鄒文俊

門(mén)限CARR模型的實(shí)證研究
——以上證市場(chǎng)為例

鄒文俊

(天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072)

金融數(shù)據(jù)的波動(dòng)往往存在著非線(xiàn)性的特征，為了更好地刻畫(huà)上證市場(chǎng)股價(jià)指數(shù)的波動(dòng)特征，將門(mén)限模型與CARR模型相結(jié)合，構(gòu)建了門(mén)限CARR模型。首先借鑒門(mén)限自回歸條件持續(xù)期模型(TACD)的建模方法，構(gòu)建門(mén)限CARR模型；其次選取2002年1月4日至2012年2月15日的上證綜合股價(jià)指數(shù)的日數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，通過(guò)非線(xiàn)性檢驗(yàn)和門(mén)限值識(shí)別的方法找到樣本序列的門(mén)限值；最后建立了擬合上證股票市場(chǎng)波動(dòng)的非線(xiàn)性特征的門(mén)限CARR模型，得到上證股票市場(chǎng)在高、低波動(dòng)下的不同波動(dòng)特征。

非線(xiàn)性；門(mén)限模型；CARR模型；波動(dòng)

針對(duì)金融數(shù)據(jù)的非線(xiàn)性特征的研究是金融時(shí)間序列分析中的重要研究領(lǐng)域，對(duì)于非線(xiàn)性時(shí)間序列模型的研究也逐漸成為學(xué)術(shù)研究的熱點(diǎn)。常見(jiàn)的非線(xiàn)性模型有非線(xiàn)性自回歸模型(NLAR)、廣義自回歸模型(GAR)、雙線(xiàn)性模型(BL)、門(mén)限自回歸模型(TAR)、雙門(mén)限模型、平滑轉(zhuǎn)移模型(STAR)、向量平滑轉(zhuǎn)移模型(STVAR模型)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(ANN)、馬爾科夫體制轉(zhuǎn)換模型等。

在以上幾種常見(jiàn)的非線(xiàn)性模型中被廣泛使用的主要有兩種類(lèi)型，一類(lèi)是門(mén)限模型；另一類(lèi)是馬爾科夫機(jī)制轉(zhuǎn)換模型。Hamilton(1989)[1]提出了馬爾科夫機(jī)制轉(zhuǎn)換模型(Markov regime switching model)，此后馬爾科夫機(jī)制轉(zhuǎn)換模型在時(shí)間序列分析上被廣泛應(yīng)用。馬爾科夫機(jī)制轉(zhuǎn)換模型只能推斷出變量在各機(jī)制之間的轉(zhuǎn)換概率，而無(wú)法描繪出機(jī)制轉(zhuǎn)換的非線(xiàn)性形式。門(mén)限模型(Threshold models)由Tong(1978)[2]提出，與馬爾科夫機(jī)制轉(zhuǎn)換模型相比，門(mén)限模型以變量本身作為結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，利用類(lèi)似分段建模的形式采用門(mén)限空間來(lái)改進(jìn)線(xiàn)性逼近，能夠更加清晰地描述時(shí)間序列的機(jī)制轉(zhuǎn)換運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

而對(duì)于時(shí)間序列波動(dòng)性的刻畫(huà)，Chou(2005)[3]提出了CARR(Conditional Auto-Regressive Range)模型，即自回歸條件極差模型，將極差與GARCH模型的思想結(jié)合起來(lái)，有效刻畫(huà)極差的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)。使得極差在波動(dòng)性的預(yù)測(cè)上，比已被廣泛接受的GARCH模型更具有優(yōu)勢(shì)。丁忠民等(2005)[4]以上海股市作為研究對(duì)象，分別運(yùn)用CARR模型和GARCH模型進(jìn)行波動(dòng)性預(yù)測(cè)，進(jìn)而對(duì)兩種方法的預(yù)測(cè)能力進(jìn)行比較，實(shí)證結(jié)果表明CARR模型在擬合波動(dòng)性方面優(yōu)于GARCH模型。程細(xì)玉等(2009)[5]以2006年美元對(duì)港幣5分鐘匯率比價(jià)和日元對(duì)美元15分鐘匯率比價(jià)的極差和收益率作為樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，研究結(jié)果表明CARR模型及其衍生模型在高頻金融時(shí)間序列的價(jià)格波動(dòng)性捕捉方面表現(xiàn)突出。

然而，傳統(tǒng)CARR模型和GARCH模型無(wú)法很好地?cái)M合存在變結(jié)構(gòu)現(xiàn)象的非線(xiàn)性金融時(shí)間序列。對(duì)于存在不同波動(dòng)體制的波動(dòng)序列還需要引進(jìn)門(mén)限模型的思想。本文將門(mén)限模型與CARR模型相結(jié)合建模，構(gòu)建門(mén)限CARR模型，選取2002年1月4日至2012年2月15日的上證綜合股價(jià)指數(shù)的日數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，分別為上證市場(chǎng)股價(jià)指數(shù)的高波動(dòng)和低波動(dòng)建模，刻畫(huà)上證市場(chǎng)在不同波動(dòng)體制下的波動(dòng)特征。

1 門(mén)限CARR模型的構(gòu)建

1.1 CARR模型簡(jiǎn)介

傳統(tǒng)的GARCH模型能夠很好地解決金融時(shí)間序列中出現(xiàn)的異方差問(wèn)題，對(duì)于金融資產(chǎn)的波動(dòng)持續(xù)性、聚集性和非對(duì)稱(chēng)性能夠較好地描述， 所以GARCH模型方法在經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域被廣泛接受。在此基礎(chǔ)上，Chou(2005)[3]提出了CARR(Conditional Auto-Regressive Range)模型，將極差與GARCH模型的思想結(jié)合起來(lái)，有效刻畫(huà)極差的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)，使得極差在波動(dòng)性的預(yù)測(cè)上，比已被廣泛接受的GARCH模型更具有優(yōu)勢(shì)。GARCH模型通過(guò)收益率數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)波動(dòng)性，CARR模型則是通過(guò)極差數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)波動(dòng)率，相對(duì)于收益率所包含的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)信息不足的弱點(diǎn)，極差在反映資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)方面占有優(yōu)勢(shì)。極差利用了單位交易區(qū)間中資產(chǎn)的最高價(jià)和最低價(jià)兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的信息，更能反映單位交易區(qū)間內(nèi)的波動(dòng)情況。

就模型的形式及性質(zhì)而言，CARR模型類(lèi)似于GARCH模型，同時(shí)也類(lèi)似于Engle等(1998)[6]所提出的ACD(Autoregressive Conditional Duration)模型。CARR(p,q)模型如下式所示：

Rt=λtεt

(1)

(2)

εt～iidf(·)

(3)

(4)

式中：Rt表示第t期股票價(jià)格Vt取自然對(duì)數(shù)后的極差；λt表示在t期之前的所有信息集合It-1已知的情況下，對(duì)第t期極差Rt進(jìn)行預(yù)測(cè)的條件期望，λt=E(Rt/It-1),λt≥0；干擾項(xiàng)εt是標(biāo)準(zhǔn)化極差εt=Rt/λt，不同時(shí)期的干擾項(xiàng)相互獨(dú)立，它的分布被假定為服從一個(gè)有單位均值的密度函數(shù)f(·)的分布；ω表示極差中的不確定性，也可以表示極差的初始水平，ω >0；αi是極差的滯后期系數(shù)，可以表示極差條件均值的短期影響，且αi≥0,i=1,2,…,p；βj是極差條件均值的滯后期系數(shù)，可以表示極差條件均值的長(zhǎng)期影響，且βj≥0,j=1,2,…,q。

Chou提出根據(jù)CARR模型干擾項(xiàng)服從不同分布，CARR模型可分為不同種類(lèi)模型。當(dāng)干擾項(xiàng)εt服從單位指數(shù)分布時(shí)，CARR模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)形式為

(5)

干擾項(xiàng)服從上述指數(shù)分布的CARR模型稱(chēng)為ECARR模型。

當(dāng)干擾項(xiàng)εt服從Weibull分布，即εt～Gamma(γ,1/γ)時(shí)，CARR模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)形式為：

(6)

干擾項(xiàng)服從上述Weibull分布的CARR模型稱(chēng)為WCARR模型。

1.2 構(gòu)建門(mén)限CARR模型

CARR模型較好地?cái)M合了金融資產(chǎn)的波動(dòng)性特征，而在現(xiàn)實(shí)情況中，金融資產(chǎn)的波動(dòng)往往會(huì)出現(xiàn)不同波動(dòng)體制的變結(jié)構(gòu)現(xiàn)象，因此構(gòu)建非線(xiàn)性的CARR模型十分必要。本文構(gòu)建門(mén)限CARR模型的思路借鑒了門(mén)限自回歸條件持續(xù)期模型(TACD)的建模方法。Zhang等(2001)[7]提出了依靠門(mén)限變量來(lái)描述復(fù)雜經(jīng)濟(jì)過(guò)程的ACD模型，成為T(mén)ACD模型。首先定義

Rj∈[rj-1,rj),j=1,2,…,J

(7)

式中：J為正整數(shù)；-∞=r0

門(mén)限變量定義為

Zi=h(xi,…,x1;yi,…,y1)

(8)

式中{yi}為一組與{xi}相關(guān)的經(jīng)濟(jì)變量。

當(dāng)Zi-1∈Rj

(9)

依據(jù)TACD模型的構(gòu)建方法，本文將構(gòu)建門(mén)限條件自回歸極差模型即TCARR模型。將極差作為研究變量，門(mén)限變量為極差Rt的一階滯后項(xiàng)，定義門(mén)限空間為Sj，則TCARR模型的基本形式為

(10)

(11)

兩體制TCARR模型TCARR(2,p,q)可以較好地反映極差波動(dòng)的非線(xiàn)性特征，同時(shí)將金融資產(chǎn)波動(dòng)分為高波動(dòng)和低波動(dòng)兩種體制，能夠反映出更多的市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)信息。

2 非線(xiàn)性檢驗(yàn)

門(mén)限模型是非線(xiàn)性時(shí)間序列模型，所以在構(gòu)建門(mén)限模型之前，首先要對(duì)樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，考察其是否具有非線(xiàn)性的特征。金融時(shí)間序列的非線(xiàn)性特性檢驗(yàn)方法有Hurst指數(shù)法、BDS檢驗(yàn)法、替代數(shù)據(jù)法和基于Ljung-Box Q統(tǒng)計(jì)量的Mcleod-Li檢驗(yàn)法。BDS檢驗(yàn)?zāi)苡行У貦z測(cè)出其他統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)所忽視的非線(xiàn)性特征，因而在非線(xiàn)性檢驗(yàn)中具有很強(qiáng)的功效性，應(yīng)用較為廣泛。本文簡(jiǎn)要介紹BDS檢驗(yàn)方法。

BDS檢驗(yàn)是由Brock等(1996)[8]正式提出的。BDS檢驗(yàn)運(yùn)用了關(guān)聯(lián)積分法，零假設(shè)為所檢驗(yàn)的時(shí)間序列是獨(dú)立同分布的。在進(jìn)行檢驗(yàn)之前，先確定區(qū)間大小ε。如果時(shí)刻s，t的觀察值為ys和yt，則所有的觀察值(ys,yt)按對(duì)構(gòu)建為

{(ys,yt),(ys+1,yt+1),…,(ys+m,yt+m)}

(12)

式中m為嵌入?yún)^(qū)間。每對(duì)觀察值滿(mǎn)足ε條件的共有概率被定義為概率cm(ε)。在獨(dú)立同分布的零假設(shè)下共有概率cm(ε)是每對(duì)概率c1(ε),c2(ε),…的簡(jiǎn)化：

(13)

如果需要觀察的有n個(gè)樣本，那么就要通過(guò)滿(mǎn)足ε條件的數(shù)對(duì)的數(shù)量和所有被觀察數(shù)對(duì)來(lái)估計(jì)：

(14)式中Iε為指示函數(shù)：

(15)

這里的cm,n也可以作為關(guān)聯(lián)積分項(xiàng)來(lái)定義。通過(guò)關(guān)聯(lián)積分項(xiàng)，BDS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量被定義為

(16)

在零假設(shè)為“時(shí)間序列yt為獨(dú)立同分布”時(shí)，BDS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值近似于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：BDS(n,m,ε)→N(0,1)

如果BDS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是正值，即cm,n(ε)-[c1,n-m+1(ε)]m>0，說(shuō)明“積聚效應(yīng)”在價(jià)格波動(dòng)中要比純粹的隨機(jī)過(guò)程中發(fā)生的頻率要高。一個(gè)正的BDS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕了殘差為獨(dú)立正態(tài)同分布的假設(shè)。在實(shí)際操作中還應(yīng)該注意ε和“嵌入?yún)^(qū)間”m的選擇范圍。Scheinkman等(1989)[9]指出，當(dāng)ε取值過(guò)小，可能會(huì)導(dǎo)致接受零假設(shè)；而如果ε過(guò)大，那么就會(huì)存在對(duì)數(shù)據(jù)過(guò)高估計(jì)的危險(xiǎn)。Hsieh(1989)[10]則建議“嵌入?yún)^(qū)間”m應(yīng)該從2到10的區(qū)間里選取。m越大，相關(guān)函數(shù)被高估的風(fēng)險(xiǎn)就越大。文中根據(jù)樣本個(gè)數(shù)，m取值為6.

3 門(mén)限值識(shí)別方法

在建立門(mén)限CARR(TCARR)模型時(shí)，本文選用極差的一階滯后項(xiàng)Rt-1作為模型的門(mén)限變量。接下來(lái)就要設(shè)定門(mén)限值，由于門(mén)限值是未知的，需要人為地進(jìn)行尋找。Chan(1993)[11]提出了一種獲得門(mén)限值的超一致估計(jì)量的方法。本文運(yùn)用這種方法尋找門(mén)限CARR模型的門(mén)限值。其估計(jì)方法為：

首先，對(duì)樣本中所有的極差觀察值從小到大進(jìn)行排序，即：

R1

對(duì)于每個(gè)Rj，令τ=Rj，首先將其作為門(mén)限值進(jìn)行門(mén)限CARR模型的參數(shù)估計(jì)。門(mén)限值的一致估計(jì)量就是該模型的殘差最小時(shí)所采用的樣本值。

而在實(shí)際實(shí)證分析中，通常不考慮樣本中最大的15%和最小的15%的{Rj}，使門(mén)限的兩側(cè)都存在足夠多的觀察值。將排序后得到的新序列(記其樣本共有T′個(gè)變量)的第一個(gè)值作為門(mén)限值帶入模型進(jìn)行門(mén)限模型參數(shù)的估計(jì)，同時(shí)需要求出此時(shí)的模型的殘差平方和，記做resid(1)；然后，再將排序后序列中的每個(gè)樣本值作為門(mén)限值進(jìn)行門(mén)限CARR模型的估計(jì)，得到殘差平方和序列{resid(1)},i=1,2,…,t′。該序列中的最小值resid(k)(k≤t′)所對(duì)應(yīng)的極差序列樣本值Rk即為門(mén)限CARR模型的門(mén)限值。

4 實(shí)證研究

4.1 數(shù)據(jù)描述

本文選取2002年1月4日至2012年2月15日的上證綜合股價(jià)指數(shù)的日數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，經(jīng)過(guò)整理之后總共有2369個(gè)極差觀察值。本文首先利用上證綜合股價(jià)指數(shù)極差序列所擬合的CARR模型的殘差序列進(jìn)行BDS檢驗(yàn)，以判斷上證股票市場(chǎng)的極差序列是否具有非線(xiàn)性特征。

表1 上證綜合指數(shù)的BDS檢驗(yàn)

4.2 門(mén)限值的設(shè)定

由4.1得出上證綜合指數(shù)的極差序列具有非線(xiàn)性特征的結(jié)論，在此基礎(chǔ)上，本文建立門(mén)限CARR模型。首先要確定門(mén)限值。按照前面介紹的門(mén)限值識(shí)別方法，本文將原極差序列樣本進(jìn)行從小到大的排序，并排除前15%和后15%的樣本得到樣本容量為1658個(gè)的新序列。然后將新序列中的每個(gè)樣本值一次帶入門(mén)限CARR(2,1,1)模型中并計(jì)算其殘差平方和，得到殘差平方和序列，見(jiàn)圖1.

圖1 上證綜合指數(shù)殘差平方和序列

從殘差平方和序列分布圖并結(jié)合樣本序列，得出上海綜合指數(shù)極差序列的第1211個(gè)樣本擬合的門(mén)限CARR(2,1,1)模型的殘差平方和最小，得到其模型的門(mén)限值為2.744642603。

4.3 建立兩體制門(mén)限CARR(2,1,1)模型

由4.2得出了擬合上海綜合指數(shù)極差序列的兩體制門(mén)限CARR(2,1,1)模型的門(mén)限值，將Rt-1作為門(mén)限變量，建立擬合上證股票市場(chǎng)波動(dòng)的非線(xiàn)性特征的門(mén)限CARR模型。為了更好地說(shuō)明門(mén)限模型在擬合非線(xiàn)性金融數(shù)據(jù)中的作用，本文將新構(gòu)建的兩體制CARR(2,1,1)模型與傳統(tǒng)CARR(1,1)模型分別擬合樣本數(shù)據(jù)，得到的實(shí)證結(jié)果如下：

描述上證綜合指數(shù)極差序列的兩體制門(mén)限CARR(2,1,1)模型(τ=2.744642603)數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表2 兩體制門(mén)限CARR(2,1,1)模型數(shù)據(jù)

描述上證綜合指數(shù)極差序列的CARR(1,1)模型數(shù)據(jù)見(jiàn)表3.

表3 CARR(1,1)模型擬合數(shù)據(jù)

表2中，各均值方程各參數(shù)值旁的方括號(hào)和圓括號(hào)內(nèi)的數(shù)據(jù)為其參數(shù)的T統(tǒng)計(jì)量及P值。

在95%的置信水平下，T(40)=1.684，而T(2369)

表3中，ω、β和γ的P值在95%的置信水平下不能推翻參數(shù)為零的假設(shè)，故參數(shù)不顯著。

從以上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，兩體制門(mén)限CARR(2,1,1)模型相對(duì)于傳統(tǒng)CARR(1,1)模型，對(duì)于上海股票市場(chǎng)數(shù)據(jù)擬合程度更好，并且對(duì)于上海股票市場(chǎng)在低波動(dòng)和高波動(dòng)體制下的波動(dòng)特征進(jìn)行了有效地刻畫(huà)，其對(duì)數(shù)似然函數(shù)值達(dá)到了-2924.18841599，較好地體現(xiàn)了上海股票市場(chǎng)波動(dòng)的非線(xiàn)性特征。

圖2為上證綜合指數(shù)波動(dòng)在不同體制下的模型的殘差項(xiàng)序列

圖2 上證綜合指數(shù)波動(dòng)處于兩種體制下的

從圖2中可以明顯看出，處于不同體制下的波動(dòng)序列存在明顯差別，在高波動(dòng)體制下波動(dòng)特征更加明顯，這充分說(shuō)明了兩體制門(mén)限CARR(2,1,1)模型可以非常明顯地刻畫(huà)出上證股票市場(chǎng)在不同波動(dòng)體制下的波動(dòng)特征。

從上述實(shí)證結(jié)果可看出，我國(guó)上證股票市場(chǎng)存在不同波動(dòng)體制，這與現(xiàn)實(shí)情況十分契合。在現(xiàn)實(shí)情況中，由于金融危機(jī)，信息不對(duì)稱(chēng),莊家操縱股價(jià),投資者不理性等問(wèn)題，股市會(huì)產(chǎn)生劇烈波動(dòng)，這時(shí)如果仍用單一波動(dòng)體制來(lái)刻畫(huà)金融時(shí)間序列就會(huì)刻畫(huà)不充分。將變結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性模型與傳統(tǒng)刻畫(huà)波動(dòng)的模型相結(jié)合，能夠更加準(zhǔn)確地刻畫(huà)劇烈波動(dòng)的金融市場(chǎng)。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文將門(mén)限模型與CARR模型相結(jié)合構(gòu)建門(mén)限CARR模型，利用構(gòu)建的門(mén)限CARR模型對(duì)上證市場(chǎng)股價(jià)指數(shù)的波動(dòng)進(jìn)行了研究。在實(shí)證研究中，兩體制門(mén)限CARR(2,1,1)模型很好地描述了上證市場(chǎng)股價(jià)指數(shù)在高波動(dòng)和低波動(dòng)時(shí)的不同特征。本文嘗試用非線(xiàn)性模型中的門(mén)限模型與刻畫(huà)波動(dòng)的CARR模型相結(jié)合來(lái)擬合金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)，在未來(lái)的研究中，可以擴(kuò)展到更加廣泛的非線(xiàn)性模型的應(yīng)用，比如馬爾科夫體制轉(zhuǎn)換模型等。

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(責(zé)任編輯：馬金發(fā))

Empirical Study on the Threshold CARR Model：An Example from Shanghai Stock Market

ZOU Wenjun

(College of Management and Economics,Tianjin University,Tianjin 300072,China)

The volatility of financial data often has nonlinear characteristics.In order to describe the volatility characteristics of Shanghai stock market,we combined the threshold model and CARR (Conditional Auto-Regressive Range) model to construct the threshold CARR model.First,we borrowed the lessons from the threshold autoregressive conditional duration model (TACD) to construct the threshold CARR model;Secondly,we used the daily data of Shanghai stock market from January 4th,2002 to February 15th,2012 as the sample and find the threshold value through the nonlinear test and threshold recognition method;At last,we established the threshold CARR model which fit the nonlinear characteristics of the volatility of Shanghai stock market and describe the different volatility characteristics of Shanghai stock market.

nonlinear characteristics;threshold model;CARR model;volatility

2014-09-23

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(70901055)；國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金資助項(xiàng)目(14CTJ012)；教育部博士點(diǎn)新教師基金資助項(xiàng)目(20090032120031)；天津大學(xué)自主創(chuàng)新基金項(xiàng)目

鄒文俊(1990—)，女，碩士研究生，研究方向：金融時(shí)間序列分析.

1003-1251(2015)02-0078-06

F830

A