胡婧怡,常曉恒

(渤海大學(xué) a.數(shù)理學(xué)院; b.工學(xué)院，遼寧 錦州 121003)

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輸出信號量化測量下不確定離散系統(tǒng)非脆弱H∞濾波器設(shè)計

胡婧怡a,常曉恒b

(渤海大學(xué) a.數(shù)理學(xué)院; b.工學(xué)院，遼寧 錦州 121003)

研究了輸出信號量化測量下不確定離散系統(tǒng)非脆弱H∞濾波器的設(shè)計問題。難點在于濾波器設(shè)計過程存在3種不確定性，即系統(tǒng)本身存在的不確定性、非脆弱濾波器設(shè)計時涉及到的不確定性和由于輸出信號量化測量近似表示的不確定性。通過有效的矩陣變換技術(shù),給出基于線性矩陣不等(LMIs)的非脆弱H∞濾波器存在的充分條件。最后，通過數(shù)值仿真來驗證設(shè)計方案的有效性。

不確定離散系統(tǒng)；H∞非脆弱濾波器；輸出量化測量；線性矩陣不等式(LMIs)

伴隨著控制系統(tǒng)的數(shù)字化和網(wǎng)絡(luò)化，反饋控制系統(tǒng)中存在的量化現(xiàn)象引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注[1-9]。這是因為在傳統(tǒng)的設(shè)計中， 并沒有考慮量化對系統(tǒng)的影響,往往會導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降乃至破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。有關(guān)于量化問題的研究，最早見于卡爾曼于1956發(fā)表的文章[1]，指出了量化發(fā)生時，在沒有考慮量化效果的前提下所設(shè)計的控制器可能導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)極限環(huán)和混沌現(xiàn)象。之后為了更好地理解和設(shè)計存在量化反饋的系統(tǒng),許多學(xué)者展開了對量化問題的研究，并得到了許多重要的成果[2-8]。

另一方面，非脆弱控制和濾波問題已經(jīng)成為了應(yīng)用和理論界研究的一個重要問題。非脆弱問題即如何設(shè)計控制器或濾波器，使其在參數(shù)攝動的情況下仍然能夠保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性及預(yù)期性能。關(guān)于非脆弱問題的研究可查看文獻[10-14]。

本文考慮了存在輸出量化測量下不確定離散系統(tǒng)的非脆弱狀態(tài)估計問題。主要基于Lyapunov函數(shù)法引入松弛矩陣實現(xiàn)了系統(tǒng)矩陣與Lyapunov矩陣的分離，從而基于H∞濾波理論給出可行的非脆弱濾波器算法，使其消除量化誤差的影響實現(xiàn)漸進穩(wěn)定，并滿足給定的H∞性能指標。最后通過仿真實例驗證其有效性。

1 問題描述

考慮如下離散系統(tǒng):

(1)

考慮如下形式的非脆弱濾波器:

(2)

(3)

其中：

至此，針對上述存在輸出量化測量現(xiàn)象的不確定離散系統(tǒng)，設(shè)計濾波器(2)使系統(tǒng)在消除量化誤差影響的同時，滿足：

1) 當(dāng)w(k)=0時，濾波誤差系統(tǒng)(3)穩(wěn)定；

下面的引理在后續(xù)研究中起關(guān)鍵作用。

引理1[18]給定矩陣Γ,Λ和對稱矩陣Ω,對于FTF≤I，不等式Ω+ΓFΛ+ΛTFTΓT<0成立，只要存在一個恒定的標量ε>0，則滿足Ω+ε-1ΓΓT+εΛTΛ<0。

2 系統(tǒng)H∞濾波器的分析與設(shè)計

引理2 濾波誤差系統(tǒng)(3)在滿足給定的H∞指標γ的前提下穩(wěn)定，存在矩陣G,N,S和正定對稱矩陣P滿足下面的矩陣不等式:

(4)

其中：

證明 構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)：

(5)

其關(guān)于濾波誤差系統(tǒng)(3)的差分為：

(6)

其中：

注1 當(dāng)w(k)=0時，容易證明如果不等式(4)成立，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。另一方面,值得注意的是,在推導(dǎo)結(jié)論的過程中，引入的松弛變量G,N和S會有利于得到保守性低的結(jié)論。為了便于分析，引理2沒有對量化誤差進行處理。接下來，將給出充分的設(shè)計條件來消除量化誤差的影響。

定理1 對于已給出的不確定系統(tǒng)(1)和濾波器(2)，濾波誤差系統(tǒng)(3)在滿足H∞范數(shù)指標γ的情況下達到一致穩(wěn)定的條件是:存在G,N和S及正定對稱矩陣P，以及標量ε>0,β>0,ν>0，滿足下面的矩陣不等式:

(7)

其中：

證明 假設(shè)滿足引理2的條件，這里考慮濾波誤差系統(tǒng)(3)中存在的量化誤差及非脆弱問題，可以描述為

這里把其定義代入不等式(4)中，可以重新寫為如下形式:

(8)

然后，根據(jù)引理1，容易得到：存在ε>0,β>0,ν>0使得不等式(7)成立。本文省略了詳細的過程。證明完畢。

定理2 對于不確定離散系統(tǒng)(1)，給定量化密度ρ>0，存在濾波器(2)能消除量化誤差，并且能保證濾波誤差系統(tǒng)(3)在滿足給定H∞裕度γ條件下穩(wěn)定的條件是：存在矩陣P1,P2,P3,G1,G3,N1,S1,S3,A,B,C,D,和非奇異矩陣G2，及標量λ1,λ2,λ3,λ4和ε,β,ν>0滿足下面的線性矩陣不等式:

(9)

(10)

其中:

因此，可以得到一個滿足給定H∞性能指標γ>0的合適濾波器：

證明 基于定理1，若不等式(7)成立，便可以設(shè)計濾波器。假設(shè)不等式中涉及的矩陣變量具有下面的形式：

這里定義：

A=G2AF,B=G2BF,C=CF,D=DF

結(jié)合前面提到的相關(guān)矩陣，把這些矩陣代入不等式(7)中，那么定理2可以很容易地被推導(dǎo)出來。證明完畢。

注2 通過對定理1的相關(guān)矩陣做上述結(jié)構(gòu)上的定義，可以使得在定理1的不等式中出現(xiàn)的耦合項很好地分開。另一方面，為了降低對矩陣變量結(jié)構(gòu)上的定義帶來的保守性，本文引入了補償參變量λl,l=1,2,3,4來獲得解空間中額外的自由度。這些變量可以利用Chang[17]中提到的方法得到。

注3 在實際的應(yīng)用中，量化誤差的上限δ可以根據(jù)給定的量化密度ρ計算得到。因此，定理2中的不等式組(9)～(10)實際上是嚴格的線性矩陣不等式(LMIs)，故可以通過Matlab的控制工具箱來求解，進而設(shè)計濾波器。

3 仿真算例

本節(jié)通過實例驗證方法的有效性?？紤]式(1)中所描述的下不確定離散系統(tǒng)，其中:

接下來，利用前面的定理來設(shè)計非脆弱H∞濾波器。

DF=0.127 1

4 結(jié)束語

本文研究了存在輸出量化測量下不確定離散系統(tǒng)的非脆弱狀態(tài)估計問題。主要利用有效的矩陣變換技術(shù)。并引入松弛變量實現(xiàn)了系統(tǒng)矩陣與Lyapunov矩陣的分離,給出可行的非脆弱濾波器算法，使系統(tǒng)在消除不確定性影響及量化誤差影響的同時漸進穩(wěn)定并滿足給定的非脆弱H∞性能指標。最后通過仿真實例驗證了其有效性。

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(責(zé)任編輯 楊黎麗)

Non-FragileH∞Filter Design for Uncertain Discrete-Time System with Quantized Measurements

HU Jing-yia, CHANG Xiao-hengb

(a.College of Mathematics and Physics；b.College of Engineering,Bohai University, Jinzhou 121013, China)

This paper researched the problem of non-fragileH∞filter design for uncertain discrete-time system with output quantization. Three types of uncertain were considered in the process of filter design, which were the uncertain in system, the uncertain in non-fragile filter and the quantization error uncertain. By effective matrix transformation techniques, a sufficient condition was presented in terms of linear matrix inequalities (LMIs) for such non-fragile filter exists. Finally, a numerical example was provided to demonstrate the effectiveness of the proposed approach.

uncertain discrete-time; non-fragileH∞filter; quantized measurements；linear matrix inequalities(LMIs)

2014-11-15 基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(61104071)；遼寧省高等學(xué)校杰出青年成長計劃項目(LJQ2012095)；遼寧省裝備制造綜合自動化重點實驗室開放項目(1120211415)

胡婧怡(1990—),女,天津人,碩士研究生,主要從事量化問題及非脆弱問題研究。

胡婧怡,常曉恒.輸出信號量化測量下不確定離散系統(tǒng)非脆弱H∞濾波器設(shè)計[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2015(3):100-104.

format：HU Jing-yi, CHANG Xiao-heng.Non-FragileH∞Filter Design for Uncertain Discrete-Time System with Quantized Measurements[J].Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science,2015(3):100-104.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2015.03.019

TP273

A

1674-8425(2015)03-0100-05