王 雁

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川 南充 637002)

基于最優(yōu)混合copula函數(shù)在股票市場(chǎng)中的研究

王 雁

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川 南充 637002)

混合copula函數(shù)在刻畫金融數(shù)據(jù)尾部相關(guān)性時(shí)具有更好的靈活性,基于此在描述上證指數(shù)及滬深300股指期貨的相關(guān)關(guān)系中對(duì)比了三種混合copula函數(shù)的模型．模型一:混合Clayton-Gumbel copula函數(shù);模型二:混合Clayton-Frank copula函數(shù);模型三:混合Clayton-Gumbel-Frank copula函數(shù)．根據(jù)AIC準(zhǔn)則、K-S檢驗(yàn)選擇最優(yōu)擬合模型．實(shí)證結(jié)果表明兩個(gè)序列存在非對(duì)稱的尾部相關(guān)性;從擬合效果來看,模型三是刻畫序列間相關(guān)關(guān)系的最優(yōu)模型．

混合copula函數(shù);非參數(shù)核密度估計(jì);EM算法;尾部相關(guān)性

copula理論是sklar于1959年提出的,因?yàn)閏opula函數(shù)不僅能構(gòu)造多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布,也能刻畫隨機(jī)變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu),在各大金融領(lǐng)域有著很廣泛的應(yīng)用．而混合copula函數(shù)因其能更進(jìn)一步的描述金融資產(chǎn)相關(guān)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,所以近年來廣泛受到國內(nèi)外學(xué)者的青睞．在國內(nèi)的學(xué)者中,孫志賓給出了描述相關(guān)關(guān)系的混合copula函數(shù)模型,并給出了估計(jì)這類模型參數(shù)的EM算法,且用實(shí)證分析說明了混合copula函數(shù)是可以描述中國股市的相關(guān)關(guān)系[1];劉研認(rèn)為Clayton-copula,Gumbel-copula構(gòu)成的混合copula函數(shù)具有金融數(shù)據(jù)常見的對(duì)稱尾部依賴性及厚尾性質(zhì)[2];操穎利用混合copula函數(shù)分析了滬深股市和香港股市一體化的趨勢(shì),并得到了一些有益的結(jié)論[3]．本文的主要工作首先是基于阿基米德類copula函數(shù)構(gòu)造了三種混合copula函數(shù)模型;其次是利用非參數(shù)核密度估計(jì)方法和EM算法得到混合模型的參數(shù)值;最后對(duì)比分析了混合copula函數(shù)模型與單個(gè)copula函數(shù)對(duì)上證指數(shù)及滬深300股指期貨日收益率序列的擬合效果,并根據(jù)AIC準(zhǔn)則、K-S檢驗(yàn)選擇了最優(yōu)擬合模型．實(shí)證表明:上證指數(shù)與滬深300股指期貨日收益率序列存在非對(duì)稱的尾部相關(guān)性,具體為上端尾部相關(guān)性大于下端尾部相關(guān)性．

1 混合copula函數(shù)

1.1 阿基米德族copula函數(shù)

傳統(tǒng)的金融模型常用線性相關(guān)系數(shù)刻畫變量間的相關(guān)程度,但金融數(shù)據(jù)一般都存在波動(dòng)聚集、尖峰厚尾等性質(zhì)．線性相關(guān)系數(shù)已不能有效的刻畫金融序列間的相關(guān)關(guān)系．而阿基米德族族copula函數(shù)可以在描述變量間相關(guān)程度的同時(shí)刻畫變量間非線性的相關(guān)關(guān)系．下面以二維情況為例,介紹三種常用的阿基米德族copula函數(shù):

(1)Clayton-copula

Clayton-copula分布函數(shù)的表達(dá)形式為:

(1)

對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)為:

(2)

其中θ1∈(-1,0)∪(0,+∞)．

圖1 θ1=1的散點(diǎn)心圖

圖1為θ1=4時(shí)二元Clayton-copula模擬數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,從圖中可以發(fā)現(xiàn)Clayton-copula函數(shù)具有較厚的下尾部,因此Clayton-copula函數(shù)可以用來描述具有下尾高度相關(guān)的金融數(shù)據(jù)間的相關(guān)關(guān)系．

(2)Gumbel-copula

Gumbel-copula分布函數(shù)的表達(dá)形式為:

(3)

對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)為:

(4)

其中θ2∈[1,+∞)．

圖2 θ2=4的散點(diǎn)心圖

圖2為θ2=4時(shí)二元Gumbel-copula模擬數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,可以發(fā)現(xiàn)Gumbel-copula函數(shù)具有較厚的上尾部．因此,Gumbel-copula函數(shù)可以用來描述具有上尾高度相關(guān)的金融數(shù)據(jù)間的相關(guān)關(guān)系．

(3)Frank-copula

Frank-copula分布函數(shù)的表達(dá)形式為:

(5)

對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)為:

(6)

其中θ3∈(-∞,0)∪(0,+∞)．

圖3 θ=15的散點(diǎn)心圖

圖3為θ3=15時(shí)二元Frank-copula模擬數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,圖中可以發(fā)現(xiàn)Frank-copula函數(shù)具有對(duì)稱性,因此Frank-copula函數(shù)可以用來描述具有對(duì)稱結(jié)構(gòu)的金融數(shù)據(jù)間的相關(guān)關(guān)系．

1.2 混合copula函數(shù)

從1.1節(jié)可以看出不同的copula函數(shù)能刻畫不同的尾部相關(guān)性,因此考慮將多個(gè)copula函數(shù)混合,構(gòu)成新的copula[4]．從而更好地描述數(shù)據(jù)的尾部相關(guān)性,二維混合copula函數(shù)的模型如下:

(7)

其中Ck(u1,u2|θk)為已知的copula函數(shù),θk為相關(guān)參數(shù),λk為權(quán)重參數(shù),λk滿足如下條件:

(8)

本文主要構(gòu)造、對(duì)比了以下三種混合copula函數(shù)模型,并利用AIC準(zhǔn)則[6]選擇出最優(yōu)的混合copula函數(shù)模型．

當(dāng)權(quán)重參數(shù)λ1=λ2=0.5,Clayton-copula,Gumbel-copula構(gòu)成的混合copula函數(shù)具有金融數(shù)據(jù)常見的對(duì)稱尾部依賴性及厚尾性質(zhì)[2]．基于此建立的模型一為Clayton-Gumbel copula函數(shù),即

(9)

由于Clayton-copula能描述金融序列的下端尾部相關(guān)性,而Frank-copula能刻畫序列間對(duì)稱的尾部相關(guān)性．所以模型二為Clayton-Frank copula函數(shù),即

(10)

由Clayton-copula,Gumbel-copula,Frank-copula構(gòu)成的混合copula函數(shù)能捕捉到金融數(shù)據(jù)對(duì)稱、非對(duì)稱、尾部相關(guān)的相關(guān)模式．所以模型三為Clayton-Gumbel-Frank copula函數(shù),即

(11)

2 估計(jì)方法

(12)

對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)為:

(13)

可得(X,Y)的對(duì)數(shù)似然函數(shù):

(14)

對(duì)上式的估計(jì),可以分為如下兩步．

第一步:

(15)

(16)

(17)

采用EM算法[1]估計(jì)λk,θk．

3 實(shí)證分析

3.1 描述性統(tǒng)計(jì)量分析

上證指數(shù)及滬深300股指期貨的日收益率時(shí)間序列圖和描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果分別如圖4和表1所示．

圖4 上證指數(shù)和滬深300股指期貨日收益率時(shí)序圖

表1 收益率序列的描述統(tǒng)計(jì)

從圖4中可以看出兩個(gè)收益率序列的波動(dòng)性具有顯著的聚集現(xiàn)象,并且它們之間的波動(dòng)性具有一定程度的相似性．從表1中得到兩個(gè)收益率序列的偏度值均小于0,峰度均大于3,因此說明兩個(gè)序列具有尖峰厚尾的特性,并且通過J-B檢驗(yàn)拒絕了正態(tài)性假設(shè)．

3.2 基于copula和混合copula的分析

3.2.1 估計(jì)邊緣分布

hxt=0.450 2,hyt=0.383 7

表2 邊緣分布估計(jì)值序列的均勻分布檢驗(yàn)

3.2.2 單個(gè)copula的函數(shù)估計(jì)

通過表3,可以看出Clayton-copula,Gumbel-copula,Frank-copula都通過了K-S檢驗(yàn)(概率值大于0.05),說明這三類copula函數(shù)均能有效的刻畫上證指數(shù)與滬深300股指期貨日收益率序列的相關(guān)關(guān)系．其中Gumbel-copula的AIC值、歐式平方最小,因而擬合效果最好;Frank-copula次之;Clayton-copula的AIC值、歐式平方最大,擬合效果最差．

表3 單個(gè)copula的函數(shù)估計(jì)值及擬合優(yōu)度

3.2.3 混合copula函數(shù)的估計(jì)

為得到混合copula的最優(yōu)模型,主要對(duì)比了下列三種混合copula函數(shù)模型．模型參數(shù)估計(jì)值均由Matlab軟件編程實(shí)現(xiàn)．

模型一:

其中λi為權(quán)重參數(shù),θi為相關(guān)參數(shù)．

表4 模型一Clayton,Gumbel copula構(gòu)成的混合copula的參數(shù)估計(jì)值

模型二:

其中λi為權(quán)重參數(shù),θi為相關(guān)參數(shù)．

表5 模型二Clayton,Frank copula構(gòu)成的混合copula的參數(shù)估計(jì)值

具體模型為:

模型三:

其中λi為權(quán)重參數(shù),θi為相關(guān)參數(shù)．

表6 模型三Clayton,Gumbel,Frank copula構(gòu)成的混合copula的參數(shù)估計(jì)值

4 結(jié)論

通過對(duì)上證指數(shù)與滬深300股指期貨日收益率序列相關(guān)關(guān)系的建模分析,得到如下的結(jié)論:一方面Clayton-Gumbel-Frank copula函數(shù)是刻畫上證指數(shù)與滬深300股指期貨日收益率序列相關(guān)關(guān)系的最優(yōu)模型．另一方面上證指數(shù)與滬深300股指期貨日收益率序列存在非對(duì)稱的尾部相關(guān)性,當(dāng)分布的尾部發(fā)生股價(jià)的暴漲或暴跌時(shí),上證指數(shù)與滬深300股指期貨的協(xié)同作用將會(huì)增強(qiáng)、相關(guān)性將會(huì)增大．

[1] 孫志賓.混合copula模型在中國股市中德應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2007,37:14-18

[2] 劉 研.混合連接函數(shù)模型及其在風(fēng)險(xiǎn)度量中德應(yīng)用[D].北京:中國人民大學(xué),2008

[3] 操 穎,方兆本.基于混合copula函數(shù)的滬深股市與香港一體化趨勢(shì)分析[J].中國科學(xué)技術(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2014,44:508-515

[4] Nelsen R B.An introduction to copulas[M].New York:Springer Verlag,1998

[5] Silverman B W.Density Estimation of Statistics and Data Analysis[M].London:Chapman and Hall,1986

[6] 韋艷華.copula理論及其在多變量金融時(shí)間序列分析上的應(yīng)用研究[D].天津:天津大學(xué),2004

The study of stock market Based on Mix-copula Model

Wang Yan

(School of mathematics and information,China West Normal University, Nanchong 637002, China)

Mix-copula model has better flexibility when describing the tail correlation of financial data.So established three Mix-copula Models to describe the correlation of Shanghai index and the csi 300 stock index futures.Model 1:Clayton-Gumbel copula;Model 2:Clayton-Gumbel copula;Model 3:Clayton-Gumbel-Frank copula.According AIC criterion and K-S test to choose the best fitting model.The empirical results show that two sequences exist asymmetric tail correlation and Model 3 is the optimal model to describe the correlation of sequence.

mix-copula;nonparametric kernel density estimation;em-algorithm;tail dependence

2015-01-02

王 雁(1992-),女,西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院碩士研究生,主要從事統(tǒng)計(jì)學(xué)理論及應(yīng)用研究.

1672-2027(2015)01-0038-06

F830

A