h2)值Table3 Valuesof and1/(2h2)forcoefficients

表3 系數(shù)及1/(2h2)值Table3 Valuesof and1/(2h2)forcoefficients

表4 K-S檢驗(yàn)法結(jié)果Table 4 Results of Kolmogorov-Smirnov test procedure

3.3 最優(yōu)Copula函數(shù)的構(gòu)造與檢驗(yàn)

關(guān)于最優(yōu)Copula函數(shù)構(gòu)造常用的方法是選用不同的Copula函數(shù)擬合數(shù)據(jù)，然后對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)[12]。具體的步驟如下：

（1）根據(jù)變量的邊緣分布和相關(guān)結(jié)構(gòu)等性質(zhì)選取符合條件的Copula函數(shù)?？紤]到粗粒土 Jcr與e、Cu和 Cc的相關(guān)關(guān)系，本文選用單參數(shù)的四維對(duì)稱Archimedean Copula函數(shù)來描述變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，其函數(shù)可定義為

式中：φ (·)為Archimedean Copula函數(shù)的生成函數(shù)；φ-1為 φ (·) 的逆函數(shù)；u1、u2、u3、u4分別對(duì)應(yīng)e、Cu、Cc和 Jcr的邊緣分布函數(shù)。

Archimedean Copula函數(shù)很多，Nelsen[23]系統(tǒng)地介紹了Archimedean Copula函數(shù)的構(gòu)造方法，Matteis[24]在Nelsen[23]的基礎(chǔ)上總結(jié)了20種對(duì)稱Archimedean Copula函數(shù)的生成函數(shù)。本文即選取Matteis給出的20種生成函數(shù)推導(dǎo)相應(yīng)的四維對(duì)稱Archimedean Copula函數(shù)。

（2）Copula函數(shù)相關(guān)參數(shù)的估計(jì)，常用的參數(shù)估計(jì)方法有非參數(shù)法和極大似然法等[24]，對(duì)于四維Copula函數(shù)，采用非參數(shù)法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)不再適用[24]，因此，選用一般性的極大似然法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。構(gòu)造Copula函數(shù)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

式中：樣本容量n=31；x1i、x2i、x3i、x4i和 F1(x1i)、F2(x2i)、F3(x3i)、F4(x4i)分別為e、Cu、Cc、Jcr的樣本觀測(cè)值和對(duì)應(yīng)的邊緣分布函數(shù)值；θ為Copula函數(shù)的待估參數(shù)；c為C (u1，u2，u3，u4)的密度函數(shù)，按下式計(jì)算：

式中：L為式（6）確定的對(duì)數(shù)似然函數(shù)；Lmax為L函數(shù)所取得的最大值。

根據(jù)式（6）～（8）分別計(jì)算 20種對(duì)稱Archimedean Copula四維函數(shù)參數(shù)θ 的估計(jì)值，結(jié)果見表5。

（3）擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，一般是將各個(gè)觀測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)聯(lián)合分布和Copula函數(shù)理論聯(lián)合分布進(jìn)行比較，計(jì)算均方根誤差RMSE（root mean square errors）、AIC（Akaike information criteria）[25]等指標(biāo)，指標(biāo)值最小的即為擬合原始觀測(cè)數(shù)據(jù)的最優(yōu)Copula函數(shù)，工程上一般采用AIC 值進(jìn)行判斷[26]，其計(jì)算公式如下：

式中：k為Copula函數(shù)中相關(guān)參數(shù)的個(gè)數(shù)；C (ui，vi，wi，ti)為隨機(jī)變量(xi，yi，zi，ri)的理論概率，其中ui、 vi、 wi和 ti分別為對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量 xi、 yi、 zi和ri的邊緣分布函數(shù)，即ui=Fx(xi)、vi=Fy(yi)、wi=Fz(zi)、ti=Fr(ri)；Femp(xi，yi，zi，ri)為隨機(jī)變量(xi，yi，zi，ri)的經(jīng)驗(yàn)概率，計(jì)算式為

表5 四維對(duì)稱Archimedean Copula函數(shù)及參數(shù)θ、AIC 值計(jì)算結(jié)果Table 5 Four dimensional symmetrical Archimedean Copula functions and calculation results of parameters θ，AIC

式中：nl，m，k，s為同時(shí)滿足X ≤ xi，Y ≤ yi，Z ≤ zi，R ≤ ri時(shí)聯(lián)合觀測(cè)值的個(gè)數(shù)。

根據(jù)式（9）、（10）計(jì)算各函數(shù)的擬合優(yōu)度評(píng)價(jià)指標(biāo)AIC 值，結(jié)果列于表5，可看出Nelsen No 6函數(shù)建立的聯(lián)合分布模型具有最小的AIC 值。結(jié)合式（6）～（8）估計(jì)的θ 值，確定描述粗粒土 Jcr與e、Cu和 Cc的最優(yōu)Copula函數(shù)為

圖2為Nelsen No 6四維最優(yōu)Copula函數(shù)式（11）計(jì)算得到各試驗(yàn)點(diǎn)的理論概率值 C (ui，vi，wi，ti)與經(jīng)驗(yàn)概率值 Femp(xi，yi，zi，ri)的對(duì)比圖。可以看出，其基本分布在45°對(duì)角線附近，表明所建立的聯(lián)合分布函數(shù)擬合效果良好。

圖2 理論與經(jīng)驗(yàn)概率的比較Fig.2 Empirical probabilities versus theoretical ones

4 臨界水力比降估值

4.1 估值的保證率

粗粒土 Jcr、e、Cu和 Cc間的相關(guān)關(guān)系通過構(gòu)造的Nelsen No 6四維最優(yōu)Copula函數(shù)式（11）來描述。定義其 Jcr估值為 Jcr0條件下，實(shí)際值小于或等于 Jcr0的概率為保證率 α(0≤ α≤ 1)，即

顯然，當(dāng)保證率α 過大時(shí)，估值偏大；α 較小時(shí)，估值偏低。在已知e=e0、Cu=Cu0和 Cc=Cc0情況下求Nelsen No 6四維最優(yōu)Copula函數(shù)的條件概率可得到保證率α ：

式（13）所表示的意義為：在e、Cu和 Cc已知條件下，Jcr估值為 Jcr0的保證率(α)，即利用式（13），一方面可以計(jì)算其他臨界水力比降估值方法的保證率α ；另一方面，則可計(jì)算在一定保證率條件下 Jcr的估值。

4.2 最優(yōu)擬合保證率

根據(jù)式（13），在保證率α 一定的情況下可求得臨界水力比降的估值 Jcr0。不同的α 值將得到不同的 Jcr0值，顯然存在一個(gè) α0值，使得臨界水力比降估值與試驗(yàn)值擬合程度最優(yōu)。統(tǒng)計(jì)學(xué)中可用殘差平方和來衡量估計(jì)值與試驗(yàn)值的擬合度，越小，估值擬合程度越高。其計(jì)算公式為

基于最優(yōu)Copula函數(shù)式（11），利用式（13）、（14），計(jì)算不同α 值條件下表1中各試驗(yàn)點(diǎn)和。在α 取值范圍內(nèi)（0≤ α≤ 1），取得最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的α 值即為Copula函數(shù)最優(yōu)擬合的保證率 α0。計(jì)算表明，當(dāng)α=0.459時(shí)，取得最小值為2.993 4，即式（11）所構(gòu)造的Copula函數(shù)的最優(yōu)擬合保證率為0.459。

4.3 估值及比較

為驗(yàn)證本文所構(gòu)造的最優(yōu)Copula函數(shù)用于類似粗粒土臨界水力比降估值的合理性，補(bǔ)充了5個(gè)砂礫類粗粒土室內(nèi)滲透變形試驗(yàn)。試驗(yàn)樣品的顆粒級(jí)配曲線如圖3所示。e、Cu、Cc如表6所示。

利用構(gòu)造的Nelsen No 6四維最優(yōu)Copula函數(shù)在最優(yōu)擬合保證率α0=0.459的條件下對(duì)5組試樣進(jìn)行了臨界水力比降的估值。為了對(duì)比分析，參考《水利水電工程地質(zhì)勘查規(guī)范》[5]，采用Terzaghi公式[2]計(jì)算流土破壞的臨界水力比降，采用劉杰公式[3]計(jì)算管涌或過渡型破壞的臨界水力比降，并與試驗(yàn)值比較，計(jì)算結(jié)果見表6。

圖3 滲透變形試驗(yàn)試樣顆粒級(jí)配曲線Fig.3 Curves of grain gradation for test specimens

表6 試樣級(jí)配特征參數(shù)及試驗(yàn)臨界水力比降與理論估值Table 6 Characteristic parameters of grain gradation，calculating and lab’ vaules of critical hydraulic gradients

從表可以看出：對(duì)于流土破壞的粗粒土，Copula方法與Terzaghi估值總體上偏??；而對(duì)于管涌或過渡型破壞的粗粒土，其估值與試驗(yàn)值接近，估值效果優(yōu)于劉杰公式。由此可見，Copula理論方法用于粗粒土臨界水力比降估值總體上效果良好。

5 結(jié) 論

（1）具有單參數(shù)的四維對(duì)稱Archimedean Copula函數(shù)的Nelsen No 6是擬合粗粒土臨界水力比降與孔隙比、級(jí)配不均勻系數(shù)和曲率系數(shù)間相關(guān)關(guān)系的最優(yōu)Copula函數(shù)。

（2）利用構(gòu)造的最優(yōu)Copula函數(shù)求條件概率，便可得到粗粒土臨界水力比降估值方法的保證率，或者計(jì)算在一定保證率條件下臨界水力比降的估值。

（3）通過室內(nèi)滲透變形試驗(yàn)及其他理論計(jì)算結(jié)果的對(duì)比分析，利用構(gòu)造的最優(yōu)Copula函數(shù)對(duì)粗粒土臨界水力比降的估值合理。在已知粗粒土孔隙比及級(jí)配參數(shù)條件下，為估算臨界水力比降提供了一種新途徑。

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