李成波

(安陽(yáng)工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，河南 安陽(yáng) 455000)

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低應(yīng)力水平下時(shí)間效應(yīng)對(duì)巖石蠕變模型參數(shù)的影響

李成波

(安陽(yáng)工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，河南 安陽(yáng) 455000)

[摘要]在巖石蠕變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，通過(guò)擬合分析，得到了蠕變模型的相關(guān)參數(shù)。通過(guò)對(duì)比理論計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：不考慮參數(shù)受時(shí)間尺度的影響將引起較大的誤差，對(duì)于蠕變模型來(lái)說(shuō)，其參數(shù)不是常數(shù)，而是隨時(shí)間變化的量，時(shí)間尺度對(duì)模型參數(shù)影響較為明顯；如考慮參數(shù)的時(shí)間相關(guān)性，建立非定常參數(shù)的蠕變模型方程，將比定常蠕變模型更能準(zhǔn)確地反映巖石的蠕變變形特征。

[關(guān)鍵詞]蠕變實(shí)驗(yàn)； 蠕變模型；標(biāo)準(zhǔn)線性體；伯格斯；時(shí)間效應(yīng)

1引言

為了預(yù)測(cè)巖石在應(yīng)力長(zhǎng)期作用下的變形規(guī)律，往往需要進(jìn)行一系列蠕變實(shí)驗(yàn)，確定巖石的蠕變模型。一條完整的蠕變曲線通常分為：瞬態(tài)蠕變、穩(wěn)態(tài)蠕變和加速蠕變等三個(gè)階段[1]。在實(shí)驗(yàn)室中，對(duì)于低強(qiáng)度的巖石樣品，穩(wěn)態(tài)蠕變可以在中等應(yīng)力水平下很快出現(xiàn)，而第三期蠕變很難出現(xiàn)，只有在高應(yīng)力水平(大于80%時(shí))下才有可能能夠出現(xiàn)。所以在這里主要是針對(duì)前兩階段蠕變的研究，即低應(yīng)力水平下的蠕變現(xiàn)象。

本文在蠕變實(shí)驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上，主要針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)線性體模型和伯格斯模型之間的討論比較，以及蠕變模型參數(shù)隨時(shí)間效應(yīng)的變化關(guān)系。通常的擬合計(jì)算中，所采用的蠕變模型參數(shù)大多認(rèn)為是與時(shí)間無(wú)關(guān)的，稱(chēng)為定常參數(shù)模型。而實(shí)驗(yàn)表明，如果忽略時(shí)間效應(yīng)的影響，兩種模型都能很好地?cái)M合數(shù)據(jù)。如果把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分成不同的時(shí)間階段，發(fā)現(xiàn)這些模型的參數(shù)都是與時(shí)間相關(guān)的，直接用這些固定參數(shù)來(lái)“預(yù)測(cè)”將來(lái)的蠕變趨勢(shì)和蠕變值將存在較大偏差。而事實(shí)上，巖石在水和風(fēng)化等因素作用下，其某些力學(xué)參數(shù)隨時(shí)間的變化是明顯的，比如巖體彈性模量和強(qiáng)度等參數(shù)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而降低[2]等。

2蠕變實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)用的樣品為采自郯廬斷裂帶附近的花崗巖、大理巖和砂巖3類(lèi)巖石，加工成50×50×50 mm3大小。實(shí)驗(yàn)裝置為全自動(dòng)伺服液壓試驗(yàn)機(jī)(YAW4605)系統(tǒng)，加有水冷設(shè)施，可保證壓機(jī)系統(tǒng)連續(xù)穩(wěn)定工作兩個(gè)月。在樣品表面對(duì)稱(chēng)貼有兩組電阻應(yīng)變片，與數(shù)字式應(yīng)變儀(WS-3811)聯(lián)接，采樣頻率為1Hz。用鋼塊對(duì)實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行了的穩(wěn)定性測(cè)試，應(yīng)力和應(yīng)變測(cè)量值是二條基本平行的直線，分別有±0.2MPa和±3微應(yīng)變的波動(dòng)。每次實(shí)驗(yàn)開(kāi)始時(shí)，首先對(duì)樣品迅速加壓，讓?xiě)?yīng)力在幾分鐘內(nèi)到達(dá)設(shè)定值，然后保持，應(yīng)力可看成是階躍函數(shù)。分別對(duì)不同類(lèi)巖石在35、50和70MPa的應(yīng)力下進(jìn)行了蠕變實(shí)驗(yàn)，整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，基本保持室溫在±1℃的波動(dòng)范圍。圖1中的實(shí)線為砂巖的蠕變實(shí)驗(yàn)曲線，該實(shí)驗(yàn)持續(xù)時(shí)間為20天。應(yīng)變隨應(yīng)力達(dá)到設(shè)定值后上升到4830微應(yīng)變，這一部分為彈性階段。接下來(lái)讓?xiě)?yīng)力保持不變，而應(yīng)變隨時(shí)間繼續(xù)緩慢增加，但其應(yīng)變?cè)鲩L(zhǎng)速率卻在不斷地減小。為了能夠更好地突出蠕變變形部分，圖中已經(jīng)把彈性階段的變形部分截去。圖1僅為砂巖的蠕變曲線，其它種類(lèi)巖石(大理巖、花崗巖)在不同應(yīng)力下的蠕變曲線大致相近，限于篇幅沒(méi)有一一列出。

Fig. 1The creep experiment curves of sandstone at 35MPa

3蠕變模型的比較與分析

在這里，僅將常用的標(biāo)準(zhǔn)線性體和伯格斯(Burgers)模型進(jìn)行對(duì)比。

3.1　標(biāo)準(zhǔn)線性體模型

如圖2(a)所示為標(biāo)準(zhǔn)線性固體模型，圖中E1代表彈性元件的彈性系數(shù)，產(chǎn)生瞬時(shí)彈性應(yīng)變。E2和η分別代表并聯(lián)彈性元件的彈性系數(shù)和粘性元件(阻尼盤(pán))的粘性系數(shù)，產(chǎn)生隨時(shí)間變化的蠕變變形，該模型的本構(gòu)方程[3]為：

(1)

式中ε為軸向應(yīng)變，σ0為軸向應(yīng)力，τ=η/E2為弛豫時(shí)間，t為實(shí)驗(yàn)持續(xù)時(shí)間，漸近模量Ef=E1·E2/(E1+E2)。從圖1中可看出式(1)能夠很好地模擬巖石在恒定應(yīng)力作用下的蠕變特性，實(shí)測(cè)曲線和反演曲線的相關(guān)系數(shù)可達(dá)到0.99。式(1)也可以寫(xiě)成如下形式：

ε(t)=εf-εcexp(-t/τ)

(2)

式中，εf為漸進(jìn)應(yīng)變，εc為整個(gè)蠕變量。

當(dāng)t=0 時(shí)，有初始的彈性應(yīng)變?chǔ)?和模型的初始模量E0，由彈性模量E1決定，且E0=E1。當(dāng)t趨于無(wú)窮時(shí)有漸近應(yīng)變?chǔ)舊和蠕變量εc=εf-ε0，模型的漸近模量Ef=(E1·E2)/(E1+E2)，且可推導(dǎo)得出E1/E2=εc/ε0，定義模量比值為：C=E2/E1。

Fig. 2 (a)standard linear model and (b) Burgers model

3.2　伯格斯模型(Burgers)

Burgers模型是Kelvin模型和Maxwell模型的串聯(lián)體，如圖2(b)所示。模型的四個(gè)參數(shù)： GK和GM，ηK和ηM分別為Kelvin和Maxwell模型的彈性模量和粘滯系數(shù)。蠕變方程為[4]：

(3)

式中ε為軸向應(yīng)變，t為時(shí)間，K為體積模量，σ0為恒定應(yīng)力。

由于在軸向應(yīng)力條件下，σ2=σ3=0，所以偏向應(yīng)力σ1,dev=2σ1/3，偏向應(yīng)變?chǔ)?,dev=ε1-εm，這里的εm為平均應(yīng)變值。假設(shè)泊松比=0.25，有σm=3Kεm，ε1=σ1,devG /2+σmK /3，σm為平均應(yīng)力值。

標(biāo)準(zhǔn)線性體模型主要是描述暫態(tài)蠕變的。標(biāo)準(zhǔn)線性體表現(xiàn)為固體，其中的阻尼器單元是固體的滯彈性，該阻尼器單元與并聯(lián)彈簧單元一起，表征了弛豫時(shí)間的長(zhǎng)短。而伯格斯模型包含了穩(wěn)態(tài)蠕變階段，能夠求出穩(wěn)態(tài)變形時(shí)的粘滯系數(shù)。如果實(shí)驗(yàn)時(shí)間不是太長(zhǎng)，有可能只觀測(cè)到暫態(tài)蠕變部分；如果實(shí)驗(yàn)時(shí)間足夠長(zhǎng)，往往也能夠觀測(cè)到穩(wěn)態(tài)蠕變部分，所以選擇這兩個(gè)代表性的蠕變模型作為理論依據(jù)。

4非定常蠕變模型

4.1　時(shí)間尺度對(duì)模型參數(shù)的影響

為了進(jìn)一步尋找蠕變模型參數(shù)受時(shí)間尺度的影響規(guī)律，做如下分析。對(duì)實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行了分段處理，即假定實(shí)驗(yàn)分別在5天、10天、15天和20天的時(shí)間結(jié)束。假定蠕變實(shí)驗(yàn)在5天時(shí)結(jié)束，所得模型的參數(shù)分別代入蠕變方程(1)和(3)，然后再將時(shí)間外延到20天，就得到每個(gè)模型對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)應(yīng)變曲線，如圖1虛線所示。圖1箭頭所示的右半部分， 是模型在5天～20天預(yù)測(cè)曲線，與實(shí)驗(yàn)曲線比較有明顯的偏離。伯格斯模型預(yù)測(cè)值偏大，而標(biāo)準(zhǔn)線性體模型預(yù)測(cè)值偏低。分段的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)都用兩種模型來(lái)反演，所得的各參數(shù)值見(jiàn)表1。表1中所有參數(shù)計(jì)算的理論值與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)都在0.99以上，說(shuō)明無(wú)論實(shí)驗(yàn)時(shí)間多長(zhǎng)，這兩個(gè)模型都可以很好地?cái)M合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，但對(duì)后面的“預(yù)測(cè)”這一標(biāo)準(zhǔn)而言，模型都不是合適的模型，即模型的預(yù)測(cè)曲線，與實(shí)測(cè)曲線都有明顯偏離。如果假定實(shí)驗(yàn)在10天時(shí)結(jié)束，也得到相似的結(jié)果。

表1　對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分段反演蠕變模型所得的參數(shù)(應(yīng)力水平為0.21)

為了更進(jìn)一步了解時(shí)間尺度對(duì)蠕變模型的影響，選用更為大的時(shí)間尺度進(jìn)行分析。引用文獻(xiàn)[5]中的數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)所測(cè)試樣為邊長(zhǎng)5cm的立方體，巖性為具有一定膠結(jié)的斷層巖(大理巖區(qū))，巖石強(qiáng)度為2MPa，結(jié)構(gòu)比較均勻，實(shí)驗(yàn)在軸向應(yīng)力條件下持續(xù)了近80天，應(yīng)力水平為0.14，也進(jìn)行了類(lèi)似的反演計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分幾個(gè)不同時(shí)間尺度來(lái)反演并繪出理論曲線，再和實(shí)測(cè)曲線作比較，目的是為了說(shuō)明各個(gè)模型在不同時(shí)間尺度上和實(shí)際情況的吻合程度。每個(gè)模型都可用于巖石蠕變數(shù)據(jù)的模擬，擬合用到數(shù)據(jù)的時(shí)間范圍越長(zhǎng)模擬的結(jié)果越和實(shí)際相吻合，參數(shù)也接近實(shí)際情況。從表1和表2可以看出，在兩個(gè)模型中，除彈性元件參數(shù)E1、K和GM外，其他參數(shù)都隨實(shí)驗(yàn)時(shí)間變化而變化，三個(gè)模型的參數(shù)都是和時(shí)間相關(guān)的。不管應(yīng)力水平為多少，或者實(shí)驗(yàn)持續(xù)時(shí)間的長(zhǎng)短，同樣存在著模型參數(shù)隨時(shí)間有規(guī)律地變化，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)線性體來(lái)說(shuō)，模型的參數(shù)呈現(xiàn)明顯的規(guī)律，馳豫時(shí)間越來(lái)越長(zhǎng)，C值越來(lái)越小。

4.2　非定常蠕變模型

由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以擬合計(jì)算出全部模型參數(shù)，如彈性模量E1和E2，漸近模量Ef和漸近應(yīng)變?chǔ)舊，最大蠕變量εc等，所得參數(shù)都是固定的。而從表1和表2的結(jié)果可見(jiàn)，不同時(shí)間尺度的實(shí)驗(yàn)計(jì)算出的參數(shù)不盡相同，并且它們都是和時(shí)間相關(guān)的。如在標(biāo)準(zhǔn)線性體模型的計(jì)算中，時(shí)間越長(zhǎng)，則弛豫時(shí)間也變長(zhǎng)，漸近應(yīng)變?chǔ)舊不斷增加，相應(yīng)的蠕變量εc也逐漸變大，但彈性模量E2卻變小，稱(chēng)為模量虧損。針對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合計(jì)算具有模型和參數(shù)的不唯一性特點(diǎn)。

為了取得較好的計(jì)算模擬效果，提出了變參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)線性體模型，即非定常蠕變模型。假設(shè)模量比和粘滯系數(shù)都是隨時(shí)間變化的，可表示為C(t)=E2/E1和η(t)，根據(jù)不同實(shí)驗(yàn)時(shí)間分段計(jì)算，得其規(guī)律性：C(t)=6.389+13.57×exp(-t/528219)和η(t)=4.289+1.205×10-6t (1016Pa·s)，代入式(1)中，修正前后的理論曲線見(jiàn)圖3和圖4。圖中Ⅰ區(qū)為用于反演計(jì)算的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)段，Ⅱ區(qū)為用于將理論預(yù)測(cè)曲線和實(shí)測(cè)曲線比較的數(shù)據(jù)段?？梢钥闯鲂拚蟮臉?biāo)準(zhǔn)線性體模型比原來(lái)未修正之前的預(yù)測(cè)能力有了很大提高。對(duì)于80天的斷層巖實(shí)驗(yàn)，也能用相同的方法進(jìn)行處理提高標(biāo)準(zhǔn)線性體的預(yù)測(cè)能力，圖4所示，它在第Ⅰ和第Ⅱ階段與實(shí)驗(yàn)曲線符合較好，滿足模型判斷標(biāo)準(zhǔn)。

5結(jié)論

各種巖石的蠕變特征，主要由巖石蠕變曲線來(lái)體現(xiàn)。對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分不同時(shí)間尺度來(lái)反演并繪出理論曲線，再和實(shí)測(cè)曲線作比較，目的是為了說(shuō)明各個(gè)模型在不同時(shí)間尺度上和實(shí)際情況的吻合程度。結(jié)果表明，兩種模型都可用于巖石蠕變數(shù)據(jù)的模擬，擬合用到數(shù)據(jù)的時(shí)間范圍越長(zhǎng)模擬的結(jié)果越和實(shí)際相吻合，參數(shù)也接近實(shí)際情況。但把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分成不同的階段時(shí)，蠕變模型的參數(shù)都在隨時(shí)間變化。不考慮參數(shù)的時(shí)間相關(guān)性，其計(jì)算值與實(shí)測(cè)值相差較大，尤其是應(yīng)力水平較大時(shí)，這種誤差更大。

由于實(shí)驗(yàn)室中的蠕變實(shí)驗(yàn)的持續(xù)時(shí)間遠(yuǎn)比實(shí)際環(huán)境下巖體的蠕變時(shí)間尺度小很多，直接從實(shí)驗(yàn)結(jié)果外推的話勢(shì)必將導(dǎo)致一系列偏差。如果在蠕變模型中引入非定常參數(shù)，可以減小理論計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的差異，吻合較好。這種將巖石蠕變力學(xué)參數(shù)看作是非定常的，將會(huì)更加直接而客觀地反映巖石的非線性黏性時(shí)效特征。采用非定常的非線性蠕變模型代替?zhèn)鹘y(tǒng)上定常的線性蠕變模型將能以更加準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)巖石的時(shí)效非線性變形特征，它將是下一步深化研究的一個(gè)努力方向[6]。這種變化一直持續(xù)到更大時(shí)間尺度上，如地震后的形變和冰后期的地面回升。如果時(shí)間效應(yīng)機(jī)制能夠明確或是有規(guī)律變化被發(fā)現(xiàn)，對(duì)蠕變速率和軟流層粘滯系數(shù)的估計(jì)將會(huì)很大程度的提高。目前，從可用的數(shù)據(jù)來(lái)總結(jié)，這一機(jī)制還沒(méi)有很清楚的認(rèn)識(shí)，還有待進(jìn)一步研究。

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[責(zé)任編輯：D]

[中圖分類(lèi)號(hào)]TU 45

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1671-5330(2015)02-0010-04

[作者簡(jiǎn)介]李成波(1980—)，男，安陽(yáng)人，講師，博士，主要從事巖石物理實(shí)驗(yàn)方面的研究。

[收稿日期]2015-02-20