孫曉云，張 濤，王明明，邢 卉

（石家莊鐵道大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，河北 石家莊 050043）

1 引 言

隨著我國(guó)巖土錨固工程迅速發(fā)展，錨桿承載力檢測(cè)已經(jīng)成為一個(gè)焦點(diǎn)。傳統(tǒng)的錨桿承載力檢測(cè)方式是通過(guò)對(duì)錨桿進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)拉拔試驗(yàn)，測(cè)定錨桿部分荷載P 和位移S 數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而預(yù)測(cè)完整的錨桿承載力及極限承載力值。所以模擬錨桿P-S 曲線(xiàn)精度高和預(yù)測(cè)錨桿極限承載力準(zhǔn)確度高的模型一直是研究的焦點(diǎn)。

應(yīng)志民[1]、鄧志勇[2]等使用雙曲線(xiàn)和指數(shù)模型對(duì)錨桿和單樁荷載-位移曲線(xiàn)進(jìn)行模擬，并對(duì)比和分析了各自的實(shí)用性；趙明華[3-4]、蔣建平[5]等對(duì)雙曲線(xiàn)模型進(jìn)行修正，分別提出了調(diào)整雙曲線(xiàn)和修正雙曲線(xiàn)模型，并用來(lái)預(yù)測(cè)錨桿和樁的極限承載力；龍照[6]建立了由雙曲線(xiàn)和指數(shù)模型組合而成的最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型；上述文獻(xiàn)對(duì)錨桿P-S 曲線(xiàn)進(jìn)行模擬時(shí)，都沒(méi)有考慮到實(shí)際情況（大多數(shù)錨桿都為預(yù)應(yīng)力錨桿，錨桿都必須施加預(yù)應(yīng)力才能起到主動(dòng)支護(hù)的作用，且實(shí)際錨桿拉拔試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)存在誤差），而直接按照理論錨桿P-S 曲線(xiàn)的形狀去建立和改進(jìn)模型，強(qiáng)制模型過(guò)原點(diǎn)，易導(dǎo)致建立的模型通用性較差、只對(duì)一些特定的數(shù)據(jù)模擬精度較高、預(yù)測(cè)極限承載力準(zhǔn)確度較高的缺點(diǎn)。

劉明貴等[7]引入了錨桿承載力的灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)法；白坡等[8]使用了冪函數(shù)模型模擬樁的荷載-位移曲線(xiàn)；楊群[9]提出了支盤(pán)樁試樁極限承載力的二次趨勢(shì)曲線(xiàn)預(yù)估法；李軍亮[10]論證了樁和錨桿的荷載-位移曲線(xiàn)的相似性，用來(lái)模擬樁的模型也可以用來(lái)模擬錨桿的荷載-位移曲線(xiàn)，而且提出了廣義灰色模型的錨桿和樁基極限承載力建模方法。所以?xún)绾瘮?shù)模型和二次趨勢(shì)曲線(xiàn)預(yù)估法也可以用來(lái)模擬錨桿P-S 曲線(xiàn)。上述文獻(xiàn)對(duì)錨桿P-S 曲線(xiàn)進(jìn)行模擬時(shí)，都沒(méi)有考慮到實(shí)際情況。劉思思等[11]根據(jù)抗拔錨桿試驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立了錨固體荷載傳遞特性隨錨固深度變化的動(dòng)態(tài)折線(xiàn)數(shù)值計(jì)算模型，在試驗(yàn)分析及工程設(shè)計(jì)中起到輔助作用，為更精細(xì)的計(jì)算錨桿承載力提供了參考。而張昌鎖[12]、王猛[13]、張勝利[14]很早就開(kāi)始研究錨桿無(wú)損檢測(cè)方法，并取得了很大的進(jìn)步；宋偉等[15]在分析錨桿錨固質(zhì)量無(wú)損檢測(cè)原理的基礎(chǔ)上，提出了以Hilbert 變換為基礎(chǔ)的數(shù)據(jù)，并證實(shí)了可行性；Starkey[16]、Vrkljan 等[17]分別利用空氣錘和鐵錘對(duì)錨桿錨固的頂端進(jìn)行敲擊，并采集了反射信號(hào)，得出了錨固系統(tǒng)的固有頻率隨錨固錨桿的軸向承載力增加而增大的結(jié)論，并提取主頻，對(duì)錨桿錨固段的質(zhì)量進(jìn)行了分析。上述文獻(xiàn)多涉及到錨桿質(zhì)量無(wú)損檢測(cè)，對(duì)錨桿受力檢測(cè)研究得較少。

在實(shí)際工程中，錨桿P-S 曲線(xiàn)多種多樣，使用單一的模型并不能都準(zhǔn)確預(yù)測(cè)各類(lèi)錨桿極限承載力值，這就產(chǎn)生了多模型組合預(yù)測(cè)的需要。錨桿極限承載力值由錨桿極限承載力破壞值（錨桿破壞荷載值）決定[18]，故關(guān)鍵是準(zhǔn)確預(yù)測(cè)錨桿極限承載力破壞值。通過(guò)建模預(yù)測(cè)錨桿極限承載力破壞值是一種不確定問(wèn)題，本文引入D-S 證據(jù)理論融合算法[19]來(lái)產(chǎn)生組合預(yù)測(cè)模型，并做了預(yù)測(cè)錨桿極限承載力破壞值準(zhǔn)確度對(duì)比。

2 預(yù)測(cè)模型簡(jiǎn)介

能夠用來(lái)對(duì)錨桿極限承載力值進(jìn)行預(yù)測(cè)的模型有雙曲線(xiàn)模型[1-2]、調(diào)整雙曲線(xiàn)模型[3-4]、修正雙曲線(xiàn)模型[5]、冪函數(shù)模型[8]、指數(shù)模型[1-2]、改進(jìn)指數(shù)模型[20]、改進(jìn)指-冪混合函數(shù)模型、多項(xiàng)式模型[9]以及非等間距灰色GM(1,1)模型[7]和分段GM(1,1)模型[21]等?，F(xiàn)對(duì)多項(xiàng)式模型和改進(jìn)指-冪混合函數(shù)模型進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，其余模型參見(jiàn)各對(duì)應(yīng)文獻(xiàn)。

修正雙曲線(xiàn)模型和調(diào)整雙曲線(xiàn)模型，是在原有雙曲線(xiàn)模型結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，分別引入了冪函數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)得到的，與雙曲線(xiàn)模型相比，精度得到了較大提高。在一定程度上，適當(dāng)?shù)匾肫渌?lèi)函數(shù)可以提高模型的模擬精度，通過(guò)不同類(lèi)函數(shù)的協(xié)調(diào)調(diào)節(jié)，增大調(diào)整范圍，使模擬曲線(xiàn)更加接近于實(shí)際曲線(xiàn)，改進(jìn)指-冪混合函數(shù)模型就是在改進(jìn)指數(shù)模型的基礎(chǔ)上引入冪函數(shù)模型得到的，對(duì)應(yīng)方程為

式中：P、S、Pu分別代表某一級(jí)別的荷載(kN)、某一級(jí)別的荷載下錨桿端頭位移(mm)和待求錨桿的極限承載力破壞值(kN)；a、b、c、k1均為待擬合參數(shù)。

文獻(xiàn)[9]中引入二次多項(xiàng)式模型模擬樁基的荷載-位移曲線(xiàn)，同樣二次多項(xiàng)式模型也可以用來(lái)模擬錨桿的荷載-位移曲線(xiàn)[10]，但二次多項(xiàng)式模型調(diào)節(jié)能力小，預(yù)測(cè)錨桿的極限承載力破壞值準(zhǔn)確度較差。然而三次多項(xiàng)式模型模擬效果較好，其方程為

預(yù)測(cè)錨桿的極限承載力值取為

預(yù)測(cè)錨桿極限承載力破壞值為

由于實(shí)測(cè)錨桿荷載和位移數(shù)據(jù)較少，有可能建立的三次多項(xiàng)式模型為類(lèi)S 型形狀，故在使用三次多項(xiàng)式進(jìn)行建模時(shí)，要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行修正。三次多項(xiàng)式模型建立過(guò)程如圖1 所示，主要步驟說(shuō)明如下：

（1）模型參數(shù)識(shí)別。使用線(xiàn)性回歸法求取三次多項(xiàng)式模型參數(shù)，具體如下：

步驟1：一元變多元，令x1=S，x2=S2，x3=S2，y=P。

步驟2：求取矩陣B1、B2，其中，(i、k=1、2、3；i≠k)，n為 x1、x2、x3和y 中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。

步驟3：求取多項(xiàng)式參數(shù)矩陣C 和參數(shù)c。

（2）預(yù)測(cè)錨桿極限承載力和極限位移。將（1）中求解得到的模型參數(shù)，帶到式（4）中，求取極限位移 Su；再將 Su帶到式（3）中，求取極限承載力值Ps。

（3）修正判定。將（2）中極限位移值與各荷載下實(shí)測(cè)位移值進(jìn)行對(duì)比，若極限位移值大于各荷載下實(shí)測(cè)位移值，則無(wú)需對(duì)三次多項(xiàng)式模型進(jìn)行修正。反之，則需要使用直線(xiàn)法對(duì)三次多項(xiàng)式模型進(jìn)行修正。

（4）模型修正。以預(yù)測(cè)極限位移值 Su作為分界點(diǎn)，實(shí)測(cè)位移S 比 Su小的階段曲線(xiàn)重新使用三次多項(xiàng)式進(jìn)行模擬，將此階段模擬得到的最后一對(duì)S 和P 值，以及后續(xù)已知的實(shí)測(cè)錨桿荷載P 和位移S 的數(shù)據(jù)，按照誤差平方和最小的原則，進(jìn)行直線(xiàn)擬合。重新建立的三次多項(xiàng)式模型，預(yù)測(cè)的錨桿極限承載力值作為錨桿極限承載力最終預(yù)測(cè)值。按照式（5）求取錨桿極限承載力破壞值。

圖1 三次多項(xiàng)式模型建立流程圖Fig.1 The flow chart of cubic polynomial model

3 D-S 證據(jù)理論及算法實(shí)現(xiàn)

將各模型的錨桿極限承載力破壞值預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際測(cè)值進(jìn)行比較，會(huì)出現(xiàn)模型的預(yù)測(cè)值都偏大、偏小或分布在實(shí)測(cè)值兩側(cè)3 種可能。當(dāng)所有模型預(yù)測(cè)值都偏小，將各模型預(yù)測(cè)的極限承載力值最大的作為最終預(yù)測(cè)值，誤差最小；同理，當(dāng)所有模型預(yù)測(cè)值都偏大，將各模型預(yù)測(cè)的極限承載力值最小的作為最終預(yù)測(cè)值，誤差最??；在實(shí)際模擬預(yù)測(cè)中，大多數(shù)情況預(yù)測(cè)值分布在實(shí)測(cè)值兩側(cè)，對(duì)各模型預(yù)測(cè)的極限承載力值求取算術(shù)平均值，把這個(gè)平均值作為最終預(yù)測(cè)值，若選擇的模型適當(dāng)，誤差很小，甚至有可能實(shí)現(xiàn)無(wú)靜差。預(yù)測(cè)錨桿極限承載力破壞值是一種不確定問(wèn)題，使用多個(gè)預(yù)測(cè)模型生成多個(gè)預(yù)測(cè)值，就可以使用D-S 證據(jù)理論融合算法進(jìn)行較高精度預(yù)測(cè)。

Dempster 于1967年首次提出證據(jù)理論，后由其學(xué)生Shafer 進(jìn)行了擴(kuò)展[19]，建立了對(duì)不確定信息進(jìn)行處理的證據(jù)理論。D-S 證據(jù)理論從可能成立的條件中分離出前提嚴(yán)格的條件，使任何涉及先驗(yàn)概率的信息缺失得以顯示化，能區(qū)分未知性和不確定性[19,22]。

該證據(jù)理論被廣泛用在多傳感器信息融合中，它的實(shí)質(zhì)就是將每一個(gè)傳感器視為一個(gè)證據(jù)體，在同一鑒別框架下，把不同特征的證據(jù)體按照某一規(guī)則合并成一個(gè)新的證據(jù)體的過(guò)程。再根據(jù)某種決策方法得到最終的判定結(jié)果[23]。以此類(lèi)推，將D-S 證據(jù)理論應(yīng)用到多預(yù)測(cè)模型數(shù)據(jù)融合中也是可行的，把預(yù)測(cè)模型的相關(guān)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)作為該理論中的證據(jù)體，構(gòu)成對(duì)待識(shí)別目標(biāo)模式的信度函數(shù)（表示每個(gè)證據(jù)對(duì)目標(biāo)模式假設(shè)的可信程度）分配，然后使用D-S 理論合并規(guī)則，將n 個(gè)證據(jù)合成一個(gè)新的證據(jù)，為決策目標(biāo)模式提供準(zhǔn)確、綜合的信息。圖2為D-S證據(jù)理論的信息融合原理示意圖，圖中 m1(A)，m2(A)，…，mn(A) 分別表示n 個(gè)預(yù)測(cè)模型對(duì)命題A的基本可信度分配，通過(guò)D-S 理論合并規(guī)則合成基本可信度分配 m(A)，然后運(yùn)用決策規(guī)則進(jìn)行決策，識(shí)別結(jié)果。具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程可以分為4 部分，具體如下所示：

圖2 D-S 證據(jù)理論融合原理圖Fig.2 The fusion principle diagram of D-S evidence theory

（1）確定辨識(shí)框架。辨識(shí)框架是D-S 證據(jù)推理的基礎(chǔ)，D-S 證據(jù)理論中每一個(gè)函數(shù)和概念都是建立在辨識(shí)框架的基礎(chǔ)上。對(duì)于一個(gè)判斷問(wèn)題，將所能預(yù)測(cè)到的可能結(jié)果用集合Θ 表示，這樣關(guān)心的任何一個(gè)命題都可對(duì)應(yīng)于Θ 的一個(gè)子集，這里將集合Θ 稱(chēng)為辨識(shí)框架。

（2）基本概率賦值。假設(shè)Θ為一個(gè)有窮而完備的集合，并且集合Θ 中各元素相互獨(dú)立。對(duì)于任何屬于Θ 的命題A 都有函數(shù)m：2Θ→[0,1]（2Θ代表集合Θ 中的所有子集），且滿(mǎn)足：

式（6）稱(chēng)為 m(A)為命題A 的基本概率分配，用來(lái)表示對(duì)命題A 的精確信任程度。本文為了減小計(jì)算的復(fù)雜度，僅使用單元素命題A，加入融合模型選擇這一環(huán)節(jié)（詳見(jiàn)第4 節(jié)）。在實(shí)際中并不知道命題A 發(fā)生的概率，故引入模糊數(shù)學(xué)的模糊數(shù)理論來(lái)進(jìn)行基本概率分配。模糊數(shù)有多種類(lèi)型，究竟采用哪種類(lèi)型要結(jié)合實(shí)際問(wèn)題來(lái)確定，選擇依據(jù)是所選用的模糊數(shù)應(yīng)具備一定程度的合理性，易于后續(xù)數(shù)據(jù)處理[24]。

在實(shí)際中，從可信度的角度來(lái)看，錨桿極限承載力預(yù)測(cè)值距離真實(shí)值越近，則可信度就應(yīng)該越高，曲線(xiàn)下降也應(yīng)該較緩；反之，越遠(yuǎn)可信度就越低，曲線(xiàn)下降也較陡；當(dāng)大于或小于某值，可信度極小。故使用高斯模糊數(shù)更為合適，高斯模糊數(shù)可表述為圖3，其隸屬函數(shù)為

圖3 高斯模糊數(shù)示意圖Fig.3 The schematic diagram of Gaussian fuzzy numbers

使用高斯模糊數(shù)進(jìn)行基本概率分配方法為：將每根錨桿的全部預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)中一個(gè)最大值 Pmax和一個(gè)最小值 Pmin去掉，對(duì)其余數(shù)據(jù)，求取平均值 Pav，將這個(gè)數(shù)據(jù)作為a 的值。本文為了增大各模型之間可信度的對(duì)比度，取

（3）D-S 證據(jù)合并。D-S 證據(jù)合并嚴(yán)格按照D-S證據(jù)合并規(guī)則進(jìn)行，D-S 證據(jù)合并規(guī)則是綜合多個(gè)預(yù)測(cè)模型的基本可信度分配，合并成一個(gè)新的基本可信度分配。合并規(guī)則也稱(chēng)作正交和規(guī)則，用⊕表示。假設(shè) m1和m2是Θ 上的兩個(gè)概率分配函數(shù)，x和y 是Θ 中包含于A 的任意兩個(gè)子集，則使用D-S證據(jù)合并規(guī)則合并后的命題A 的基本概率分配為

式中：A≠φ，φ為空集，m(φ)=m1(φ)=m2(φ)=0，c-1為沖突因子，各證據(jù)間的沖突越大，c-1值越大，

D-S 合并規(guī)則僅提供了組合2 個(gè)證據(jù)的合并規(guī)則，要對(duì)于多個(gè)證據(jù)進(jìn)行融合，可重復(fù)利用式（9）對(duì)多個(gè)證據(jù)進(jìn)行兩兩組合。合并規(guī)則滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律，即有：m1⊕m2=m2⊕m1；(m1⊕m2)⊕m3=m1⊕(m2⊕m3)。

（4）結(jié)果決策。結(jié)果決策也有相應(yīng)的決策規(guī)則，目標(biāo)不同決策規(guī)則不同。本文使用D-S 證據(jù)理論進(jìn)行較優(yōu)融合模型選擇和數(shù)據(jù)融合預(yù)測(cè)結(jié)果兩項(xiàng)內(nèi)容，故有2 個(gè)決策規(guī)則：

規(guī)則1（以選擇較優(yōu)融合模型為目標(biāo)）：以數(shù)值1/M 來(lái)選擇模型好與壞，當(dāng)數(shù)據(jù)融合后最終基本概率賦值數(shù)大于等于1/M 時(shí)，就認(rèn)為這個(gè)模型為較好模型，反之這個(gè)模型為較差模型，其中M為參與運(yùn)算的模型個(gè)數(shù)，

規(guī)則2（以選擇最優(yōu)預(yù)測(cè)結(jié)果為目標(biāo)）：把融合后最終基本概率賦值數(shù)最大的數(shù)據(jù)范圍認(rèn)為最可靠范圍，對(duì)這個(gè)最可靠范圍的數(shù)據(jù)求取算式平均值，作為最終預(yù)測(cè)結(jié)果。

4 承載力預(yù)測(cè)方法

用D-S 證據(jù)理論融合算法實(shí)現(xiàn)錨桿極限承載力預(yù)測(cè)的過(guò)程，主要包括特征值提取、融合模型選擇和數(shù)據(jù)融合預(yù)測(cè)3 個(gè)方面。

（1）特征值提取。特征值提取就是提取各預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)的極限承載力破壞值。適當(dāng)?shù)販p少?gòu)椥噪A段數(shù)據(jù)，有助于提高預(yù)測(cè)錨桿極限承載力破壞值的準(zhǔn)確度，故這里通過(guò)減少?gòu)椥噪A段的數(shù)據(jù)量的方法，使各模型都能產(chǎn)生多個(gè)預(yù)測(cè)精度較高的預(yù)測(cè)值。

在實(shí)際工程中，由于拉拔試驗(yàn)較困難，采集的數(shù)據(jù)可能較少，減少數(shù)據(jù)反而有可能會(huì)降低預(yù)測(cè)精度，故在較少的原始數(shù)據(jù)上需要增添適量數(shù)據(jù)。由于預(yù)測(cè)精度受彈性階段數(shù)據(jù)影響較大，故對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)在彈塑性階段曲線(xiàn)進(jìn)行三次樣條插值。

（2）融合模型選擇。融合模型選擇可以使用D-S證據(jù)理論融合算法實(shí)現(xiàn)，以選擇較優(yōu)融合模型為目標(biāo)，把各數(shù)據(jù)范圍下預(yù)測(cè)的極限承載力破壞值作為證據(jù)體，使用D-S 理論合并規(guī)則將多個(gè)證據(jù)體合成一個(gè)新的證據(jù)體，運(yùn)用決策規(guī)則1 決策目標(biāo)，選擇出較優(yōu)融合模型組合。若運(yùn)用決策規(guī)則2 決策目標(biāo)，則可以選出最優(yōu)模型，對(duì)它在各個(gè)范圍內(nèi)的預(yù)測(cè)值求取平均值，作為最優(yōu)模型預(yù)測(cè)值。

（3）數(shù)據(jù)融合預(yù)測(cè)。數(shù)據(jù)融合預(yù)測(cè)就是以選擇最優(yōu)預(yù)測(cè)結(jié)果為目標(biāo)，將參與融合的各模型預(yù)測(cè)的極限承載力破壞值作為證據(jù)體，使用D-S 理論合并規(guī)則將多個(gè)證據(jù)體合成一個(gè)新的證據(jù)體，運(yùn)用決策規(guī)則2 決策目標(biāo)。但在數(shù)據(jù)融合預(yù)測(cè)前先要判斷是否需要進(jìn)行這一步，根據(jù)第3 節(jié)開(kāi)始的分析結(jié)果，只有當(dāng)參與融合的各模型預(yù)測(cè)值分布在實(shí)測(cè)值兩側(cè)時(shí)，才需要進(jìn)行數(shù)據(jù)融合預(yù)測(cè)。具體判別方法在6.1節(jié)中詳述。

5 修正的預(yù)測(cè)方法

前文所述的預(yù)測(cè)方法，預(yù)測(cè)精度受模糊數(shù)中參數(shù)a 的影響較大（從后文錨桿E 的預(yù)測(cè)結(jié)果中能夠證明）。針對(duì)此種現(xiàn)象，在原有預(yù)測(cè)方法的基礎(chǔ)上，添加了修正環(huán)節(jié)，對(duì)原有預(yù)測(cè)方法進(jìn)行修正，具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如圖4 所示，圖中虛線(xiàn)框內(nèi)部分即是修正環(huán)節(jié)。

圖4 修正后的預(yù)測(cè)方法流程圖Fig.4 The flow chart of the revised prediction method

在修正過(guò)程中，基本概率分配所使用的模糊數(shù)參數(shù)a 取原有預(yù)測(cè)方法的最終預(yù)測(cè)值，此值與真實(shí)值相比誤差較小，故此時(shí)選擇的模型組合更為合適，都為較高精度預(yù)測(cè)模型，無(wú)需再判斷模型預(yù)測(cè)值是否分布在實(shí)測(cè)值兩側(cè)，誤差不會(huì)相差很大。

6 工程案例驗(yàn)證

使用文獻(xiàn)[25]中的5 根錨桿拉拔試驗(yàn)數(shù)據(jù)，其中錨桿A 和B 的破壞階段數(shù)據(jù)較豐富，但都存在凹點(diǎn)，錨桿B 的P-S 曲線(xiàn)較錨桿A 光滑，錨桿C 的破壞階段數(shù)據(jù)較少，錨桿D 和E 沒(méi)有出現(xiàn)破壞階段數(shù)據(jù)，錨桿C、D 和E 的P-S 較光滑。使用這5 根錨桿的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)基于D-S 證據(jù)理論的數(shù)據(jù)融合算法在錨桿極限承載力預(yù)測(cè)中的應(yīng)用效果是非常合適的，具體數(shù)據(jù)如表1 所示。

6.1 預(yù)測(cè)方法驗(yàn)證試驗(yàn)

以錨桿A為例進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明，具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

（1）特征值提取。使用修正雙曲線(xiàn)模型、調(diào)整雙曲線(xiàn)模型、指數(shù)模型、改進(jìn)指數(shù)模型、改進(jìn)指-冪模型、三次多項(xiàng)式模型、GM(1，1)模型和分段GM(1，1)模型對(duì)錨桿A 進(jìn)行建模，預(yù)測(cè)極限承載力破壞值。使用減少低量值荷載數(shù)據(jù)的方法，使每個(gè)預(yù)測(cè)模型對(duì)錨桿A 都預(yù)測(cè)4 個(gè)極限承載力破壞值，使用數(shù)據(jù)范圍為表2 中編號(hào)1～9、2～9、3～9、4～9。

對(duì)表2 進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，調(diào)整雙曲線(xiàn)模型預(yù)測(cè)極限承載力破壞值準(zhǔn)確度最差，且偏大。將表2中預(yù)測(cè)值與各錨桿的實(shí)測(cè)值進(jìn)行比較，對(duì)于錨桿C，除調(diào)整雙曲線(xiàn)以外，各模型預(yù)測(cè)值都偏小。其余錨桿預(yù)測(cè)值分布在實(shí)測(cè)值兩側(cè)。除錨桿C 以外，改進(jìn)指-冪混合函數(shù)模型的預(yù)測(cè)值誤差都較小。對(duì)表2中指數(shù)模型和改進(jìn)指數(shù)模型進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)指數(shù)模型預(yù)測(cè)值都大于改進(jìn)指數(shù)模型預(yù)測(cè)值時(shí)，除調(diào)整雙曲線(xiàn)的以外，其余模型預(yù)測(cè)值都偏小，而且除個(gè)別數(shù)值以外，都不比指數(shù)模型預(yù)測(cè)值大。

綜上所述，可以使用指數(shù)與改進(jìn)指數(shù)模型預(yù)測(cè)值之間的大小關(guān)系，以及改進(jìn)指-冪混合函數(shù)模型各預(yù)測(cè)值的平均值，來(lái)判斷參與融合預(yù)測(cè)的模型是否分布在實(shí)測(cè)值兩側(cè)。

（2）融合模型選擇。以選擇較優(yōu)融合預(yù)測(cè)模型為目標(biāo)，確定錨桿各組數(shù)據(jù)的基本概論分配，詳見(jiàn)表3。使用式（9）對(duì)表3 中的錨桿A 的各證據(jù)體進(jìn)行融合，各個(gè)融合步驟的證據(jù)累積結(jié)果見(jiàn)表4。

根據(jù)融合結(jié)果，按照決策規(guī)則1，從表3 可以看出，改進(jìn)指-冪模型、三次多項(xiàng)式模型和分段GM(1,1)模型為較好模型，改進(jìn)指-冪模型模型精度可信度最高，若對(duì)它的4 個(gè)預(yù)測(cè)值求取算式平均值，作為最終預(yù)測(cè)值，預(yù)測(cè)結(jié)果為：668.08 kN，與實(shí)測(cè)值665.8 kN 相比，誤差僅為0.32%。

（3）數(shù)據(jù)融合預(yù)測(cè)。根據(jù)融合模型選擇的結(jié)果可以看出：改進(jìn)指-冪模型、三次多項(xiàng)式模型和分段GM(1，1)模型這3 個(gè)模型的預(yù)測(cè)效果較好，預(yù)測(cè)值分布在實(shí)測(cè)值兩側(cè)，取錨桿A 的辨識(shí)框架θ={N1,N2,N3,N4}={661.78，677.08，662.62，664.92}。根據(jù)高斯模糊數(shù)計(jì)算方法，錨桿A 各組數(shù)據(jù)的基本概論分配及各個(gè)融合步驟的證據(jù)累積的結(jié)果如表4所示。

從表可以看出，隨著證據(jù)的累積，錨桿A 融合結(jié)果對(duì)N4命題的支持度增大且最大，根據(jù)決策規(guī)則2 可以判斷錨桿A 的極限承載力破壞值最終預(yù)測(cè)結(jié)果為664.92 kN，與實(shí)際測(cè)量值665.8 kN 相比，誤差僅為-0.132%，誤差很小。

表1 錨桿拉拔試驗(yàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)Table 1 The measured data of rock bolt pull-out test

表2 各模型預(yù)測(cè)極限承載力破壞值（特征值）（單位:kN）Table 2 Predicted ultimate bearing capacity values of different models(eigenvalue)(unit:kN)

表3 錨桿A 的各證據(jù)體的可信度分配和融合結(jié)果（融合模型選擇）Table 3 Reliability distribution and fusion result of each evidence on rock bolt A(fusion model selection)

表4 錨桿A 的各證據(jù)體的可信度分配和融合結(jié)果（數(shù)據(jù)融合預(yù)測(cè)）Table 4 Reliability distribution and fusion result of each evidence on rock bolt A(data fusion prediction)

按照上述方法，對(duì)錨桿B、C、D 和E 進(jìn)行極限承載力破壞值預(yù)測(cè)，各模型預(yù)測(cè)結(jié)果如表5 所示。由于錨桿C、D 和E 較光滑，建立的分段GM（1,1）模型和GM（1,1）模型預(yù)測(cè)結(jié)果基本一樣，故不使用分段GM（1,1）模型對(duì)這3 根錨桿進(jìn)行進(jìn)行極限承載力破壞值預(yù)測(cè)。對(duì)于錨桿C，通過(guò)融合模型選擇后，參與數(shù)據(jù)融合預(yù)測(cè)的較高精度模型的預(yù)測(cè)值均偏小，直接將最大值697.68 kN 作為最終預(yù)測(cè)值；除此以外，對(duì)于其他錨桿，參與數(shù)據(jù)融合預(yù)測(cè)的較高精度模型的預(yù)測(cè)值均位于實(shí)測(cè)值兩側(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如表5 所示。

6.2 修正的預(yù)測(cè)方法驗(yàn)證試驗(yàn)

同樣以錨桿A為例進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明，將高斯模糊函數(shù)中的a 取為664.92，對(duì)修正雙曲線(xiàn)模型、調(diào)整雙曲線(xiàn)模型、指數(shù)模型、改進(jìn)指數(shù)模型、改進(jìn)指冪混合函數(shù)模型、三次多項(xiàng)式模型、GM(1，1)模型和分段GM(1，1)模型進(jìn)行融合模型選擇，錨桿A 各組數(shù)據(jù)的基本概論分配，詳見(jiàn)表6。使用式（8）對(duì)表6 中錨桿A 的各證據(jù)體進(jìn)行融合，各個(gè)融合步驟的證據(jù)累積的結(jié)果同樣如表6 所示。

根據(jù)表中的融合結(jié)果，按照決策規(guī)則1 進(jìn)行判定，改進(jìn)指冪混合函數(shù)模型、三次多項(xiàng)式模型、GM(1，1)模型和分段GM(1，1)模型較優(yōu)，使用這4 個(gè)模型進(jìn)行數(shù)據(jù)融合預(yù)測(cè)，此時(shí)錨桿A 的辨識(shí)框架θ={ N1,N2,N3,N4}={654.18，669.50，659.04，660.10}。根據(jù)高斯模糊數(shù)計(jì)算方法，錨桿A 各組數(shù)據(jù)的基本概論分配及各個(gè)融合步驟的證據(jù)累積的結(jié)果如表7 所示。

從表可以看出：隨著證據(jù)的累積，根據(jù)錨桿A的融合結(jié)果，按照決策規(guī)則2 可以判斷錨桿A 的最終預(yù)測(cè)極限承載力破壞值為660.10 kN，與實(shí)際測(cè)量值665.80 kN 相比，誤差為-0.856%。按照上述方法，對(duì)錨桿B、D 和E 進(jìn)行修正后預(yù)測(cè)方法試驗(yàn)驗(yàn)證，預(yù)測(cè)結(jié)果詳見(jiàn)表8，與原預(yù)測(cè)方法相比，誤差更小。

表5 極限承載力破壞值的預(yù)測(cè)結(jié)果Table 5 The predicted results of the ultimate bearing capacity value of failure

表6 錨桿A 的各證據(jù)體的可信度分配和融合結(jié)果（融合模型選擇、修正）Table 6 Reliability distribution and fusion result of each evidence on rock bolt A(fusion model selection,correction)

表7 錨桿A 的各證據(jù)體的可信度分配及各證據(jù)體的融合結(jié)果（數(shù)據(jù)融合預(yù)測(cè)、修正）Table 7 Reliability distribution and fusion result of each evidence on rock bolt A(data fusion prediction,correction)

表8 極限承載力破壞值的預(yù)測(cè)結(jié)果（修正的預(yù)測(cè)方法）Table 8 The predicted results of the ultimate bearing capacity value of failure(the revised forecast method)

6.3 預(yù)測(cè)結(jié)果分析

結(jié)合表2、5、8 進(jìn)行分析，三次多項(xiàng)式模型和改進(jìn)指-冪混合模型預(yù)測(cè)效果都較好。通過(guò)融合模型選擇的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：預(yù)測(cè)5 根錨桿的較好模型幾乎都有改進(jìn)指-冪模型和三系多項(xiàng)式模型。故使用改進(jìn)指-冪模型和三次多項(xiàng)式模型來(lái)預(yù)測(cè)錨桿極限承載力破壞值是可行的。

建立預(yù)測(cè)模型，由于實(shí)測(cè)錨桿拉拔數(shù)據(jù)有限，并且不能明顯區(qū)分開(kāi)彈性和彈塑性階段數(shù)據(jù)，使用單一模型進(jìn)行預(yù)測(cè)有可能產(chǎn)生較大誤差；在實(shí)際工程中，錨桿P-S 曲線(xiàn)多種多樣，使用單一預(yù)測(cè)模型不能都準(zhǔn)確預(yù)測(cè)出各類(lèi)錨桿極限承載力破壞值。而使用D-S 證據(jù)理論融合算法可以選出最優(yōu)預(yù)測(cè)模型，也可以建立組合預(yù)測(cè)模型，其預(yù)測(cè)結(jié)果精度都很高，且適用范圍都更廣。

對(duì)表5 進(jìn)行分析，結(jié)果如下：

（1）就原有D-S 證據(jù)理論融合算法本身而言，直接使用融合模型選擇環(huán)節(jié)中的最優(yōu)模型的預(yù)測(cè)平均值作為最終預(yù)測(cè)值，與數(shù)據(jù)融合預(yù)測(cè)結(jié)果相比，總體上后者預(yù)測(cè)精度更高一些。

（2）除錨桿C 以外，D-S 證據(jù)理論預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)精度高于直接求取算術(shù)平均值的組合方式，這是由于D-S 證據(jù)理論預(yù)測(cè)方法能選擇出較高精度預(yù)測(cè)模型和較好數(shù)據(jù)范圍。

（3）對(duì)于錨桿C，由于預(yù)測(cè)錨桿C 的較高精度預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)值都偏小，嚴(yán)格按照D-S 證據(jù)理論預(yù)測(cè)方法的步驟，預(yù)測(cè)結(jié)果為697.68 kN，誤差為-2.327，但引入預(yù)測(cè)精度很差的調(diào)整雙曲線(xiàn)模型和較差的GM(1，1)模型后，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)融合預(yù)測(cè)這一環(huán)節(jié)后，預(yù)測(cè)精度得到了很大提高，預(yù)測(cè)結(jié)果為705.70 kN，誤差僅為-1.204，高于直接求取算術(shù)平均值的組合方式，故在實(shí)際使用中，當(dāng)出現(xiàn)類(lèi)似錨桿C 這種情況，可以酌情加入一個(gè)或多個(gè)預(yù)測(cè)精度較差的模型。

（4）對(duì)于錨桿D 和E，D-S 證據(jù)理論預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)精度明顯高于直接求取算術(shù)平均值的組合方式，錨桿D 的預(yù)測(cè)精度較高，但錨桿E 的預(yù)測(cè)精度相對(duì)差一點(diǎn)，這是由于使用高斯模糊數(shù)進(jìn)行可信度分配時(shí)，選擇平均值454.36 kN 作為參數(shù)a 的值，此值與真實(shí)值偏差過(guò)大造成的。若以真實(shí)值作為參數(shù)a 的值，對(duì)錨桿E 進(jìn)行預(yù)測(cè)，參與融合的模型變?yōu)橹笖?shù)模型、改進(jìn)指數(shù)模型、改進(jìn)指-冪模型、三次多項(xiàng)式模型和 GM(1,1)模型，最終預(yù)測(cè)結(jié)果為407.19 kN，誤差僅為0.476%。

將表5 和表8 進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果如下：

（1）直接使用融合模型選擇環(huán)節(jié)中的最優(yōu)模型的預(yù)測(cè)平均值作為最終預(yù)測(cè)值，預(yù)測(cè)方法修正前后的預(yù)測(cè)結(jié)果僅錨桿E 發(fā)生變化，修正后的預(yù)測(cè)結(jié)果誤差變得更小。

（2）對(duì)預(yù)測(cè)方法修正前后的數(shù)據(jù)融合預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較，除錨桿A 以外，其余錨桿使用修正后預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)精度更高。雖然錨桿A 修正后的預(yù)測(cè)結(jié)果誤差變大，但總體上看，修正后預(yù)測(cè)方法好于修正前，預(yù)測(cè)效果更好。

（3）在表8 中，最優(yōu)預(yù)測(cè)模型和數(shù)據(jù)融合預(yù)測(cè)結(jié)果差別不大，預(yù)測(cè)精度都很高。這也就證實(shí)了使用D-S 證據(jù)理論融合算法來(lái)選取最優(yōu)預(yù)測(cè)模型和產(chǎn)生組合預(yù)測(cè)模型（數(shù)據(jù)融合預(yù)測(cè)）的可行性。數(shù)據(jù)融合預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)值相比略微偏小一點(diǎn)，因此，在實(shí)際工程中預(yù)測(cè)結(jié)果更為可靠一些。

（4）最優(yōu)預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)和數(shù)據(jù)融合預(yù)測(cè)都是在算術(shù)平均值預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)上，使用D-S 證據(jù)理論融合算法來(lái)達(dá)到較高精度預(yù)測(cè)錨桿極限承載力破壞值的目的，故它們的計(jì)算效率均低于算術(shù)平均值預(yù)測(cè)方法，但與通過(guò)對(duì)錨桿進(jìn)行破壞性拉拔試驗(yàn)以獲得錨桿極限承載力破壞值的時(shí)間相比，顯得微乎其微，并且使用它們能夠減小對(duì)錨桿的破壞程度和試驗(yàn)危險(xiǎn)程度，縮短拉拔試驗(yàn)時(shí)間和降低資金投入。

7 結(jié) 論

（1）使用改進(jìn)指-冪混和函數(shù)模型和三次多項(xiàng)式模型來(lái)預(yù)測(cè)錨桿極限承載力值是可行的，預(yù)測(cè)效果都較好。

（2）D-S 證據(jù)理論預(yù)測(cè)方法具有選擇較高精度預(yù)測(cè)模型和最好數(shù)據(jù)范圍的功能，通過(guò)融合模型選擇選出較高精度預(yù)測(cè)模型，作為較優(yōu)融合模型組合，參與數(shù)據(jù)融合預(yù)測(cè)，選出最好數(shù)據(jù)范圍，對(duì)最好數(shù)據(jù)范圍內(nèi)的較高精度預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)值求取平均值，作為最終預(yù)測(cè)值。此方法預(yù)測(cè)精度較高，比直接使用求取算術(shù)平均值的方法預(yù)測(cè)效果要好，具有很高的研究?jī)r(jià)值。

（3）在原有D-S 證據(jù)理論預(yù)測(cè)方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行修正，修正后預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)效果更好，預(yù)測(cè)精度更高。

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