劉春曉，訾振發(fā)

(1.南京郵電大學 光電工程學院，江蘇 南京 210023； 2. 合肥師范學院 電子信息工程學院，安徽 合肥 230601)

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基于物像位置關系研究凸面鏡成像規(guī)律

劉春曉1，訾振發(fā)2

(1.南京郵電大學 光電工程學院，江蘇 南京 210023； 2. 合肥師范學院 電子信息工程學院，安徽 合肥 230601)

[摘要]凸面鏡在生活生產和科學研究中發(fā)揮著越來越重要的作用。傳統(tǒng)的作圖法定性地描述了凸面鏡的成像規(guī)律，已經不能滿足人們對凸面鏡成像精確度的需求。本文利用物像位置關系公式，推導了凸面鏡的垂軸放大率，得出了凸面鏡成像規(guī)律的數學描述，實現了對凸面鏡成像規(guī)律的定量研究。

[關鍵詞]凸面鏡；成像規(guī)律；物像位置關系；垂直放大率

利用球面的外表面作為反射面的球面鏡叫做凸面鏡。凸面鏡也稱為反光鏡、廣角鏡和轉彎鏡。它是僅次于平面鏡的簡單光學元件，在日常生活和工業(yè)生產中都有著廣泛的應用。凸面鏡經常被用作汽車后視鏡，擴大駕駛者的視野范圍。在“L”或“T”形交通路口通常也樹立一面凸面鏡，以瞭望對面的行人和車輛運行情況，減少交通事故的發(fā)生[1]。大型商場和超市常常采用凸面鏡監(jiān)視死角，防止商品被偷盜。另外，凸面鏡也是大多數現代光學系統(tǒng)的基本組成單元，受到了科技工作者的廣泛青睞。凸面鏡是成像光譜儀中Schwarzschild結構的重要構成部分，為成像光譜儀的連續(xù)多光譜成像和精細的光譜區(qū)分提供了支持[2-4]。光學諧振腔是激光器的三個主要組成部分之一。凸面鏡可以構成雙凸腔、平凸腔和凹凸腔等光學諧振腔，為得到穩(wěn)定持續(xù)、有一定功率、高質量的激光輸出奠定了基礎[5-7]。啁啾脈沖放大技術已經成為超短超強激光脈沖產生的重要途徑。凸面鏡是飛秒激光啁啾脈沖放大系統(tǒng)中的折疊反射式望遠鏡系統(tǒng)的基本組成部分，對脈沖波前和光束質量都產生了重要的影響[8]。凸面鏡之所以能夠有這么多重要的應用，是因為它通常成縮小、正立的虛像并且有很大的成像范圍。常見的文獻資料或教科書一般都是定性或者通過作圖的方式給出凸面鏡的成像規(guī)律[1, 9-11]。作圖法雖然可以使人一目了然地看清事物的變化趨勢，但是處理數據的精度較低而且不能反映引起現象變化的內在原因。因此，作圖法在某些需要較高精密度的現代光學研究領域(例如上面提到的成像光譜儀，激光器和啁啾脈沖放大系統(tǒng)等研究領域)就受到了一定的限制。然而，隨著凸面鏡在高新技術中應用的不斷加強，對凸面鏡成像的精確計算的需求變得越來越緊迫。物像位置公式是工程光學或應用光學中最基本的公式之一，在近軸光線的光路計算中占據著重要的位置[1, 9-11]。物像位置公式描述了光學系統(tǒng)的物象關系，是研究光學系統(tǒng)成像特性的重要解析方法，表明了物、像之間位置的精確關系。換句話說，如果已知了物體的位置，即可通過物像位置公式準確地求出其共軛像的位置。本文將通過物像位置公式定量地推導出凸面鏡的成像規(guī)律，得出的凸面鏡垂直放大率可以精確地計算凸面鏡成像的大小，并且有助于初學者理解凸面鏡成像規(guī)律的物理本質。

1凸面鏡成像規(guī)律

作圖法可以直觀、清晰和形象地了解光學系統(tǒng)成像的正倒、虛實、放大與縮小等情況。下面我們首先按照一般的文獻資料或教科書的思路，利用作圖法得出凸面鏡的成像規(guī)律[1, 9-11]。作圖時，通常選擇以下幾條特殊光線[9]。第一，平行于光軸入射的光線，它經過光學系統(tǒng)后過像方焦點。具體應用到本文所研究的凸面鏡中，相應的反射光線的延長線通過凸面鏡的焦點。第二，通過焦點的光線或入射光的延長線通過焦點的光線，它經過光學系統(tǒng)后平行于光軸。第三，通過曲率中心的光線，它經過光學系統(tǒng)后和入射光線在同一直線上。圖1就是利用這些特殊光線給出了物體AB經過凸面鏡后所成的像A′B′。圖中，O為凸面鏡的頂點，F′為像方焦點，C為球心。由圖可見，凸面鏡成正立、縮小的虛像(光線反向延長線的交點)。

圖1　凸面鏡成像示意圖

2凸面鏡物像位置公式

為了利用物像位置公式描述光學系統(tǒng)物像的相對位置和大小等物理量，需要引入符號規(guī)則以確定各量的正負號。本文選用的是郁道銀和譚恒英主編的《工程光學》中提到的符號規(guī)則[1]。這個符號規(guī)則的第一條表述為：“沿軸線段：規(guī)定光線的傳播方向自左至右為正方向，以折射面頂點O為原點，由頂點到光線與光軸交點(A, A′)或球心(C)的方向和光線傳播方向相同時取正，相反時取負”。因此，圖1中的物方截距記作-l，像方截距表示為l′，球面曲率半徑記為r。根據該符號規(guī)則的第二條：“垂軸線段：以光軸為基準，在光軸以上為正，在光軸以下為負。”，則圖1中物AB的大小記作y，像A′B′的大小表示為y′。值得注意的是，圖1所示的凸面鏡成像示意圖中各量都是幾何量，都用絕對值表示。也就是說，凡是負值的量，圖中相應量的符號前面都要加上負號。

單個折射球面的物象位置關系為[1]：

(1)

式中，n和n′分別表示物方和像方的折射率。反射定律可以看做是折射定律的特殊情況，凡是基于折射定律推導得到的光線經過界面折射有關的公式，只要令n′=-n便可以得到光線經過界面反射時的有關公式[11]。因此，將式(1)中的n′替換為-n便可以得出凸面鏡的物像位置公式。即：

(2)

3物像位置關系推導凸面鏡成像規(guī)律

上面對凸面鏡成像規(guī)律和物像位置公式分別作了簡要的介紹，接下來就利用得出的凸面鏡物像位置公式(即式(2))從理論上給出凸面鏡成像規(guī)律的推導過程。垂直放大率(也稱為橫向放大率)是探明光學系統(tǒng)成像規(guī)律的重要參量，用來描述物體成像前后高度之間的關系。因此，我們就從垂直放大率入手研究凸面鏡的成像規(guī)律。

垂直放大率定義為像的大小與物的大小之比，一般用表示β。在圖1所示的凸面鏡成像中，β即為y′和y的比值，如下式所示。

(3)

根據式(3)，可以確定光學系統(tǒng)的成像特性，即像的正倒、虛實、放大與縮小。

對于凸面鏡，在圖1中ΔA′B′C和ΔABC相似。所以，

(4)

(5)

式中，Q為阿貝不變量[1]。

(6)

(7)

上式再次利用了“反射是折射在n′=-n時的特例”的原理[1]。由式(2)可得，

(8)

(9)

(10)

式(10)就是通過物像位置關系公式得出的凸面鏡垂直放大率。由符號規(guī)則可知：l<0且r>0，故0<β<1。β>0，即y′和y符號相同，表示成正立的像；同時，β<1，表示成縮小的像。另外，l′和l符號相反，物像虛實相反，即凸面鏡成虛像。所以，凸面鏡成正立、縮小的虛像。至此，我們通過物像位置公式等解析方法推導了凸面鏡成像的放大率并且從數學的角度分析得出了凸面鏡成正立、縮小的虛像的成像規(guī)律。

4結論

凸面鏡是構成光學系統(tǒng)的基本單元，物像位置公式是研究光學系統(tǒng)成像的基本理論。

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An Investigation on Imaging Laws of Convex Mirrors by Location Relationship between Objects and Images

LIU Chunxiao1， ZI Zhenfa2

(1.SchoolofOptoelectronicEngineering,NanjingUniversityofPosts&Telecommunications,

Nanjing210023,China;

2.SchoolofElectronicandInformationEngineering,HefeiNormalUniversity,Hefei230601,China)

Abstract：Convex mirrors play an important role in the industry and scientific research. Investigations on imaging laws of convex mirrors by the traditional graphing method cannot meet the demand for accuracy. The location relationship between objects and images is utilized to obtain the lateral (or transverse) magnification of convex mirrors in the present work. The mathematical expression of the imaging law of convex mirrors is derived from the analysis of the lateral (or transverse) magnification.

Key words：convex mirror; imaging law; location relationship between objects and images; lateral (or transverse) magnification

[中圖分類號]G61

[文獻標識碼]A

[文章編號]1674-2273(2015)06-0036-02

作者簡介][第一 劉春曉(1982-)，男，安徽六安人，博士，南京郵電大學光電工程學院副教授。主要從事光波導、光隔離器和光纖激光器等方面的研究工作。

[基金項目]南京郵電大學引進人才科研啟動基金(NY214159)，大學物理及實驗教學團隊(2013jxtd02)，普通物理學教改示范項目(2011jgsf02)

[收稿日期]2015-06-05