李 磊李國(guó)林劉潤(rùn)杰

①(海軍航空工程學(xué)院 煙臺(tái) 264001)

②(解放軍第91918部隊(duì) 北京 102300)

基于相干積累矩陣重構(gòu)的波達(dá)方向估計(jì)新方法

李 磊*①李國(guó)林①劉潤(rùn)杰②

①(海軍航空工程學(xué)院 煙臺(tái) 264001)

②(解放軍第91918部隊(duì) 北京 102300)

針對(duì)短時(shí)小樣本條件下相干信號(hào)的波達(dá)方向(Direction Of Arrival, DOA)估計(jì)問(wèn)題，該文提出了一種基于相干積累矩陣重構(gòu)的快速解相干方法。首先利用相干積累技術(shù)對(duì)陣列接收快拍進(jìn)行處理，得到累積快拍矢量，提高了數(shù)據(jù)信噪比。再依據(jù)累積快拍矢量的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)非降維等效協(xié)方差矩陣，理論分析可知，該矩陣的秩僅與信源個(gè)數(shù)相等，與信號(hào)間相關(guān)性無(wú)關(guān)，即實(shí)現(xiàn)了相干信源完全解相干。相較于空間平滑類算法，該方法避免了陣列孔徑損失，估計(jì)精度高、計(jì)算量小。仿真結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性。

波達(dá)方向(DOA)估計(jì)；相干信號(hào)；相干積累；孔徑損失

1 引言

波達(dá)方向(Direction Of Arrival, DOA)估計(jì)在雷達(dá)、通信等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用[1－3]，但探測(cè)空間存在的相干或強(qiáng)相關(guān)信號(hào)會(huì)導(dǎo)致陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣出現(xiàn)秩虧，信號(hào)子空間向噪聲子空間擴(kuò)散，導(dǎo)致子空間類算法估計(jì)性能下降甚至失效。同時(shí)，在彈載陣列探測(cè)系統(tǒng)中，對(duì)測(cè)向算法的估計(jì)精度及算法的解算實(shí)時(shí)性要求更高，因此，研究相干信源條件下高精度、低計(jì)算復(fù)雜度的新方法具有重大實(shí)際意義。

常用的解相干預(yù)處理方法可分為降維處理[4－6]和非降維處理[7－12]兩類。其中，降維處理解相干算法主要以空間平滑類算法[4](Spatial Smoothing, SS)及其改進(jìn)算法[5,6]為代表，它將傳感器陣列劃分為多個(gè)具有平移特性的子陣，通過(guò)子陣協(xié)方差矩陣的疊加實(shí)現(xiàn)協(xié)方差矩陣的秩與信源個(gè)數(shù)相等。為避免陣列孔徑損失，文獻(xiàn)[7-9]提出一類Toeplitz矩陣重構(gòu)算法，通過(guò)恢復(fù)協(xié)方差矩陣的秩實(shí)現(xiàn)解相干，避免了空間平滑，但矩陣構(gòu)造過(guò)程需要大量陣列接收數(shù)據(jù)互相關(guān)運(yùn)算，計(jì)算量較大。文獻(xiàn)[10]提出一種直接數(shù)據(jù)域取對(duì)稱共軛向量解相干的方法，但要求相干信號(hào)個(gè)數(shù)不大于兩個(gè)。文獻(xiàn)[11,12]利用高階累積量的陣列擴(kuò)展能力，基于陣列快拍數(shù)據(jù)的4階累積量結(jié)合時(shí)間平滑處理實(shí)現(xiàn)相干多徑的DOA估計(jì)并具有抑制高斯色噪聲的能力，且估計(jì)信源個(gè)數(shù)超過(guò)陣元個(gè)數(shù)，但上述算法均建立在大量時(shí)域累計(jì)快拍的基礎(chǔ)上，且計(jì)算復(fù)雜度高，不適用于實(shí)時(shí)性高的應(yīng)用背景。

針對(duì)短時(shí)小樣本條件下相干信號(hào)的DOA估計(jì)問(wèn)題，相關(guān)文獻(xiàn)較少。文獻(xiàn)[13,14]將坐標(biāo)原點(diǎn)建立在陣列幾何中心，利用陣列單次快拍接收數(shù)據(jù)構(gòu)建Toeplitz矩陣實(shí)現(xiàn)了相干信號(hào)解相干，但實(shí)質(zhì)上損失了陣列一半的孔徑，估計(jì)誤差過(guò)大。文獻(xiàn)[15]首次提出了一種利用少快拍數(shù)進(jìn)行相干積累，并結(jié)合矢量奇異值分解算法實(shí)現(xiàn)相干信號(hào)DOA估計(jì)的算法(CAV-SS算法)，但同樣存在陣列孔徑損失問(wèn)題。基于以上問(wèn)題，本文提出一種基于相干積累矩陣重構(gòu)的快速解相干算法。該算法首先基于相干積累原理對(duì)短快拍陣列接收數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到累積快拍矢量，然后利用該矢量第1個(gè)元素與特征矢量進(jìn)行復(fù)乘，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建一個(gè)非降維的等效協(xié)方差矩陣，經(jīng)公式推導(dǎo)證明，矩陣的秩與信源個(gè)數(shù)相同，與信號(hào)間相關(guān)性無(wú)關(guān)，即實(shí)現(xiàn)了信源的完全解相干。同時(shí)，該算法通過(guò)相干積累實(shí)現(xiàn)了信號(hào)能量的積累，提高了算法的抗噪性，且有效避免了陣列孔徑損失，分辨率高、計(jì)算量小。

2 數(shù)據(jù)模型與問(wèn)題的提出

2.1 數(shù)據(jù)模型

假設(shè)M個(gè)各向同性陣元組成均勻線性陣列，陣元間距為d，陣元編號(hào)為1,2,…,M。N個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)sk(t)(k=1,2,…,N)分別以與陣列法線夾角θk的方向入射。陣列噪聲為加性高斯白噪聲，且噪聲與信號(hào)相互獨(dú)立。以編號(hào)1陣元為參考原點(diǎn)，陣列觀測(cè)信號(hào)的矢量表示為：

2.2 相干積累矢量平滑算法

由式(5)可知，每一次快拍矢量均可表示為陣列流型矩陣A(θ)中所有導(dǎo)向矢量的一個(gè)線性組合，即含有信源入射角度所有信息，而多次快拍數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)相干積累能夠提高信噪比[15]，文獻(xiàn)[15]即利用該性質(zhì)提出了相干積累矢量平滑算法(CAV-SS)。下面對(duì)該算法進(jìn)行簡(jiǎn)介。

假設(shè)信號(hào)載頻ω已知，首先構(gòu)造K維相干積累列向量

由于F頻率與信號(hào)載頻相同，則能對(duì)信號(hào)進(jìn)行能量積累，則累積快拍相較于一次快拍數(shù)據(jù)能夠有效提高信噪比。然后，利用累積快拍矢量V構(gòu)造式(7)中前后向空間平滑矩陣

其中，T為陣列輸出的采樣周期。通過(guò)向量F對(duì)K次陣列輸出的采樣快拍進(jìn)行相干積累，構(gòu)造M×1維累積快拍矢量V，即

通過(guò)對(duì)該矩陣進(jìn)行一次奇異值分解結(jié)合常規(guī)子空間類算法即可實(shí)現(xiàn)對(duì)入射信源的DOA估計(jì)，為確保rank(Y)=N,p的選擇范圍為N＜p＜(M-N/2+1)，即算法存在較大的陣列孔徑損失。

3 相干積累矩陣重構(gòu)解相干算法

首先，通過(guò)相干積累得到累積快拍矢量，即將式(5)代入至式(7)中，則M×1維累積快拍矢量V可展開(kāi)為：

將式(10)所示累積快拍矢量與式(5)所示單次快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比可知，累積快拍矢量不僅可表示為陣列流型矩陣A(θ)中所有導(dǎo)向矢量的線性組合，且其中信號(hào)分量幅值增強(qiáng)了K倍，而噪聲能量無(wú)法得到累積，因此提高了信噪比。矢量V的第m個(gè)元素可表示為：

定義M×1維特征矢量該矢量的第m個(gè)元素定義如下：

其中V(1)表示矢量V第1個(gè)元素。利用矢量構(gòu)建M×M維等效協(xié)方差矩陣：

下面證明矩陣R~可分解為陣列數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣形式，且矩陣的秩僅與信源個(gè)數(shù)有關(guān)，與信源間的相干性無(wú)關(guān)。證明如下：

由式(21)可以得知，式(20)所有對(duì)角元素相等，均可由表示。此時(shí)，將式(14)，式(17)代入至式(20)，即可證明式(18)等式左右兩側(cè)相等。 證畢

顯然，無(wú)論信號(hào)間是否相關(guān)，對(duì)角陣G的對(duì)角元素均不為零，且A(θ)為列滿秩矩陣，則rank(G)=N，即實(shí)現(xiàn)了相干信源的完全解相干。由式(18)形式可知，通過(guò)對(duì)矩陣進(jìn)行一次特征分解并結(jié)合常規(guī)子空間類算法即可實(shí)現(xiàn)相干信源的DOA估計(jì)。由于等效協(xié)方差矩陣為M×M維矩陣，則M陣元均勻線陣最多可估計(jì)M-1個(gè)相干信源，即算法無(wú)孔徑損失。且對(duì)角陣G的對(duì)角元素形式(式(15))可以看出，當(dāng)信號(hào)完全相干時(shí)，gk為所有入射信號(hào)疊加功率的K2倍，即等效協(xié)方差矩陣的構(gòu)造大幅增大了信號(hào)能量，提高了信噪比，確保了算法在低信噪比下能夠保持穩(wěn)健的估計(jì)性能。

利用本文進(jìn)行相干信號(hào)DOA估計(jì)的具體步驟如下：

步驟1 獲取陣列觀測(cè)快拍數(shù)據(jù)X(t)；

步驟2 根據(jù)式(9)對(duì)X(t)進(jìn)行相干積累，得到累積快拍矢量(t)；

由算法具體步驟可知，本文算法的計(jì)算量主要集中在步驟2和步驟5，其中式(9)累積快拍矢量構(gòu)建約需O(KM)次復(fù)乘運(yùn)算，對(duì)式(13)構(gòu)建的矩陣進(jìn)行特征分解約需O(M3)次復(fù)乘運(yùn)算，較之CAVSS算法中對(duì)降維矩陣進(jìn)行矢量奇異值分解的運(yùn)算量有所增加，但避免了陣列孔徑損失；較之MSS算法[5]，本文算法計(jì)算量則降幅較大，MSS算法需要對(duì)大量時(shí)域累積快拍進(jìn)行互相關(guān)及空間平滑處理，需要約O((M-P)2L+(M-P)3)次復(fù)乘運(yùn)算(P為平滑次數(shù)，L為快拍次數(shù))，且MSS算法孔徑損失嚴(yán)重，分辨率低。

4 數(shù)值仿真分析

為驗(yàn)證算法的有效性，設(shè)計(jì)如下仿真試驗(yàn)。將本文算法與修正的空間平滑MSS算法[5]及同樣基于相干積累的CAV-SS算法[15]進(jìn)行對(duì)比，分析算法的優(yōu)點(diǎn)和局限性。

仿真1驗(yàn)證算法的解相干性能

考慮4個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，頻率f0=20 MHz ，信號(hào)形式為入射方向分別為-25°, -20°, 10°, 20°，采樣頻率為100 MHz。陣元個(gè)數(shù)M=8，陣元間距d=λ/2,λ為信號(hào)波長(zhǎng)，快拍次數(shù)為100次，相干積累次數(shù)K=30，信噪比SNR=5 dB，結(jié)合MUSIC算法得到本文算法、MSS算法及CAV-SS算法的空間譜曲線，如圖1(a)。仿真條件不變，考慮7個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)分別從角度-40°, -30°, -20°, 0°, 10°, 20°, 30°入射至8陣元均勻線陣，得到3種算法的空間譜曲線，如圖1(b)。

由信號(hào)形式可知，信號(hào)1與信號(hào)2為相干信號(hào)，信號(hào)3和信號(hào)4為相關(guān)信號(hào)，且與信號(hào)1和信號(hào)2是相關(guān)的。由圖1(a)可知，本文算法能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)4個(gè)信源的解相干，且算法的估計(jì)精度高于CAV-SS算法及MSS算法，尤其當(dāng)入射角度接近時(shí)(-25°與-20°)表現(xiàn)得更加明顯。分析原因，本文算法所構(gòu)造的等效協(xié)方差矩陣的秩與信源個(gè)數(shù)相等，與信源間相關(guān)性無(wú)關(guān)，因此實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的完全解相干，充分利用了陣列孔徑。而CAV-SS算法和MSS算法的實(shí)質(zhì)是對(duì)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的秩進(jìn)行恢復(fù)的過(guò)程，其解相干性能是以降低陣列自由度為代價(jià)的，估計(jì)性能與本文算法相比較低。由圖1(b)可知，本文算法M陣元均勻線陣最多可估計(jì)M-1個(gè)相干信源，而對(duì)比算法此時(shí)已經(jīng)無(wú)法對(duì)所有信號(hào)DOA進(jìn)行估計(jì)。

仿真2驗(yàn)證算法的角度分辨力

考慮仿真1中的2個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶相干信號(hào)s1(t)和s2(t)入射至8陣元均勻線陣，固定信號(hào)1的入射角角度為10°，改變信號(hào)2的入射角度，使其從0°至20°區(qū)間以0.5°為步長(zhǎng)步進(jìn)，快拍次數(shù)為100次，相干積累次數(shù)K=30，信噪比SNR=5 dB，每個(gè)入射角度下進(jìn)行200次Monte-Carlo統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，驗(yàn)證本文算法、CAV-SS算法及MSS算法的角度分辨力。僅改變陣元個(gè)數(shù)，分別得到8陣元(圖2(a))和15陣元(圖2(b))均勻線陣時(shí)算法DOA估計(jì)均方根誤差隨信號(hào)2入射角度變化曲線。

圖1 相干信號(hào)DOA估計(jì)性能Fig. 1 DOA estimation results of coherent signals

圖2 DOA估計(jì)誤差隨入射角度變化曲線Fig. 2 RMSE curve of DOA estimation with incident angle

由圖2可知，所有算法的DOA估計(jì)均方根誤差均隨角度差增大而遞減，且本文算法在相同角度差條件下的均方根誤差相較于CAV-SS算法、MSS算法更小。分析原因，本文算法在解相干的過(guò)程中未損失陣列自由度，而CAV-SS算法和MSS算法在信號(hào)協(xié)方差矩陣恢復(fù)秩的過(guò)程中均存在不同程度孔徑損失，降低了算法的估計(jì)性能。另一方面，將不同陣元數(shù)下的DOA估計(jì)性能進(jìn)行對(duì)比可知，當(dāng)陣元個(gè)數(shù)增大時(shí)，陣列的角度分辨力與陣列孔徑大小具有正比關(guān)系。

仿真3驗(yàn)證算法的估計(jì)性能隨信噪比變化關(guān)系

考慮仿真圖1(a)中4個(gè)信號(hào)，分別以同樣角度入射至15陣元均勻線陣，快拍次數(shù)為100次，相干積累次數(shù)K=30，改變?nèi)肷湫盘?hào)的信噪比，使其從0 dB至20 dB區(qū)間以1 dB為步長(zhǎng)步進(jìn)，每個(gè)信噪比下進(jìn)行200次Monte-Carlo統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，驗(yàn)證本文算法、CAV-SS算法及MSS算法DOA估計(jì)的均方根誤差(Root-Mean-Square Error, RMSE)隨信噪比的變化關(guān)系。DOA估計(jì)的RMSE定義為：

式中，N為信源個(gè)數(shù)，為估計(jì)值，為標(biāo)稱值。

由圖3可知，算法的估計(jì)均方根誤差均隨信噪比的增大而遞減，在同一信噪比下，本文算法的DOA估計(jì)均方根誤差低于CAV-SS算法，MSS算法的估計(jì)誤差最高。分析原因，本文算法及CAV-SS算法均在解相干矩陣的構(gòu)造過(guò)程中對(duì)信號(hào)能量進(jìn)行了積累，而噪聲分量卻無(wú)法進(jìn)行能力疊加，因此提高了數(shù)據(jù)的信噪比，而本文算法在等效協(xié)方差矩陣的構(gòu)造過(guò)程中通過(guò)對(duì)累積快拍矢量處理避免了陣列孔徑損失，因此本文算法的估計(jì)性能高于CAV-SS算法，而基于空間平滑原理的MSS算法不存在能量累積，且存在較大陣列孔徑損失，因此估計(jì)均方根誤差最大。

仿真4驗(yàn)證算法的估計(jì)性能隨累積快拍次數(shù)及信噪比的變化關(guān)系

仿真參數(shù)設(shè)定與仿真3相同，僅改變算法相干積累過(guò)程中所需的累積快拍次數(shù)，使累積快拍次數(shù)分別為K=10, 20, …, 60，改變信噪比，使其從0 dB至20 dB區(qū)間以1 dB為步長(zhǎng)步進(jìn)，每個(gè)信噪比下進(jìn)行200次Monte-Carlo統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，驗(yàn)證本文算法在不同累積快拍數(shù)下的估計(jì)性能隨信噪比的變化關(guān)系。由圖4可知，在同一信噪比條件下，本文算法的估計(jì)性能隨累積快拍次數(shù)的增加而不斷提高，但當(dāng)快拍次數(shù)大于30后，累積快拍次數(shù)的增加對(duì)算法的估計(jì)性能的影響逐漸減小。

圖3 DOA估計(jì)誤差隨信噪比變化曲線Fig. 3 RMSE curve of DOA estimation with SNR

圖4 DOA估計(jì)誤差隨累積快拍次數(shù)及信噪比變化曲線Fig. 4 RMSE curve of DOA estimation with accumulation snapshot and SNR

5 結(jié)論

針對(duì)短時(shí)小樣本條件下的相干信號(hào)DOA估計(jì)問(wèn)題，本文提出一種基于相干積累矩陣重構(gòu)的非降維快速解相干算法。算法通過(guò)對(duì)少量陣列接收快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行相干積累，得到累積快拍矢量，實(shí)現(xiàn)了信號(hào)能量的累積，提高了信噪比，同時(shí)通過(guò)公式推導(dǎo)證明了基于累積快拍矢量所構(gòu)造的非降維等效協(xié)方差矩陣的秩與信源個(gè)數(shù)相等，即實(shí)現(xiàn)了相干信源的完全解相干。相較于常規(guī)空間平滑算法，本文算法無(wú)需平滑處理，計(jì)算量小，且無(wú)孔徑損失，分辨率高。如何將本文算法思想應(yīng)用至多陣列誤差下的陣列空間譜估計(jì)領(lǐng)域是下一步的研究重點(diǎn)。

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[15]李濤, 李國(guó)林, 徐珩, 等. 采用相干積累矢量平滑實(shí)現(xiàn)小樣本信號(hào)解相干[J]. 西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 38(6): 113-116. Li Tao, Li Guo-lin, Xu Heng,et al.. Small sample signals' decorrelation using the coherent accumulation vector' spatial smoothing[J].Journal of Xidian University, 2011, 38(6): 113-116.

李 磊(1987-)，男，山東濟(jì)寧人，海軍航空工程學(xué)院在讀博士生，研究方向?yàn)槟繕?biāo)中近程探測(cè)、陣列信號(hào)處理等。

E-mail: lilei19880229@gmail.com

李國(guó)林(1955-)，男，吉林吉化人，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)閿?shù)字信號(hào)處理、近程目標(biāo)探測(cè)、識(shí)別與干擾。

劉潤(rùn)杰(1987-)，男，黑龍江大慶人，工程師，主要研究方向?yàn)槔走_(dá)信號(hào)處理。

Novel Direction Of Arrival Estimation Method Based on Coherent Accumulation Matrix Reconstruction

Li Lei①Li Guo-lin①Liu Run-jie②

①(Naval Aeronautical Engineering Institute,Yantai264001,China)

②(Unit91918of PLA,Beijing102300,China)

Based on coherent accumulation matrix reconstruction, a novel Direction Of Arrival (DOA) estimation decorrelation method of coherent signals is proposed using a small sample. First, the Signal to Noise Ratio (SNR) is improved by performing coherent accumulation operation on an array of observed data. Then, according to the structure characteristics of the accumulated snapshot vector, the equivalent covariance matrix, whose rank is the same as the number of array elements, is constructed. The rank of this matrix is proved to be determined just by the number of incident signals, which realize the decorrelation of coherent signals. Compared with spatial smoothing method, the proposed method performs better by effectively avoiding aperture loss with high-resolution characteristics and low computational complexity. Simulation results demonstrate the efficiency of the proposed method.

Direction Of Arrival (DOA) estimation; Coherent signals; Coherent accumulation; Aperture loss

TN911.7

：A

：2095-283X(2015)02-0178-07

10.12000/JR14116

李磊, 李國(guó)林, 劉潤(rùn)杰. 基于相干積累矩陣重構(gòu)的波達(dá)方向估計(jì)新方法[J]. 雷達(dá)學(xué)報(bào), 2015, 4(2): 178-184. http://dx.doi.org/10.12000/JR14116.

Reference format: Li Lei, Li Guo-lin, and Liu Run-jie. Novel direction of arrival estimation method based on coherent accumulation matrix reconstruction[J].Journal of Radars, 2015, 4(2): 178-184. http://dx.doi.org/ 10.12000/JR14116.

2014-10-22收到，2014-11-07改回；2014-12-10網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版

國(guó)家自然科學(xué)基金(61102165)資助課題

*通信作者： 李磊 lilei19880229@gmail.com