江蘇海門市東洲國(guó)際學(xué)校（226100） 潘建軍

談?dòng)?jì)算教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感
——“整數(shù)四則混合運(yùn)算”復(fù)習(xí)課教學(xué)片斷及反思

江蘇海門市東洲國(guó)際學(xué)校（226100） 潘建軍

學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)應(yīng)貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)全過程。在四則混合運(yùn)算教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力是主要目標(biāo)，但并不是唯一的目標(biāo)，教師還要有意識(shí)地注重學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，這也是一個(gè)十分重要的任務(wù)。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感主要是對(duì)運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)，這樣能使看似機(jī)械枯燥的四則混合運(yùn)算“活”起來，增強(qiáng)課堂教學(xué)的生命力。

數(shù)感 四則混合運(yùn)算 估測(cè) 思考

課前思考

數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。同時(shí)，數(shù)感是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）提出的十個(gè)核心概念之一，位于十個(gè)核心概念之首，并將數(shù)感表述為感悟，揭示了這一概念的兩重屬性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、領(lǐng)悟。而且，史寧中、呂世虎認(rèn)為：“數(shù)感是對(duì)數(shù)的感悟。‘感’是外界刺激作用于主體而產(chǎn)生的，是通過肢體（如感官等）而不是通過大腦思維，它含有原始的、經(jīng)驗(yàn)性的成分。‘悟’是主體自身的，是通過大腦思維而產(chǎn)生的。‘感悟’既通過肢體，又通過大腦。因此，‘感悟’既有感知的成分，又有思維的成分?！?/p>

很明顯，在“整數(shù)四則混合運(yùn)算”復(fù)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感主要是對(duì)運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)。我認(rèn)為，結(jié)合四則混合運(yùn)算，對(duì)運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)可以分為三個(gè)層次：第一層次，在四則混合運(yùn)算中，要有判斷計(jì)算結(jié)果的意識(shí)；第二次，在第一層次的基礎(chǔ)上，既能根據(jù)有關(guān)的特殊數(shù)的規(guī)律，如0乘、除任何數(shù)都得0等，又能根據(jù)所積累的相關(guān)計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，如和大于加數(shù)、差小于被減數(shù)等，靈活合理地估測(cè)結(jié)果，進(jìn)一步提高估測(cè)的能力；第三層次，在第二層次的基礎(chǔ)上，能對(duì)提供的運(yùn)算數(shù)據(jù)和符號(hào)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，主?dòng)創(chuàng)造條件，合理靈活地估測(cè)結(jié)果。這三個(gè)層次都有對(duì)運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)，但估測(cè)水平是不一樣的，從最基本的對(duì)一步計(jì)算結(jié)果的估測(cè)，到比較高級(jí)的混合運(yùn)算結(jié)果的估測(cè)，再到根據(jù)已有數(shù)感自覺地對(duì)提供的運(yùn)算數(shù)據(jù)、符號(hào)進(jìn)行變形，靈活、簡(jiǎn)捷地估測(cè)多步計(jì)算的結(jié)果。能力的提高本身就是一個(gè)漸進(jìn)的過程，需要在自身的實(shí)踐活動(dòng)中不斷地積累經(jīng)驗(yàn)，并通過對(duì)運(yùn)算數(shù)據(jù)與符號(hào)的處理和對(duì)估計(jì)結(jié)果與實(shí)際結(jié)果的不斷比較，優(yōu)化估計(jì)認(rèn)識(shí)，從而使數(shù)感漸漸得到發(fā)展。

課堂回放

教學(xué)片斷一：

出示題目：下面幾題的一般運(yùn)算順序是怎樣的？你能用①②③④在練習(xí)紙上標(biāo)出來嗎？

（1）816＋816÷12 （2）800－800÷16×12

（3）（132＋68）×（97－57） （4）702÷（720－21×33）

師：運(yùn)算順序明確了，在具體計(jì)算前，我們?cè)賮砼袛嘁幌碌冢?）和第（2）題，哪一題的得數(shù)大一些？說出你的理由。

生1：第（1）題的得數(shù)大于816。

師：你是怎么思考的？

生1：816加上一個(gè)數(shù)的和肯定大于816。

生2：816加上一個(gè)數(shù)就是再往后數(shù)幾個(gè)數(shù)，當(dāng)然是越數(shù)越大。

生3：第（2）題的得數(shù)小于800。

生4：800減一個(gè)數(shù)，就是從800往前數(shù)幾個(gè)數(shù)，越數(shù)越小。

師：也就是說，第（1）題的得數(shù)大于第（2）題的得數(shù)。

［反思：對(duì)于任何一道四則混合運(yùn)算題，首先要有估算的意識(shí)，而不是一味地動(dòng)手計(jì)算。學(xué)生對(duì)運(yùn)算數(shù)據(jù)和符號(hào)的觀察，需要借助一定的載體，源于一定的問題。因此，課堂教學(xué)中，教師出示題目后，不是讓學(xué)生馬上動(dòng)筆計(jì)算，而是讓學(xué)生先估計(jì)并比較兩題結(jié)果的大小，使學(xué)生對(duì)計(jì)算有一定的期盼。但對(duì)結(jié)果的估計(jì)，不是無邊無際的，而是有一定的依據(jù)，如和與加數(shù)的大小關(guān)系、差與被減數(shù)的大小關(guān)系等，這些都是已有的經(jīng)驗(yàn)，需要對(duì)這樣的經(jīng)驗(yàn)不斷進(jìn)行喚醒，在激活、運(yùn)用的過程中提升學(xué)生的元認(rèn)知能力，這樣數(shù)感的培養(yǎng)才能真正落到實(shí)處。］

師：你能不改變數(shù)據(jù)和符號(hào)，添上括號(hào)讓第（1）題的得數(shù)變小一些嗎？

生5：（836＋836）÷12。

師：怎么判斷它的得數(shù)變小？

生6：（836＋836）÷12＝836÷12＋836÷12，與816＋816÷ 12相比，一個(gè)加數(shù)836÷12相同，另一個(gè)加數(shù)836÷12＜836，所以得數(shù)變小了。

師：嚴(yán)密的推理證明。

生7：其實(shí)，結(jié)合生活很容易理解，即兩個(gè)數(shù)合在一起被分，肯定小于只有一個(gè)數(shù)被分的。

師：第（2）題的得數(shù)能不能再小一些？怎么辦？

生8：（800－800）÷16×12。

師：得數(shù)是多少？

生：0。

師：0是一個(gè)特殊的數(shù)，在計(jì)算中利用它的特殊性可以幫助我們估測(cè)和計(jì)算結(jié)果。

……

［反思：初步計(jì)算后，教師不是就此結(jié)束教學(xué)，而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：“你能不改變數(shù)據(jù)和符號(hào)，添上括號(hào)讓第（1）題的得數(shù)變小一些嗎？”這時(shí)問題聚焦于怎樣根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，通過改變運(yùn)算順序，達(dá)到改變計(jì)算結(jié)果的目的。這對(duì)于發(fā)展學(xué)生的數(shù)感是非常有幫助的，因?yàn)閷?duì)計(jì)算結(jié)果的估計(jì)往往是在綜合觀察及思考運(yùn)算數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)、運(yùn)算符號(hào)與符號(hào)、運(yùn)算數(shù)據(jù)與符號(hào)的基礎(chǔ)上，對(duì)整個(gè)算式的一種全局性把握，而且這樣一種整體把握常常需要借助于算式與算式之間的比較，才能更好地激活思維，發(fā)現(xiàn)計(jì)算數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)與運(yùn)算符號(hào)之間的微妙關(guān)系。這是數(shù)感的一種具體體現(xiàn)，所以應(yīng)不斷積累、優(yōu)化對(duì)這樣微妙關(guān)系的認(rèn)識(shí)，這樣數(shù)感的培養(yǎng)就有了堅(jiān)實(shí)的基點(diǎn)作支撐。學(xué)生對(duì)于怎么判斷得數(shù)變小的思考過程的暴露，就是物化學(xué)生“悟”的過程，使數(shù)感的發(fā)展從無形變有形、從內(nèi)隱變外顯，變成一種可共享的資源，從而將數(shù)感的發(fā)展變得有形有跡，而不再是虛無縹緲的。］

教學(xué)片斷二：

師：41×99，誰(shuí)能算？

生1：41×99＝41×（100－1）＝4100－41＝4059。

師：依據(jù)是什么？

生1：乘法分配律。

師：有沒有不同的思考？可以列豎式計(jì)算嗎？

生：可以。

師：我們?yōu)槭裁床贿x擇列豎式計(jì)算？

生：因?yàn)榭梢院?jiǎn)算。

師：簡(jiǎn)算更利于鍛煉我們的思維。如果改成41×90，該怎樣算？

生2：將41×90看成41×9，再在積的末尾添上一個(gè)0。

師：依據(jù)是什么？

生2：乘法結(jié)合律。

師：算法為什么不一樣？

生：數(shù)據(jù)不一樣。

師：那改成41×25呢？

生3：41×25＝（40＋1）×25＝40×25＋25＝1025，這是依據(jù)乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算的。

師：再改成44×25，怎樣算？

生4：44×25＝（40＋4）×25＝40×25＋4×25＝1100。

生5：44×25＝11×4×25＝11×100＝1100。

師：反思這一組題，為什么算法都不一樣？你對(duì)這樣的計(jì)算題有什么想說的嗎？

生6：需要仔細(xì)觀察問題，根據(jù)具體數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，合理地進(jìn)行巧妙計(jì)算。

……

［反思：數(shù)感哪兒來？數(shù)感不是對(duì)數(shù)的被動(dòng)感受，而是在實(shí)際解決問題的過程中，通過不斷地對(duì)比、感悟，才能使自己對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)的感受逐漸深刻。同樣的乘法，類似的相關(guān)數(shù)據(jù)，但就是這么細(xì)微的差別，往往決定了所用計(jì)算方法的不同，而這樣的不同，就是對(duì)不同數(shù)的不同感受。這樣不同的感受，可以幫助學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中，很快地對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行估計(jì)與把握，因?yàn)楣浪闩c精算往往是相輔相成的。只有不斷提高學(xué)生的精算能力，學(xué)生的估算能力才能不斷得到提升。數(shù)感好的人，往往不必借助計(jì)算器就能對(duì)相關(guān)的計(jì)算結(jié)果做出估計(jì)，且結(jié)果八九不離十；而數(shù)感差的人，對(duì)運(yùn)算結(jié)果毫無感覺，甚至有時(shí)運(yùn)算結(jié)果與正確結(jié)果已經(jīng)相差十萬(wàn)八千里，但還蒙在鼓里，渾然不知。］

課后感想

如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，我想了很多，有一天觀察學(xué)生的作業(yè)，更感到數(shù)感對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)的重要性。如一位學(xué)生計(jì)算（2．8＋27．2）×0．5時(shí)，第一次算成了（2.8+27.2）×0. 5=3×0．5＝1．5，我指出2．8＋27．2不可能等于3后，他又算成了（2.8+27.2）×0.5=35×0．5＝17．5。該學(xué)生計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因有多方面的，而且對(duì)運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)幾乎是空白的。所以，對(duì)于一門與數(shù)據(jù)打交道的學(xué)科來說，如果沒有對(duì)運(yùn)算結(jié)果的一定估計(jì)能力，時(shí)刻在運(yùn)算過程中保持對(duì)結(jié)果可能性的一種自我監(jiān)控，那么這樣的學(xué)習(xí)效果可想而知，這可能也是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把數(shù)感作為十個(gè)核心概念之首的原因吧！

作為基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，教師真的不能沒有作為。那么，怎樣培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感呢？就四則混合運(yùn)算的教學(xué)而言，我想：“結(jié)合具體的計(jì)算環(huán)境，提供具有鮮明對(duì)比度的變式練習(xí)，通過一題多變、一題多用等訓(xùn)練，在學(xué)生深切的感受中，或許數(shù)感能慢慢地培養(yǎng)起來。”隨著學(xué)生計(jì)算活動(dòng)的豐富，計(jì)算中獲得的許多緘默性的知識(shí)，需要教師及時(shí)地幫助學(xué)生進(jìn)行激活、喚醒，依靠這樣的激活、喚醒，學(xué)生對(duì)混合運(yùn)算結(jié)果的估測(cè)水平才能不斷得到提高。

學(xué)生是天生的學(xué)習(xí)者，在數(shù)感培養(yǎng)的過程中，學(xué)生不是沒有能力的，更多的時(shí)候是因?yàn)闆]有平臺(tái)、沒有翅膀，而沒有飛翔的機(jī)會(huì)。從學(xué)生的反映來看，首先，學(xué)生對(duì)于這樣的計(jì)算練習(xí)，由于充滿挑戰(zhàn)性而倍感興趣，且計(jì)算需要按一定的程序操作，更需要思考怎樣合理簡(jiǎn)捷地操作；其次，數(shù)據(jù)的特殊性本身就是數(shù)感的重要組成，只有感受到不同數(shù)據(jù)、不同計(jì)算情景中的不同特殊性，數(shù)感才能真正發(fā)展起來；再次，計(jì)算能力的提高是一個(gè)綜合實(shí)踐的結(jié)果，其中估測(cè)能力與精算能力的和諧發(fā)展才是有效的。反之，混合運(yùn)算教學(xué)中如果一味地重復(fù)練習(xí)，相類似的習(xí)題之間缺少對(duì)比，連學(xué)生的感官都進(jìn)入不了的話，又何談關(guān)于數(shù)的感悟呢？

（責(zé)編 杜 華）

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1007-9068（2015）26-028