郭菊喜

(嶺南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 廣東湛江524000)

高斯信道中功率分配問題的一種優(yōu)化方法

郭菊喜

(嶺南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 廣東湛江524000)

信號檢測中，檢測概率一直是作為衡量檢測性能的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn). 眾所周知, Neyman-Pearson 準(zhǔn)則下的最優(yōu)檢測是似然比檢測. 然而多傳感器系統(tǒng)下隨著信號維數(shù)增加，似然比檢測門限的計(jì)算涉及高維積分，計(jì)算困難相當(dāng)大，因此文中考慮的高斯信號檢測模型, 沒有直接計(jì)算檢測概率而是將兩個(gè)密度函數(shù)的相對熵作為衡量檢測性能的一個(gè)度量來研究高斯信號檢測中功率的分配，并且建立了目標(biāo)優(yōu)化模型. 針對文中建立的優(yōu)化問題, 首先由加強(qiáng)的Fritz John (F-J)必要條件證明了優(yōu)化問題的局部最優(yōu)解滿足KKT(Karush-Kuhn-Tucker) 條件,并且進(jìn)一步證明存在惟一的拉格朗日乘子. 然后利用凸函數(shù)的性質(zhì)我們說明了D(P1‖P0)是tr(∑s)的非減函數(shù), 最后在此基礎(chǔ)上得到了優(yōu)化問題的最優(yōu)解, 即得到了功率分配矩陣. 同時(shí)也給出了特殊信道下的功率分配矩陣.

高斯模型; 相對熵; 拉格朗日乘子; KKT 條件

0 引言

在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中, 大量傳感器被部署在一個(gè)區(qū)域監(jiān)測環(huán)境中.每個(gè)傳感器將其在二元假設(shè)下基于觀測環(huán)境狀態(tài)的不同觀測值發(fā)送到融合中心,最后在融合中心作出總的決策.通常情況下由于傳輸信號功率限制, 在傳輸之前每一個(gè)傳感器需要將其要傳輸?shù)臄?shù)據(jù)進(jìn)行壓縮.一種比較典型的方法就是首先在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)處作出局部判決, 然后將判決數(shù)據(jù)傳給融合中心, 這就是分布式檢測方法. 分布式信號檢測中,首先每個(gè)傳感器對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理, 得到的通常是有損壓縮處理, 最終將這些預(yù)處理結(jié)果傳遞到融合中心 (FC).FC 根據(jù)接收到的信息依據(jù)判決準(zhǔn)則做出最終的判決. 分布式多傳感器的優(yōu)點(diǎn): 可以減少對通信帶寬的要求、增加可靠性、減少單個(gè)傳感器的性能要求和降低成本, 并有能力對快速變化的檢測環(huán)境做出較好的適應(yīng). 然而與多傳感器中心式方法不同，在分布式的檢測中, FC 得到的是經(jīng)過壓縮后的信息, 這就使得相對于中心式的方法來說分布式的檢測性能會有部分的損失. 這部分性能的損失可以經(jīng)過對傳感器信息的最優(yōu)局部處理和融合來進(jìn)行一定的彌補(bǔ). 信號檢測中通過優(yōu)化找到檢測錯(cuò)誤概率最小的決策, 從而獲得盡可能好的檢測性能.

關(guān)于檢測性能的研究已經(jīng)有不少的研究成果. Reibman和 Nolte(1987) 研究的是分布式傳感器融合系統(tǒng)的全局優(yōu)化問題, 通過解決融合律和局部檢測器的優(yōu)化來獲取整體的檢測性能.同時(shí)可得到在局部閥值也沒有融合律的先驗(yàn)信息的情況下, 如果這兩者根據(jù)最優(yōu)準(zhǔn)則選取的話也可以得到分布式檢測系統(tǒng)的全局優(yōu)化性能[1]. Niu 和 Varshney(2008) 研究了無線傳感器網(wǎng)絡(luò) (WSN) 中傳感器隨機(jī)部署的情形, 局部傳感器的決策閥值是通過最大化檢測系統(tǒng)的撓度系數(shù) (Deflection Coefficient)來獲得更好的檢測性能[2]. 二元假設(shè)檢驗(yàn)中, 無論是Bayes 準(zhǔn)則還是Neyman-Pearson 準(zhǔn)則下, 似然比檢測都是局部最優(yōu)的. 一般情況下, 在似然比檢測中尋找最優(yōu)的門限是非常困難的, 尤其是隨著信號維數(shù)的增加, 關(guān)于 LRT(Likelihood Rratio Test)的計(jì)算也會因?yàn)樯婕暗礁呔S積分而變得難以實(shí)現(xiàn).為了解決實(shí)際問題, 一些近似計(jì)算方法應(yīng)用而生. 就高斯隨機(jī)變量而言, Liu, Tang 和Zhang(2009)提出了對非負(fù)定中心二次高斯變量的卡方近似方法, 利用非負(fù)定高斯二次型的前四階矩計(jì)算非中心卡方分布的自由度和偏度以及峰度[3]. 另外,Kay提出對于均值不同的高斯假設(shè)檢驗(yàn)問題, 檢驗(yàn)性能是撓度系數(shù)的單調(diào)函數(shù), 也就是錯(cuò)誤檢測概率是撓度系數(shù)減函數(shù)[4]. 因此為避免復(fù)雜的計(jì)算將撓度系數(shù)作為優(yōu)化目標(biāo)也是一種常見的近似方法. 在 Fang, Li, Chen 和Li(2012)的研究中, 確定性信號的分布式假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪峭ㄟ^最大化撓度系數(shù)，找到了特殊情況下和一般情況下的最優(yōu)預(yù)編碼矩陣和功率分配方式[5]. 2008年，Quan，Cui和 Sayed(2008)通過優(yōu)化修正的撓度系數(shù) (表征融合中心全局檢測統(tǒng)計(jì)量的概率分布函數(shù)), 得到了一般情況下計(jì)算復(fù)雜度和最優(yōu)解[6].

本文主要采用最大化相對熵方法對高斯信號模型中功率分配問題進(jìn)行了研究. 文中利用信號模型建立了以相對熵為目標(biāo)函數(shù)的功率優(yōu)化模型.首先利用 F-J 必要條件得到局部最優(yōu)解滿足 KKT 條件,并進(jìn)一步通過理論證明得到存在惟一的拉格朗日乘子, 然后利用凸函數(shù)的性質(zhì)獲得了相對熵D(P1‖P0)是tr(∑s)和的關(guān)系, 最后得到了功率分配矩陣.

1 預(yù)備知識及模型構(gòu)建

在信號檢測中,主要處理在帶有噪聲干擾的觀測數(shù)據(jù)中通過檢測判斷有信號或者無信號的問題. 在噪聲背景下檢測信號的存在并估計(jì)信號的參量是通信與測量系統(tǒng) (包括雷達(dá)系統(tǒng)) 的基本任務(wù). 對于統(tǒng)計(jì)決策問題我們以引起最小的損失為目的作出判決. 根據(jù)傳感器觀測到的現(xiàn)象y做出假設(shè)H0或者是H1.二元假設(shè)檢驗(yàn)的一般模型為

(1)

這里的H0和H1一般分別表示在信號 (s)不存在的情形和信號存在的情形,u是服從一定分布的噪聲.檢測是根據(jù)觀測數(shù)據(jù)和一定的檢測準(zhǔn)則確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,然后對各個(gè)假設(shè)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)后得到判決區(qū)域, 從而確定假設(shè)H0或者H1.由于隨機(jī)噪聲的影響, 判決結(jié)果不可避免地以一定的概率出現(xiàn)誤差即檢測錯(cuò)誤概率.兩種錯(cuò)誤概率分別是虛警概率Pf=P(H1|H0)和漏解概率Pm=P(H0|H1),相應(yīng)的檢測概率為Pd=P(H1|H1).在檢測中希望盡可能地減小兩種錯(cuò)誤概率,增大檢測概率. Bayes判決中需要給出兩種假設(shè)下的先驗(yàn)概率和考慮每種可能的判決的成本因素.在知道這些條件的情況下,Bayes準(zhǔn)則可以容易地實(shí)施.然而在一些實(shí)際問題中要給出這些已知條件是非常困難的.這也使得Bayes判決不容易實(shí)現(xiàn).為了解決實(shí)際問題并考慮到在檢測問題中總是希望盡可能地減小虛警概率Pf，同時(shí)增大檢測概率Pd.但事實(shí)上這兩者不可能同時(shí)獲得, 因此Neyman和Pearson提出了N-P檢測準(zhǔn)則：在給定虛警概率允許的上界情況下, 極大化檢測概率, 這就是Neyman-Pearson準(zhǔn)則 (N-P準(zhǔn)則).

基于以上假設(shè),當(dāng)信號不存在時(shí)輸出觀測數(shù)據(jù)只與噪聲相關(guān)，設(shè)其為y=u，這是對應(yīng)于假設(shè)H0的.相應(yīng)的信號存在時(shí)輸出觀測數(shù)據(jù)為y=HTs+u,這對應(yīng)于假設(shè)H1.觀測y在假設(shè)H0和H1下的分布如公式(2), 即假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑?/p>

(2)

∑1=HT∑sH+∑u,μ1=HTμs+μ0.

(3)

這里H,μs均為已知量,∑u是已知的非奇異矩陣. 至此由相對熵的定義[13]及公式(2)可得

.(4)

(5)

其中P是傳輸功率并且P是有限值, 同時(shí)

符號解釋: 在本文中,使用到以下的一些符號:I表示單位矩陣,(·)T表示相應(yīng)矩陣的轉(zhuǎn)置,A≥B意味著A-B是半正定矩陣.

2 最大化相對熵方法求解檢測問題

假設(shè)P0(y)和P1(y)是高斯密度函數(shù), 基于式(3) 和式(4),問題 (5)可以重新表達(dá)為

(6)

(7)

其中λ是線性約束對應(yīng)的拉格朗日乘子. 接下來我們給出引理1,證明式(6)的局部最優(yōu)解滿足KKT的條件, 其證明中利用Fritz John 必要條件[13].

(8)

(9)

證明λ*<0即可.

(10)

(11)

接下來利用等式(I+AB)-1A=A(I+BA)-1[14],對于(13) 可以得到如下結(jié)果

于是式(11) 可以重新表示為

(12)

(13)

我們知道對于兩個(gè)半正定矩陣有如下性質(zhì): 如果兩個(gè)半正定矩陣A,B滿足AB0，那么有tr(A) ≥ tr(B).另外基于前面的討論我們知道(P1‖P0)是關(guān)于∑s的凸函數(shù).利用凸函數(shù)的性質(zhì)可以得到:對任意兩個(gè)方差矩陣∑s1≥0，∑s2≥0并且，tr(∑s1) ≥tr(∑s2),tr(∑s1)≤P,有

(14)

對于一些特殊的信道矩陣, 應(yīng)用上述求解方法不難得到其功率分配矩陣：

1)令H=I并且假設(shè)tr(∑u)

2) 如果H=I,∑u=I，同樣假設(shè)tr(∑u)

3 結(jié)論

[1] A. R. Reibman, L. W. Nolte, Optimal Detection and Performance of Distributed Sensor Systems, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, Vol. Aes-23, No. 1, Jan. 1987.

[2] R. X. Niu and P. K. Varshney, Performance Analysis of Distributed Detection in a Random Sensor Field, IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 56, No. 1, Jan. 2008.

[3] H. Liu, Y. Q. Tang and H. H. Zhang, A New Chi-square Approximation to the Distribution of Non-negative Definite Quadratic forms in Non-central Normal Variables, Computational Statistics and Data Analysis, Vol. 53, pp.853-856, 2009.

[4] S. M. Kay, Fundamentals of Statistical Signal Processing: Detection Theory. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1988.

[5] J. Fang, H. B. Li, Z. Chen and S. Q. Li, Optimal precoding design and power allocation for decentrilized detection of deterministic signals, IEEE Transactions on signal processing, Vol. 6, No. 6, Jun. 2012.

[6] Z. Quan, S. G. Cui and A. H. Sayed, Optimal Linear Cooperation for Spectrum Sensing in Cognitive Radio Networks, IEEE jouranl of selected topics in signal processing, Vol. 2, No. 1, Feb. 2008.

[7] T. M. Cover and J. A. Thomas, Elements of information theory, New York: Wiley, 1991.

[8] J. Tang, N. Li ,Y. Wu and Y. N. Peng , On Detection Performance of MIMO Radar: A Relative Entropy-based Study, IEEE Signal Processing Letters, Vol. 16, No. 3, Mar. 2009.

[9] H. Jeffreys, An Invariant Form for The Prior Probability in Estimation Problems, Proc. Roy. Soc. A., Vol. 186, pp.453-461, 1946.

[10] T. Kailath, The Divergence and Bhattacharyya Distance Measures in Signal Selection, IEEE Trans. Commun. Technol., Vol. 15, No. 2, pp. 52-60, Feb. 1967.

[11] H. Kobayashi, Distance Measures and Asymptotic Relative Efficiency, IEEE Trans. Inf. Theory, Vol. 16, No. 3, pp. 288-291, May 1970.

[12] H. Kobayashi and J. B. Thomas, “Distance Measures and Related Cri- teria,” Proc. 5th Annu. Allerton Conf. Circuit System Theory, pp. 491-500, Oct. 1967.

[13] D. P. Bertsekas, Nonlinear progamming, Belmont MA:Athena Scientific, second edition, 1999.

[14] K. B. Petersern and M. S. Pedersern,The Matrix cookbook, http://matrixcookbook.com, Nov. 2008.

2015-11-10

郭菊喜(1987—), 女,甘肅平?jīng)鋈?，助教，碩士, 主要從事統(tǒng)計(jì)分析方面的研究.

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1009-2102(2015)04-0014-05