劉鐵龍(延邊第二中學，吉林延吉　133000)

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利用函數(shù)思想解釋數(shù)列通項公式求法
——以《一類數(shù)列通項公式的求法》一課教學為例

劉鐵龍
(延邊第二中學，吉林延吉133000)

摘要：在高中數(shù)學求數(shù)列通項公式的教學中，有些方法教師在教學中只是告訴學生怎么用，但是具體的應用原理學生并不知道。本文利用函數(shù)有關知識和函數(shù)思想，以它們之間的內(nèi)在聯(lián)系為紐帶，將函數(shù)與數(shù)列聯(lián)系起來，通過函數(shù)思想解釋了該問題的解題思想，以期使學生從理論和實踐上接受和理解新知識。同時通過多種解題方法的研究，使學生從不同的思維角度掌握問題的解法，從中領會到推導過程中所蕰含的數(shù)學思想。

關鍵詞：函數(shù)思想通項公式遞推關系待定系數(shù)法

一、利用函數(shù)思想解釋數(shù)列通項公式求法的重要性

通過數(shù)列的學習，我們知道數(shù)列是關于正整數(shù)n的函數(shù)。因此對于數(shù)列問題的研究可以充分利用函數(shù)有關知識，以它們之間的內(nèi)在聯(lián)系為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列的橋梁,揭示它們之間內(nèi)在聯(lián)系，從而有效地解決數(shù)列的相關問題。在近幾年的高考中，求數(shù)列的通項公式是高考重點考查的內(nèi)容，在教學中教師應該引導學生在探討基本數(shù)列-----等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式的基礎上，注重這兩個數(shù)列通項公式的推導過程，從中得到啟發(fā)，去研究一些本身既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列的數(shù)列，利用一些數(shù)學思想，去研究它們的通項公式。其中應注重體現(xiàn)體現(xiàn)化歸思想在數(shù)列中的具體應用。化歸思想就是把不熟悉的問題轉化成熟悉問題的數(shù)學思想，即把數(shù)學中待解決或未解決的問題，通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程，選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行變換、轉化，歸結到某個或某些已經(jīng)解決或比較容易解決的問題上，最終解決原問題的一種數(shù)學思想方法；正因為函數(shù)與數(shù)列之間的內(nèi)在聯(lián)系，教師在教學中應體現(xiàn)化歸思想，將函數(shù)知識轉化為數(shù)列知識，利用函數(shù)思想解釋數(shù)列的一些問題。培養(yǎng)學生“觀察、分析、提出問題和解決問題的能力”，

二、利用函數(shù)思想解釋數(shù)列通項公式求法能夠達到的教學目的

(1)知識與技能：根據(jù)數(shù)列的遞推關系，利用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項公式。

(2)過程與方法：熟練掌握數(shù)列的知識網(wǎng)絡結構及相關關系，掌握數(shù)列通項公式的求法。

(3)情感態(tài)度與價值觀：

①通過對數(shù)列的通項公式的分析和探究，培養(yǎng)學生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；從而激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)良好的學習品質(zhì)。

②通過對數(shù)列遞推公式問題的分析和探究，使學生養(yǎng)成細心觀察、認真分析、善于總結的良好思維習慣。

通過利用函數(shù)思想解釋數(shù)列通項公式求法的教學使學生能夠更好的用聯(lián)系的觀點看待研究對象。培養(yǎng)了學生勇于探索的精神。理解待定系數(shù)法求數(shù)列的通項公式方法的含義。

三、利用函數(shù)思想解釋數(shù)列通項公式求法的過程

1.創(chuàng)境設疑，引導探究

提出問題（1）等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式？

（2）等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的推導過程？

（3）我們學習了幾種求數(shù)列通項公式的方法？

學生1：回答問題1、2（略）。

學生2：回答問題3（略）。

教師：兩位同學回答得很全面，對于具有等差性和等比性的數(shù)列，我們可以通過基本量a1和d或a1和q就可以求出它們的通項公式。但是在數(shù)列的研究中，我們還會涉及到另一種數(shù)列：比如“已知某數(shù)列{an}的首項a1=1，且an=2an-1+ 1(n≥2)”，對上面數(shù)列{an}的分析，我們發(fā)現(xiàn)它既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列，因此它不能用等差數(shù)列或等比數(shù)列性質(zhì)來解決。這就需要我們探討一種新的解決方法，這節(jié)課我們就來研究這個問題。

教師：我們看問題（2）：已知數(shù)列{an}的首項a1=1，且an=2an-1+1(n≥2)，求此數(shù)列{an}的通項公式．根據(jù)前面所學知識，哪位同學談談你的想法？

學生3：根據(jù)遞推關系：an=2an-1+1，可以將數(shù)列{an}的前幾項寫出來，進行猜想，從中可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

教師：這個想法很好，大家試一試，看看有何規(guī)律?

學生動筆進行計算。通過計算學生得到數(shù)列{an}的前幾項：1,3,7,15,31,63,127,……教師：我們得到數(shù)列{an}的前幾項：1,3,7,15,3 1,63,127,……，那么我們應該怎么處理才會把數(shù)列{an}變成我們學過的數(shù)列形式呢？

學生3：如果將數(shù)列{an}的每一項都加上1，就變?yōu)?,4,8,16,32,64,128,……,就可以得到一個首項為2、公比為2的等比數(shù)列。令bn=an+ 1，即構造出等比數(shù)列{bn }，可以先求{bn }的通項，再求{an}的通項公式。

教師：學生3的思路非常正確，通過學生3的思路的啟發(fā)，哪位同學能具體解一下？學生4：將an=2an-1+1兩邊同時加1，得到an+1 =2(an-1+1).構造出等比數(shù)列{ an+1}，從而使問題得到解決。

教師：學生4回答得很好。如果將an=2an-1 +1變?yōu)椋篴n=5an-1+2.如何解決呢？我們應該得到一個什么樣的等比數(shù)列呢？

這時絕大部分學生仿照上題的解法,開始進行猜想，有的在等式的兩端同時加上1,有的同時加上2,也有的同時加上3,…….結果,大部分學生的親身實踐活動未獲成功.雖然有的學生經(jīng)過驗證想到兩邊加上0.5，但只是猜想驗證出來的，依然不知規(guī)律所在。

大家順利地完成了問題，但是為什么加感到疑惑。

生4:老師,怎樣才能想到在遞推關系的兩邊都加上0.5的?怎樣才能看出來？

教師:這個問題提得好，下面我們來解決這個問題。

教師提出問題（3）：如何求直線y=5x+2與直線y=x的交點坐標是什么？

師:如果我們可以將an=5an-1+2.與函數(shù)y=5 x+2等價轉化后，由問題2的啟發(fā)我們能否理解為什么要加？

大部分同學表現(xiàn)出恍然大悟的表情，為后面的教學打下了基礎。

教師:通過剛才的學習，利用函數(shù)與數(shù)列之間的內(nèi)在聯(lián)系，我們理解了an=2an-1+1和an=5an-

的來源。受到這個問題的啟發(fā)，如何解決：已知數(shù)列{an}的首項a1=1，且an=3an-1+2(n≥2)，求通項公。

教師:生6的解答非常正確，這種方法也叫做待定系數(shù)法。

大部分學生對生6的解釋感到合理、正確。

教師:通過上面的學習我們能否將問題一般化，即對于數(shù)列{an}，滿足,(m11)(n≥2),我們?nèi)绾吻笏耐椆剑?/p>

使問題得到解決。

教師:通過這幾名學生的分析，我們通過函數(shù)

教師:學生8的解法是一種非常美妙的解法，學生8發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}的另一個特點：從第二項起，每一項和前一項的差構成等比數(shù)列，從而使問題得到解決。

2.學生鞏固練習，練習題(略)。

3.老師結合學生作答進行評講（略），最后小結。

在多年的教學中，每當講到則、這部分知識時，基本都是教師直接講題型和方法，學生只是被動地接受了方法，但不知所以然。因此在這節(jié)課中，筆者利用了函數(shù)思想，將函數(shù)與數(shù)列進行了聯(lián)系，通過函數(shù)思想解釋了該問題的解題思想，，使學生從理論和實踐上接受和理解了新知識。同時本節(jié)課通過多種解題方法的研究，使學生從不同的思維角度掌握了問題的解法，學生從中深刻地領會到推導過程中所蕰含的數(shù)學思想，培養(yǎng)了學生作為主體主動地有目的地學習的能力。

教師在教學中要充分發(fā)揮學生的主觀能動性，讓學生展示自己的觀點，也有助于提高課堂的氣氛。在師生互動過程中教師要創(chuàng)設一個個問題情境，讓學生帶著問題去思考。同時教師要鼓勵每個學生都參與到問題的討論中，鼓勵他們發(fā)表自己的見解。分析他們的閃光點，進行表揚和鼓勵，使他們樹立起學習數(shù)學的信心，讓他們感受到數(shù)學的美。要注重激發(fā)學生的潛能，引發(fā)學生積極思考，在思考過程中提煉數(shù)學思想、解題策略，進一步提高學生觀察、分析、解決問題的能力。

收稿日期：2015—03—06

文章編號：1673-4564（2015）02—0120—03

文獻標識碼：A

中圖分類號：G633.6