劉厚林，白 羽，董 亮，劉明明，肖佳偉

(江蘇大學(xué)流體機(jī)械工程技術(shù)研究中心，江蘇鎮(zhèn)江 212013)

冶金行業(yè)是關(guān)系國(guó)計(jì)民生的重要行業(yè).冶金用熱水循環(huán)泵是高爐密閉循環(huán)冷卻系統(tǒng)的核心設(shè)備，是冶金企業(yè)必不可少的關(guān)鍵生產(chǎn)設(shè)備之一.其實(shí)際運(yùn)行環(huán)境為高溫高壓，為防止故障的發(fā)生通常配有備用泵，其振動(dòng)特性關(guān)系到整個(gè)冶金工藝流程的可靠性及安全穩(wěn)定運(yùn)行.因此，對(duì)冶金用熱水循環(huán)泵進(jìn)行模態(tài)分析具有重要的意義.

模態(tài)分析通過計(jì)算結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性來(lái)幫助設(shè)計(jì)人員確定結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型，從而使結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)避免共振.隨著有限元技術(shù)的發(fā)展，國(guó)內(nèi)外越來(lái)越多的學(xué)者將模態(tài)分析應(yīng)用到流體機(jī)械領(lǐng)域.Yuan S.Q.等［1］基于流固耦合技術(shù)對(duì)螺旋離心泵的葉輪進(jìn)行了靜力與模態(tài)分析.Liang X.［2］基于模態(tài)分析對(duì)一臺(tái)泵的轉(zhuǎn)子進(jìn)行了故障診斷.E.Egusquiza等［3］對(duì)一臺(tái)水泵水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪模型進(jìn)行了模態(tài)研究.R.Podugu等［4］通過模態(tài)分析對(duì)一臺(tái)離心泵整機(jī)進(jìn)行了振動(dòng)研究.江親瑜等［5］應(yīng)用ANSYS軟件對(duì)高壓低噪小流量離心泵泵體進(jìn)行了模態(tài)分析.張雙全等［6］基于流固耦合技術(shù)，對(duì)混流泵轉(zhuǎn)輪進(jìn)行了靜強(qiáng)度計(jì)算和模態(tài)分析.曹衛(wèi)東等［7］對(duì)礦用潛水電泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行了模態(tài)分析，并根據(jù)振型特點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì).劉厚林等［8］對(duì)核電用余熱排出泵轉(zhuǎn)子無(wú)預(yù)應(yīng)力下的模態(tài)以及流固耦合力和離心力作用下的模態(tài)進(jìn)行了對(duì)比分析.叢小青等［9］采用順序耦合技術(shù)分析了誘導(dǎo)輪的靜態(tài)應(yīng)力和振型，研究了葉片強(qiáng)對(duì)誘導(dǎo)輪振動(dòng)特性的影響.此外，國(guó)內(nèi)還有眾多學(xué)者針對(duì)不同類型的泵類產(chǎn)品進(jìn)行了模態(tài)分析［10-17］.

但是，到目前為止還尚未發(fā)現(xiàn)在高溫高壓情況下，對(duì)冶金用熱水循環(huán)泵進(jìn)行模態(tài)分析的研究.文中以冶金用熱水循環(huán)泵的轉(zhuǎn)動(dòng)部件與靜止部件為研究對(duì)象，首先對(duì)無(wú)預(yù)應(yīng)力模態(tài)進(jìn)行計(jì)算，分析溫度不同導(dǎo)致的材料性質(zhì)變化對(duì)2部件模態(tài)性能的影響;然后，以泵外特性試驗(yàn)為基礎(chǔ)，基于流固耦合技術(shù)，對(duì)常溫常壓與高溫高壓2種環(huán)境下的有預(yù)應(yīng)力模態(tài)進(jìn)行計(jì)算，對(duì)比不同環(huán)境下轉(zhuǎn)動(dòng)部件與靜止部件的各階固有頻率及振幅，分析預(yù)應(yīng)力對(duì)模態(tài)性能的影響;最后，對(duì)轉(zhuǎn)子的剛度進(jìn)行校核，給出熱水循環(huán)泵在高溫高壓(實(shí)際工作環(huán)境)情況下，轉(zhuǎn)動(dòng)部件與靜止部件的前6階振型，為熱水循環(huán)泵的安全運(yùn)行提供參考.

1 研究模型

本研究模型是一臺(tái)比轉(zhuǎn)數(shù)為101的冶金用熱水循環(huán)泵.設(shè)計(jì)參數(shù)如下:流量Qd=380 m3·h-1，揚(yáng)程H=45 m，轉(zhuǎn)速n=1 480 r·min-1，工作水溫T=207℃，進(jìn)口壓力P=2.5 MPa.其結(jié)構(gòu)如圖1所示，該泵是一臺(tái)單級(jí)單吸臥式離心泵，閉式葉輪，6枚葉片，后蓋板設(shè)有平衡孔，泵體為雙蝸殼結(jié)構(gòu)，中心支撐，懸架設(shè)計(jì)有冷卻系統(tǒng).

圖1 冶金用熱水循環(huán)泵結(jié)構(gòu)圖

文中重點(diǎn)研究該泵的轉(zhuǎn)動(dòng)部件與靜止部件，轉(zhuǎn)動(dòng)部件包括葉輪、葉輪螺母、泵軸及鍵，靜止部件包括泵體、泵蓋、懸架及泵腳.運(yùn)用ANSYS 12.1 Workbench的Mesh模塊，對(duì)泵轉(zhuǎn)動(dòng)部件與靜止部件進(jìn)行網(wǎng)格劃分，轉(zhuǎn)動(dòng)部件的網(wǎng)格單元數(shù)為1 303 742，靜止部件的網(wǎng)格單元數(shù)為2 218 633.各零件的材料如下:泵體、泵蓋為ZG25，葉輪為QT400-18，泵軸、葉輪螺母為45鋼，鍵為35鋼，泵腳為HT250，懸架為HT200.由參考文獻(xiàn)［18］可查得各材料的性能數(shù)據(jù).

2 無(wú)預(yù)應(yīng)力模態(tài)分析

采用ANSYS 12.1 Workbench的Modal模塊對(duì)熱水循環(huán)泵進(jìn)行模態(tài)計(jì)算.

在兩泵腳與懸架的底面施加固定約束，泵軸上裝配軸承的2個(gè)圓柱面施加圓柱約束.無(wú)預(yù)應(yīng)力下，轉(zhuǎn)動(dòng)部件與靜止部件的前6階固有頻率和振幅見表1和2.從表1可以看出，轉(zhuǎn)子部件的前2階固有頻率非常接近，第5階模態(tài)的振幅最大.從表2可以看出，靜止部件的第5階與第6階固有頻率接近，第4階模態(tài)的振幅最大.

表1 無(wú)預(yù)應(yīng)力下轉(zhuǎn)動(dòng)部件模態(tài)信息

表2 無(wú)預(yù)應(yīng)力下靜止部件模態(tài)信息

3 有預(yù)應(yīng)力模態(tài)分析

3.1 載荷條件

對(duì)冶金用熱水循環(huán)泵進(jìn)行有預(yù)應(yīng)力模態(tài)分析，2部件的約束條件與之前相同，在此基礎(chǔ)上還要加載水力載荷、重力載荷，轉(zhuǎn)動(dòng)部件還需加載離心力載荷與扭矩載荷，高溫高壓條件下還需加載熱載荷.水力載荷的加載用到流固耦合技術(shù).應(yīng)用ANSYS CFX 12.1軟件，對(duì)設(shè)計(jì)工況的冶金用熱水循環(huán)泵內(nèi)部全流場(chǎng)［19］進(jìn)行定常數(shù)值計(jì)算.

常溫常壓條件時(shí)，采用壓力進(jìn)口與流量出口，設(shè)定進(jìn)口靜壓為0，出口流量105.239 kg·s-1，進(jìn)口湍流密度選擇Medium(湍流密度為5%)，固體壁面取無(wú)滑移光滑邊界條件，近壁處采用Scalable壁面函數(shù)，動(dòng)靜交界面采用Frozen Rotor格式，網(wǎng)格關(guān)聯(lián)采用GGI方式，收斂精度為10-5.揚(yáng)程的計(jì)算值為51.97 m，與試驗(yàn)值50.84 m相比，相對(duì)誤差為2.22%，滿足工程實(shí)際的要求，說(shuō)明所采用的數(shù)值方法準(zhǔn)確可靠.

高溫高壓條件下，工質(zhì)水從泵進(jìn)口運(yùn)動(dòng)到出口過程中溫度不變，故不涉及傳熱.所以，高溫高壓條件下流場(chǎng)的模擬只需考慮水物理性質(zhì)的改變［20］.根據(jù)參考文獻(xiàn)［21］，可查得清水在25℃(常溫)和207℃(高溫)時(shí)的性質(zhì).高溫高壓條件設(shè)定進(jìn)口靜壓為2.5 MPa，出口流量90.341 kg·s-1，其他邊界條件與常溫常壓下的相同.然后，采用ANSYS 12.1 Workbench的FSI單向流固耦合模塊，進(jìn)行流固耦合設(shè)置，本研究模型共設(shè)置11組流固耦合面.

采用ANSYS 12.1 Workbench的Steady-State Thermal(ANSYS)模塊，對(duì)熱水循環(huán)泵在高溫高壓下工作時(shí)的靜止部件與轉(zhuǎn)動(dòng)部件進(jìn)行穩(wěn)態(tài)熱力學(xué)計(jì)算.根據(jù)實(shí)際情況，所有與工作介質(zhì)接觸的壁面施加207℃的溫度載荷，懸架上冷卻水流經(jīng)的壁面施加30℃的溫度載荷，泵軸軸承段表面施加40℃的溫度載荷，兩泵腳底面施加25℃的溫度載荷.靜止部件與空氣接觸的表面設(shè)置成對(duì)流傳熱面，根據(jù)文獻(xiàn)［22］，對(duì)流換熱系數(shù)設(shè)置為30 W·(m2·℃)-1，周圍環(huán)境溫度為25℃.

3.2 模態(tài)分析

有預(yù)應(yīng)力下，轉(zhuǎn)動(dòng)部件與靜止部件的前6階固有頻率和振幅見表3和4.從表3可以看出，轉(zhuǎn)子部件的前2階固有頻率非常接近，第5階模態(tài)的振幅最大.從表4可以看出，靜止部件的第5階與第6階固有頻率接近，第4階模態(tài)的振幅最大.

表3 有預(yù)應(yīng)力下轉(zhuǎn)動(dòng)部件模態(tài)信息

表4 有預(yù)應(yīng)力下靜止部件模態(tài)信息

不同條件下，轉(zhuǎn)動(dòng)部件與靜止部件的前6階固有頻率如圖2，3所示.可以看出，高溫下2部件的各階固有頻率均小于常溫下的固有頻率;常溫常壓與常溫?zé)o預(yù)應(yīng)力相比，轉(zhuǎn)動(dòng)部件固有頻率最大變化為0.24%，靜止部件固有頻率最大變化為0.01%;高溫高壓與高溫?zé)o預(yù)應(yīng)力相比，轉(zhuǎn)動(dòng)部件固有頻率最大變化為0.86%，靜止部件固有頻率最大變化為0.08%.可見，零件結(jié)構(gòu)和材料性質(zhì)是決定其各階固有頻率的主要因素，而預(yù)應(yīng)力對(duì)2部件各階固有頻率的影響非常小.

圖2 轉(zhuǎn)動(dòng)部件前6階固有頻率

圖3 靜止部件前6階固有頻率

不同條件下，轉(zhuǎn)動(dòng)部件與靜止部件各階模態(tài)的振幅幾乎沒有變化.2部件前6階模態(tài)下的振幅如圖4所示.

圖4 轉(zhuǎn)動(dòng)部件與靜止部件前6階振幅

從圖4中可以看出，轉(zhuǎn)動(dòng)部件各階模態(tài)下的振幅均高于靜止部件的.零件結(jié)構(gòu)形狀是影響了其各階模態(tài)振幅的主要因素，而材料性質(zhì)和預(yù)應(yīng)力對(duì)振幅幾乎沒有影響.

3.3 臨界轉(zhuǎn)速分析

轉(zhuǎn)子1階臨界轉(zhuǎn)速在數(shù)值上等于1階固有頻率時(shí)的轉(zhuǎn)速.轉(zhuǎn)子如果在臨界轉(zhuǎn)速附近運(yùn)行，會(huì)出現(xiàn)劇烈的振動(dòng)，長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行甚至?xí)蹟嘌b在軸上的葉輪及其他部件共同構(gòu)成的轉(zhuǎn)子［23］.臨界轉(zhuǎn)速與固有頻率的關(guān)系為

式中:n為臨界轉(zhuǎn)速;f為固有頻率.熱水循環(huán)泵轉(zhuǎn)子的1階固有頻率為90.85 Hz，對(duì)應(yīng)的1階臨界轉(zhuǎn)速為

文獻(xiàn)［24］指出泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)工程設(shè)計(jì)的穩(wěn)定性經(jīng)驗(yàn)公式為

其中nc1為第1階臨界轉(zhuǎn)速.該熱水循環(huán)泵的額定轉(zhuǎn)速為 1 480 r·min-1，則

因此從臨界轉(zhuǎn)速方面可以認(rèn)為該熱水循環(huán)泵轉(zhuǎn)子是一個(gè)穩(wěn)定的剛性系統(tǒng).

3.4 振型分析

轉(zhuǎn)動(dòng)部件的前6階振型如圖5所示，第1階與第2階振型為轉(zhuǎn)子葉輪側(cè)的擺動(dòng)變形，擺動(dòng)方向接近垂直;第3階與第4階振型為轉(zhuǎn)子葉輪側(cè)的彎曲變形;第6階振型為轉(zhuǎn)子的扭轉(zhuǎn)變形;第6階振型為葉輪沿軸向的錯(cuò)動(dòng)變形.靜止部件的前6階振型如圖6所示，第1階振型為水平面內(nèi)的擺動(dòng)變形;第2階振型為豎直面內(nèi)的擺動(dòng)變形;第3階振型為沿軸向的錯(cuò)動(dòng)變形;第4階、第5階、第6階振型依次3個(gè)坐標(biāo)方向的扭轉(zhuǎn)變形.

圖5 轉(zhuǎn)動(dòng)部件前6階振型

圖6 靜止部件前6階振型

4 結(jié)論

1)高溫條件下，冶金用熱水循環(huán)泵各零件材料的性能發(fā)生了變化，轉(zhuǎn)動(dòng)部件與靜止部件的各階固有頻率均小于常溫下的固有頻率;有預(yù)應(yīng)力模態(tài)與無(wú)預(yù)應(yīng)力模態(tài)相比，2部件固有頻率最多相差0.86%.零件結(jié)構(gòu)和材料性質(zhì)是決定其各階固有頻率的主要因素，而預(yù)應(yīng)力對(duì)各階固有頻率的影響很小.

2)不同條件下，轉(zhuǎn)動(dòng)部件與靜止部件各階模態(tài)的振幅幾乎沒有變化.轉(zhuǎn)動(dòng)部件各階模態(tài)下的振幅均高于靜止部件的.零件結(jié)構(gòu)形狀決定了其各階模態(tài)下的振幅，而材料性質(zhì)和預(yù)應(yīng)力對(duì)振幅幾乎沒有影響.

3)該熱水循環(huán)泵轉(zhuǎn)子的1階臨界轉(zhuǎn)速為5 451 r·min-1，其額定轉(zhuǎn)速為 1 480 r·min-1，小于臨界轉(zhuǎn)速的0.8倍，認(rèn)為其轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一個(gè)穩(wěn)定的剛性系統(tǒng).

4)不同條件下，轉(zhuǎn)動(dòng)部件與靜止部件的各階振型是一致的.轉(zhuǎn)動(dòng)部件的前6階振型依次為擺動(dòng)變形、擺動(dòng)變形、彎曲變形、彎曲變形、扭轉(zhuǎn)變形、錯(cuò)動(dòng)變形;靜止部件的前6階振型依次為擺動(dòng)變形、擺動(dòng)變形、錯(cuò)動(dòng)變形、扭轉(zhuǎn)變形、扭轉(zhuǎn)變形、扭轉(zhuǎn)變形.

References)

［1］Yuan S Q，Li T，Yuan J P，et al.Static stress and modal analysis on the impeller of screw centrifugal pump［C］∥IOP Conference Series:Earth and Environmental Science，2012:052013.

［2］Liang X.A novel fault diagnosis method of pump rotor based on modal analysis［J］.Applied Mechanics and Materials，2014，448:3709-3712.

［3］Egusquiza E，Valero C，Huang X，et al.Failure investigation of a large pump-turbine runner［J］.Engineering Failure Analysis，2012，23:27-34.

［4］Podugu R，Kumar S，Ramanamurthy B，et al.A modal approach for vibration analysis and condition monitoring of a centrifugal pump［J］.IJEST，2011，3(8):6335-6344.

［5］江親瑜，史 哲，李寶良.基于ANSYS的高壓低噪小流量離心泵泵體的模態(tài)分析［J］.大連交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，31(5):25-28.

Jiang Qinyu，Shi Zhe，Li Baoliang.Model analysis of high-pressure low-noise small flow centrifugal pump body based on ANSYS ［J］.Journal of Dalian Jiaotong University，2010，31(5):25-28.(in Chinese)

［6］張雙全，吳 俊，秦仕信，等.基于ANSYS的混流泵轉(zhuǎn)輪力學(xué)特性分析［J］.水電能源科學(xué)，2010，28(10):107-108，9.

Zhang Shuangquan，Wu Jun，Qin Shixin，et al.Dynamic characteristics analysis of mixed-flow pump runner based on ANSYS［J］.Water Resources and Power，2010，28(10):107-108，9.(in Chinese)

［7］曹衛(wèi)東，高 一，王秀蘭，等.基于Ansys的礦用潛水電泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.排灌機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2012，30(2):157-161.

Cao Weidong，Gao Yi，Wang Xiulan，et al.Optimization design of submersible pump rotor system for coal mine based on Ansys［J］.Journal of Drainage and Irrigation Machinery Engineering，2012，30(2):157-161.(in Chinese)

［8］劉厚林，徐 歡，王 凱，等.基于流固耦合的余熱排出泵轉(zhuǎn)子模態(tài)分析［J］.流體機(jī)械，2012，40(6):28-32.

Liu Houlin，Xu Huan，Wang Kai，et al.Modal analysis for rotor of residual heat removal pump based on fluidstructure interaction ［J］.Fluid Machinery，2012，40(6):28-32.(in Chinese)

［9］叢小青，錢玉琴，袁丹青.高速泵誘導(dǎo)輪靜應(yīng)力及模態(tài)分析［J］.中國(guó)農(nóng)村水利水電，2010(11):135-137，143.

Cong Xiaoqing，Qian Yuqin，Yuan Danqing.Static stress and modal analysis of the inducer in high-speed pumps［J］.China Rural Water and Hydropower，2010(11):135-137，143.(in Chinese)

［10］何曉峰，劉厚林，談明高，等.WD-450型多級(jí)泵泵軸靜動(dòng)態(tài)特性分析［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2011(10):170-172.

He Xiaofeng，Liu Houlin，Tan Minggao，et al.Analysis of static and dynamic characteristics of the pump shaft for WD-450 type multi-stage pump［J］.Machinery Design＆Manufacture，2011(10):170-172.(in Chinese)

［11］蔣小平，施衛(wèi)東，李 偉，等.高壓多級(jí)泵水潤(rùn)滑軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力穩(wěn)定性分析［J］.農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2012，28(22):45-50.

Jiang Xiaoping，Shi Weidong，Li Wei，et al.Dynamic stability analysis on water lubricated bearing rotor system of high pressure multistage pump［J］.Transactions of the Chinese Society for Agricultural Engineering，2012，28(22):45-50.(in Chinese)

［12］付 強(qiáng)，袁壽其，朱榮生.核電站離心式上充泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算分析［J］.熱能與動(dòng)力工程，2012，27(5):604-609，629.

Fu Qiang，Yuan Shouqi，Zhu Rongsheng.Calculation and analysis of the critical rotating speed of the rotor system of a centrifugal charging pump in a nuclear power plant［J］.Journal of Engineering for Thermal Energy and Power，2012，27(5):604-609，629.(in Chinese)

［13］楊從新，馬運(yùn)通.考慮軸向力超臨界泵轉(zhuǎn)子動(dòng)力特性分析［J］.西華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，31(5):73-76，85.

Yang Congxin，Ma Yuntong.Analysis of the dynamic characteristics of a pump rotor under supercritical axial force［J］.Journal of Xihua University:Natural Science Edition，2012，31(5):73-76，85.(in Chinese)

［14］孔繁余，王 婷，張洪利.基于流場(chǎng)數(shù)值模擬的多級(jí)泵轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析［J］.江蘇大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，32(5):516-521.

Kong Fanyu，Wang Ting，Zhang Hongli.Rotor dynamic analysis of multistage pump based on numerical simulation of flow field［J］.Journal of Jiangsu University:Natural Science Edition，2011，32(5):516-521.(in Chinese)

［15］蔣小平，施衛(wèi)東，李 偉，等.泵水潤(rùn)滑軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性研究［J］.農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2013，44(1):62-66.

Jiang Xiaoping，Shi Weidong，Li Wei，et al.Rotor dynamic characteristics of water lubricated bearing for pumps［J］.Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2013，44(1):62-66.(in Chinese)

［16］孔繁余，王 婷，王文延，等.基于流固耦合的高溫泵葉輪應(yīng)力有限元分析［J］.江蘇大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，33(3):269-273.

Kong Fanyu，Wang Ting，Wang Wenyan，et al.Finite element analysis of high temperature pump impeller stress based on fluid-solid coupling［J］.Journal of Jiangsu U-niversity:Natural Science Edition，2012，33(3):269-273.(in Chinese)

［17］翼 宏，武俊合，王金林，等.液壓電機(jī)葉片泵的振動(dòng)模態(tài)分析［J］.蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，39(2):25-28.

Ji Hong，Wu Junhe，Wang Jinlin，et al.Vibration modal analysis of hydraulic motor-vane pump ［J］.Journal of Lanzhou University of Technology，2013，39(2):25-28.(in Chinese)

［18］《機(jī)械工程材料性能數(shù)據(jù)手冊(cè)》編委會(huì).機(jī)械工程材料性能數(shù)據(jù)手冊(cè)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1994.

［19］董 亮，劉厚林，談明高，等.離心泵全流場(chǎng)與非全流場(chǎng)數(shù)值計(jì)算［J］.排灌機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2012，30(3):274-278.

Dong Liang，Liu Houlin，Tan Minggao，et al.Numerical calculation of whole and non-whole flow field in centrifugal pumps［J］.Journal of Drainage and Irrigation Machinery Engineering，2012，30(3):274-278.(in Chinese)

［20］沙玉俊.高溫高壓離心泵三維湍流數(shù)值模擬及流動(dòng)特性研究［D］.北京:清華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，2011.

［21］關(guān)醒凡.現(xiàn)代泵理論與設(shè)計(jì)［M］.北京:中國(guó)宇航出版社，2011.

［22］張靖周，常海萍.傳熱學(xué)［M］.北京:科學(xué)出版社，2009.

［23］于保敏，黃站立.離心泵轉(zhuǎn)子的有限元模態(tài)分析［J］.機(jī)械工程師，2005(6):108-109.

Yu Baomin，Huang Zhanli.Finite element modality analysis of rotor in centrifugal pump［J］.Mechanical Engineer，2005(6):108-109.(in Chinese).

［24］顧家柳.轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，1985.