王彥平，鄭大彬

（1.湖北大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院，湖北武漢430062；2.西安翻譯學院基礎課部，陜西西安710105）

特征2域上的一類置換多項式

王彥平1，2，鄭大彬1

（1.湖北大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院，湖北武漢430062；2.西安翻譯學院基礎課部，陜西西安710105）

摘要：證明特征2的有限域上一類多項式為置換多項式，并給出一些具體例子.①

關鍵詞：有限域；特征2；置換多項式

0　引言及主要結(jié)果

設p是一個素數(shù)，GF(pn)是含有pn個元素的有限域，而GF*(pn)是有限域GF(pn)中除去零元素構(gòu)成的乘法群.如果f(x)∈GF[x]，且多項式映射f是GF(pn)到GF(pn)的一個一一映射，那么多項式f(x) 是GF(pn)上的一個置換多項式.置換多項式與非線性函數(shù)有非常緊密的聯(lián)系，而且在代數(shù)編碼，密碼學，組合設計等方面有廣泛的應用.因此，尋找新的置換多項式具有重要的理論和現(xiàn)實意義.

有限域上的置換多項式是近來的一個研究熱點.到目前人們在這方面已取得很多好的成果[1-9]，而且構(gòu)造項數(shù)較少的置換多項式引起了人們的極大興趣.例如，Masuda M等[1]找到了有限域上的一類兩項的置換多項式. Ding等[2]，Yuan等[3]分別在奇特征域上找到了幾類三項與四項的置換多項式. Tu 等[4]構(gòu)造了一類三項的完全置換多項式.通過研究交換Dickson多項式，Hou等[6-7]發(fā)現(xiàn)了幾類二項置換多項式. Dobbertin在證明APN冪函數(shù)過程中利用了一類置換三項式，進而給出了一種研究一致表示置換多項式的方法[8]. Bracken等[9]將一類二項的APN函數(shù)改造成置換多項式，并以此猜想文獻［10］中的第八類函數(shù)是置換多項式而且差分均勻度較低. Qu等[11]證明了這類函數(shù)僅在k=2，s≡4(mod6)或v=w=0時是置換多項式，當k>2時，給出了非置換多項式的例子．通過改變文獻［10］中公開問題的一些條件，我們給出有限域GF(23k)上的一類四項的置換多項式．

定理設u是域GF(23k)的本原元，v,w∈GF(2k)且vw=1，其中s，k是正整數(shù)，3|(k+s)，gcd(3,k)=1，則

是域GF(23k)上的置換多項式.

下文中給出一些預備知識并證明此定理.

1　預備知識

這一節(jié)給出與本文中相關的一些概念和必要的準備知識.

從有限域GF(pn)到子域GF(pk)（其中k|n）的跡函數(shù)可表示為Trkn(α)=，如果k=1，那么稱為α的絕對跡函數(shù)，簡記為Tr(α) .

引理1.1[12]函數(shù)f(x)是有限域GF(pn)上的置換多項式的充要條件是?x∈GF(pn)，f(x)=a在GF(pn)

中僅有一個解，或者對任意的a∈GF*(pn)，f(x+a)-f(x)=0在GF(pn)中無解.

引理1.2[13]設s，k是正整數(shù)，則有如下的結(jié)論成立：

（i）如果3?k，u∈GF*(2k)，那么u是域GF(2k)中的7次方元；

（ii）如果u是域GF(23k)的本原元，那么u是域GF(23k)中的非7次方元；

（iii）如果3?k，u是域GF(23k)的本原元，那么u2k-1是域GF(23k)中的非7次方元；

（iv）如果3|s，u∈GF*(23k)，那么u2s-1是域GF(23k)中的7次方元.

2　主要結(jié)果的證明

本節(jié)證明f(x)為置換多項式并給出兩個例子.

定理的證明欲證f(x)是置換多項式，根據(jù)引理1.1只要證明對?a∈GF*(23k)，方程f(x+a)+f(x)=0在GF(23k)中無解.由此考慮

將上面方程合并整理，得

為了方便，令α=a+wu2ka2k+s，β=va+u2ka2k+s，則方程可化為

在方程兩邊同乘以α2kβ2k，有

在方程（1）中，利用βx代替x，同時兩邊2k次方，得

再在方程（1）中，用u-2-sα2-k-sx2-s替換x，得

在此我們說明α,β≠0 .假設α=0，則有a+wu2ka2k+s=0，即wa2k+s-1=u-2k，根據(jù)引理1.2，等式左邊是7次方元，而右邊是非7次方元．因此α≠0．同理，可證β≠0．

現(xiàn)在給方程（2）除以β2-k并加到方程（3）除以α2k，有

進一步，令ξ=α2-kβ2k+1+α2-k+1β2k，η=α2-k(aβ2k+u2ka2s+kα2k)+β2k(a2-kβ+ua2sα)，得

接下來，我們證明當vw=1時，ξ,η∈GF(2k)且η≠0 .因為

很容易得出ξ2k=ξ，即ξ∈GF(2k) .類似的做法，可證η∈GF(2k) .

因為vw=1，則wβ=vwa+wu2ka2k+s=a+wu2ka2k+s，因此α=wβ.假設η=0，則

于是

即

因為w∈GF(2k)且由引理1.2，則等式左邊w顯然是7次方元，但右邊是非7次方元，所以η≠0 . 設Trk3k(?)是從域GF(23k)到子域GF(2k)的跡函數(shù)，在方程（4）兩邊作用跡函數(shù)Trk3k(?)，得到

因為η≠0，且Tr3kk(1)=1，因此左邊不為零，矛盾.所以，原方程沒有解．

下面給出利用數(shù)學軟件MAGMA在小域上搜索出的實例．

例2.1設k=4，u是域GF(212)的本原元，取s=5，v=u1 911，w=u2 184，則

是GF(212)上的置換多項式．

例2.2設k=5，u是域GF(215)的本原元，取s=4，v=u2 134，w=u30 943，則

是GF(215)上的置換多項式．

3　參考文獻

［1］Masuda A M，Zieve M E. Permutation binomials over finite fields［J］. Transactions of the American Mathematical Soc，2009，361（8）: 4169-4180.

［2］Ding C S，Xiang Q，Yuan J，et al. Explicit classes of permutation polynomials of GF(33m)［J］. Science in China Series A，2009，53（4）: 639-647.

［3］Yuan P Z. More explicit classes of permutation polynomials of GF(33m)［J］. Finite Fields Appl，2010，16: 88-95.

［4］Tu Z R，Zeng X Y，Hu L. Several classes of complete permutation polynomials［J］. Finite Fields Appl，2014，25: 182-193.

［5］Tu Z R，Zeng X Y，Jiang Y P. Two classes of permutation polynomials having the form (x2m+x+δ)s+x［J］. Finite Fields Appl，2015，31: 12-24.

［6］Hou X D. A class of permutation binomials over finite fields［J］. Journal of Number Theory，2013，133（10）: 3549-3558.

［7］Hou X D，Lappano Stephen D. Determination of a type of permutation binomials over finite fields［J］. Journal of Number Theory，2015，147:14-23.

［8］Dobbertin H. Uniformly representable permutation polynomials［J］.In the Proceedings of "Sequences and their applications-SETA’01"，2002，London：Springer Verlag，2002：1-22.

［9］Brcaken C，Tan C H，Tan Y. Binomial differentially 4-uniform permutations with high nonlinearity［J］. Finite Fields Appl，2012，18（3）: 537-546.

［10］Brcaken C，Byrne E，Markin N，et al. A few more quadratic APN functions［J］. Cryptography and Communications，2011，3 （1）: 43-53.

［11］Qu L J，Xiong H，Li C. A negative answer to Bracken-Tan-Tan's problem on differentially 4-uniform permutations over GF(2n)［J］. Finite Fields Appl，2013，24: 55-65.

［12］Lidl R，Niederreiter H. Finite Fields［M］. Cambridge: Cambridge University Press，1983.

［13］Brcaken C，Byrne E，Markin N，et al. New families of quadratic almost perfect nonlinear trinomials and multinomials［J］. Finite Fields Appl，2008，14（3）: 703-714.

（責任編輯趙燕）

A class permutation polynomials over finite fields of characteristic 2

WANG Yanping1，2，ZHENG Dabin1
（1. School of Mathematics and Statistics，Hubei University，Wuhan 430062，China；2. Department of Fundamental Courses，Xi’an Fanyi University，Xi’an 710105，China）

Abstract：We proved a class of polynomials over finite fields of characteristic 2 were permutation polynomials，and gave some examples.

Keywords：finite field；characteristic 2；permutation polynomial

作者簡介：王彥平（1987-），男，碩士生，助教；鄭大彬，通信作者，博士，副教授，E-mail：dzheng@hubu.edu.cn

基金項目：湖北省自然科學基金（2014CFB537）和湖北大學研究生教育教學改革項目（070-150034）資助

收稿日期：2015-01-13

文章編號：1000-2375（2015）06-0577-04

中圖分類號：O157.4

文獻標志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2015.06.012