胡衛(wèi)東，曹文貴

(1．湖南大學(xué) 巖土工程研究所，湖南 長(zhǎng)沙 410082；2. 湖南理工學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院，湖南 岳陽(yáng) 414006 )

基于Meyerhof理論的臨坡地基極限承載力簡(jiǎn)化分析方法

胡衛(wèi)東1，2?，曹文貴1

(1．湖南大學(xué) 巖土工程研究所，湖南 長(zhǎng)沙 410082；2. 湖南理工學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院，湖南 岳陽(yáng) 414006 )

針對(duì)現(xiàn)有臨坡地基承載力研究方法中采用豎向均布作用力代替基礎(chǔ)埋深影響而不能充分考慮埋深內(nèi)土體抗剪強(qiáng)度貢獻(xiàn)的問(wèn)題，引入Meyerhof理論．首先，基于臨坡條形基礎(chǔ)地基的工程特點(diǎn)，通過(guò)研究其破壞機(jī)理，構(gòu)建出考慮臨坡條形基礎(chǔ)埋深內(nèi)土體抗剪強(qiáng)度作用的單側(cè)滑移破壞模式.然后，在此破壞模式研究基礎(chǔ)上，基于Meyerhof理論求解基礎(chǔ)埋深內(nèi)土體抗剪強(qiáng)度影響作用的思路，通過(guò)引入剛體極限平衡分析方法，導(dǎo)出了能夠反映臨坡條形基礎(chǔ)埋深內(nèi)土體抗剪強(qiáng)度作用、基礎(chǔ)距坡頂距離、基礎(chǔ)兩側(cè)埋置深度不同以及基礎(chǔ)兩側(cè)側(cè)壁與土體摩擦作用影響的臨坡條形基礎(chǔ)地基極限承載力簡(jiǎn)化計(jì)算公式，較已有研究成果計(jì)算方法更簡(jiǎn)便，更具工程適用性.最后，通過(guò)工程實(shí)例計(jì)算分析并與現(xiàn)有研究分析方法對(duì)比分析，表明了本研究方法的可行性與合理性.

臨坡地基；條形基礎(chǔ)；承載力；Meyerhof理論；簡(jiǎn)化分析方法

臨坡地基承載力研究分析是臨坡地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)，但現(xiàn)有各種分析方法計(jì)算臨坡地基極限承載力的最終結(jié)果相差很大，即便在相同理論框架下，其結(jié)果也有著明顯不同，并且，能夠直接應(yīng)用于實(shí)際工程的簡(jiǎn)化計(jì)算方法還很少.于是，隨著臨坡地基日益廣泛地出現(xiàn)在各類(lèi)巖土工程結(jié)構(gòu)中，尋找一種簡(jiǎn)單實(shí)用而又符合工程精度要求的臨坡地基極限承載力計(jì)算方法有著非常重要的意義.

目前，臨坡地基極限承載力研究分析大致可以分為兩類(lèi)，一類(lèi)是從平地地基出發(fā)進(jìn)行研究分析，如Terzaghi[1]，Meyerhof[2]，Hansen[3]，Vesic[4]和Bowles[5]等建立了各自的地基承載力公式，在應(yīng)用到臨坡或斜坡地基承載力計(jì)算時(shí)，等效為平地地基情況加以處理，采用地面傾斜系數(shù)或基底傾斜系數(shù)予以修正和折減，雖然力學(xué)原理清晰，分析方法簡(jiǎn)便且能夠用于實(shí)際工程，但由于沒(méi)有充分考慮邊坡存在破壞機(jī)理的不同對(duì)臨坡地基極限承載力的減損影響，其應(yīng)用結(jié)果往往缺乏安全可靠性.另一類(lèi)方法是直接從臨坡地基入手，應(yīng)用剛體極限平衡法[6]、極限分析法[7]、滑移線(xiàn)法[8]和數(shù)值分析法[9]等各種方法進(jìn)行分析研究.Swami等[6]利用剛體極限平衡法和上限極限分析法對(duì)臨坡條形基礎(chǔ)地基極限承載力問(wèn)題進(jìn)行了深入研究；Graham等[10]基于滑移線(xiàn)場(chǎng)理論提出了一種新的臨坡無(wú)粘性土地基極限承載力計(jì)算方法；Gemperline[11]在離心機(jī)模型實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果基礎(chǔ)上提出了淺基礎(chǔ)置于坡頂?shù)臒o(wú)粘性土地基極限承載力公式；王曉謀等[9]、尉學(xué)勇等[12]、王紅雨等[13]、酆慶增等[14]基于極限平衡理論和數(shù)值模擬分析，通過(guò)研究臨坡地基滑裂面形狀建立了臨坡地基極限承載力公式.總的來(lái)說(shuō)，這類(lèi)方法直接以臨坡地基為對(duì)象，結(jié)合了具體的地形條件和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行深入分析，通常充分考慮了邊坡的影響作用，并且建立的破壞模式和破壞機(jī)構(gòu)能反映出臨坡地基特殊的破壞機(jī)理，為臨坡地基承載力確定方法研究提供了一條可行的研究途徑.但是，關(guān)于基礎(chǔ)埋深對(duì)地基承載力的影響，這類(lèi)方法基本上都采用均布超載作用來(lái)代替，并沒(méi)有考慮基礎(chǔ)埋深內(nèi)土體的抗剪強(qiáng)度對(duì)地基承載力的影響，因此，沒(méi)有充分發(fā)揮出埋深內(nèi)土體強(qiáng)度的貢獻(xiàn)，計(jì)算結(jié)果偏于保守.再者，由于問(wèn)題的復(fù)雜性，這類(lèi)方法在臨坡地基極限承載力分析時(shí)大多應(yīng)用了數(shù)值計(jì)算或優(yōu)化方法，研究成果集中于數(shù)值解[15-17]，計(jì)算過(guò)程太繁瑣，使得它們?cè)趯?shí)際工程應(yīng)用中受到很大的限制.

綜上所述，現(xiàn)有關(guān)于臨坡地基極限承載力研究分析的兩類(lèi)方法均存在一定的問(wèn)題和局限性，但是，直接從臨坡地基入手的研究分析方法由于能反映臨坡地基破壞機(jī)理和破壞模式的特點(diǎn)，已經(jīng)成為臨坡地基極限承載力分析普遍使用的方法，如何合理確定基礎(chǔ)埋深內(nèi)土體抗剪強(qiáng)度對(duì)臨坡地基極限承載力的影響作用，并實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化計(jì)算，就成為本文研究的核心內(nèi)容.

Meyerhof[2]在他的平地地基極限承載力理論中，提出了考慮地基土塑性平衡區(qū)隨著基礎(chǔ)埋置深度的不同而擴(kuò)展到最大可能的程度并計(jì)入基礎(chǔ)兩側(cè)土體抗剪強(qiáng)度對(duì)承載力影響的地基極限承載力計(jì)算方法，用“等代自由面”上的應(yīng)力代替基礎(chǔ)側(cè)面合力及埋深內(nèi)土重力作用，其思想對(duì)于確定臨坡條形基礎(chǔ)埋深內(nèi)土體抗剪強(qiáng)度對(duì)地基極限承載力的貢獻(xiàn)有著重要的借鑒作用，因此，本文研究也將沿用其研究思路.

為此，本文從臨坡條形基礎(chǔ)地基破壞機(jī)理研究入手，基于Meyerhof求解基礎(chǔ)埋深內(nèi)土體抗剪強(qiáng)度對(duì)地基極限承載力影響作用的思想，考慮基礎(chǔ)兩側(cè)埋置深度不同和基礎(chǔ)距坡頂距離及基礎(chǔ)側(cè)壁與土體摩擦作用對(duì)臨坡地基承載力的影響,引進(jìn)剛體極限平衡分析理論,通過(guò)構(gòu)造臨坡地基在極限狀態(tài)下的臨界滑裂破壞面,按靜力平衡條件計(jì)算出最危險(xiǎn)滑動(dòng)情況下的極限荷載,從而建立新的臨坡條形基礎(chǔ)地基極限承載力簡(jiǎn)化計(jì)算公式,以期完善臨坡地基承載力分析理論與方法.

1 臨坡條形基礎(chǔ)地基破壞模式

根據(jù)前面所述，臨坡條形基礎(chǔ)地基破壞機(jī)構(gòu)的幾何模型必須能夠充分體現(xiàn)條形基礎(chǔ)和邊坡工程條件，反映臨坡條形基礎(chǔ)地基破壞變形特征，這也正是臨坡條形基礎(chǔ)地基承載力分析和研究的關(guān)鍵.目前，關(guān)于臨坡地基破壞模式廣泛采用的是單側(cè)滑動(dòng)破壞模式[13-16]，本文仍沿用單側(cè)滑動(dòng)破壞模式來(lái)建立臨坡條形基礎(chǔ)均質(zhì)地基在中心均布荷載作用下的破壞機(jī)構(gòu)和幾何模型，如圖1所示，首先做出如下假定，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行進(jìn)一步研究.

圖1 臨坡條形基礎(chǔ)地基破壞機(jī)構(gòu)

1)條形基礎(chǔ)基底極限壓力即條形基礎(chǔ)地基極限承載力Qu為均勻分布.

2)邊坡頂面水平，條形基礎(chǔ)與邊坡坡頂線(xiàn)平行，基礎(chǔ)外側(cè)邊緣與坡頂線(xiàn)距離為L(zhǎng)，可用條形基礎(chǔ)寬度的函數(shù)來(lái)表示，即

L=ab．

(1)

式中：b為條形基礎(chǔ)基底寬度；a為系數(shù),表示基礎(chǔ)外側(cè)邊緣距坡頂距離與基礎(chǔ)寬度之比.因此,臨坡條形基礎(chǔ)地基承載力確定問(wèn)題可采用平面問(wèn)題分析方法來(lái)研究.

3)邊坡表面為直線(xiàn)，并且有足夠的延伸長(zhǎng)度，且邊坡傾角為η.

4)考慮到條形基礎(chǔ)位于邊坡之上且埋深較大，基礎(chǔ)內(nèi)外側(cè)埋置深度可能不同，設(shè)基礎(chǔ)內(nèi)外側(cè)埋置深度分別為Df 2和Df，則基礎(chǔ)內(nèi)外側(cè)埋深比ρ可表示為：

ρ=Df 2/Df.

(2)

上述假定即為本文臨坡條形基礎(chǔ)地基承載力研究的幾何分析模型，考慮到臨坡條形基礎(chǔ)地基的單側(cè)滑動(dòng)破壞模式，經(jīng)過(guò)深入研究確定出由4個(gè)滑塊組成的臨坡條形基礎(chǔ)地基的破壞模式[18-19]，具體分析如下：

1)滑塊Ⅰ：基底下三角形土楔體形成滑塊Ⅰ(即ABC)，假設(shè)基底完全粗糙，沿AB面不發(fā)生剪切位移，該部分土體為對(duì)稱(chēng)的彈性壓密區(qū)，基底面AB與滑動(dòng)面AC面和BC面夾角為φ(φ為地基土內(nèi)摩擦角).

2)滑塊Ⅱ：滑塊Ⅱ(即BCD)為塑性剪切過(guò)渡區(qū)，由于斜坡的存在，臨近斜坡面一側(cè)的塑性過(guò)渡區(qū)相比同樣水平地基的塑性區(qū)域小，其臨界滑裂面CD由對(duì)數(shù)螺線(xiàn)組成，以B點(diǎn)為中心，對(duì)數(shù)螺線(xiàn)區(qū)頂角θ1設(shè)定為不確定角.

3)滑塊Ⅲ：BDE形成被動(dòng)區(qū)滑塊Ⅲ.Meyerhof在其地基承載力理論中提出，應(yīng)該考慮地基土的塑性平衡區(qū)隨著基礎(chǔ)埋深的增大擴(kuò)展到最大可能的程度，由于臨近斜坡，臨坡地基發(fā)生滑動(dòng)剪切破壞時(shí)，其滑動(dòng)面的終點(diǎn)不可能延伸至地面交點(diǎn)，而是充分延伸終止于斜坡表面，因此，滑塊Ⅲ中的滑動(dòng)面DE與斜坡面GE相交于E點(diǎn).

考慮到各滑塊之間的擠壓運(yùn)動(dòng)為剛體運(yùn)動(dòng)，必然具備連續(xù)性的特點(diǎn)，滑塊Ⅲ土體將在滑塊Ⅱ的擠壓下沿著對(duì)數(shù)螺線(xiàn)CD的切線(xiàn)方向產(chǎn)生滑動(dòng)，形成連續(xù)滑動(dòng)面，因此BD面與滑動(dòng)面DE面夾角的大小為π/2+φ.于是，設(shè)定BE面與水平面的夾角為β，這樣，滑塊Ⅲ中的其他兩個(gè)夾角，即BD與BE的夾角及DE與BE的夾角可分別設(shè)定為μ和ξ，其大小均可由相關(guān)幾何參量求得.

4)滑塊Ⅳ：滑塊Ⅳ(即BEFGH)為松動(dòng)區(qū)，該滑塊大部分土體位于基礎(chǔ)埋置深度范圍內(nèi)，因此，必須充分考慮覆土抗剪強(qiáng)度對(duì)地基極限承載力的影響.

2 臨坡地基極限承載力的簡(jiǎn)化求解方法

前面已經(jīng)構(gòu)建了由彈性區(qū)滑塊Ⅰ、過(guò)渡區(qū)滑塊Ⅱ、被動(dòng)區(qū)滑塊Ⅲ和松動(dòng)區(qū)滑塊Ⅳ組成的臨坡條形基礎(chǔ)地基四滑塊破壞模式，于是，基于Meyerhof求解處理基礎(chǔ)埋深內(nèi)土體抗剪強(qiáng)度影響作用的思路,只要通過(guò)分析在極限平衡狀態(tài)下各滑塊及相鄰滑塊之間的靜力平衡關(guān)系和推力傳遞關(guān)系[20-22],分別計(jì)算由粘聚力與埋深引起的地基極限承載力和由土重引起的地基極限承載力,然后再進(jìn)行疊加便可得到總的臨坡條形基礎(chǔ)地基極限承載力簡(jiǎn)化計(jì)算公式.為此,先作如下基本假定：

1)地基發(fā)生剪切破壞形成連續(xù)滑動(dòng)面，在滑動(dòng)區(qū)域內(nèi)土體為理想剛塑性體；

2)滑動(dòng)區(qū)域內(nèi)土體在達(dá)到塑性極限平衡狀態(tài)時(shí)服從Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則.

2.1 Meyerhof理論中的“等代自由面”

Meyerhof在其地基極限承載力理論中指出，求解基礎(chǔ)埋深內(nèi)土體抗剪強(qiáng)度對(duì)地基極限承載力的貢獻(xiàn)時(shí)可以采用“等代自由面”上應(yīng)力計(jì)算處理基礎(chǔ)埋深的影響作用.為了簡(jiǎn)化分析，對(duì)于臨坡條形基礎(chǔ)地基，取滑塊Ⅳ(即BEFGH)為隔離體進(jìn)行受力分析，如圖2所示，在基礎(chǔ)側(cè)面BH上作用有法向應(yīng)力σa和切向剪應(yīng)力τa，假設(shè)應(yīng)力σa和τa為均勻分布；W4為滑塊Ⅳ所受自重力；“等代自由面”BE面上作用有法向分布應(yīng)力σ0和切向分布剪應(yīng)力τ0，并假設(shè)應(yīng)力σ0和τ0為均勻分布；于是，根據(jù)Meyerhof理論，BH面上的法向應(yīng)力σa和切向剪應(yīng)力τa的合力及滑塊Ⅳ的土重W4，可由滑動(dòng)平面BE上的等代應(yīng)力σ0和τ0來(lái)代替，這樣，就可以將滑塊體BEFGH移去，用“等代自由面”BE面來(lái)代替.

圖2 滑塊Ⅳ受力分析圖

條形基礎(chǔ)側(cè)面上的法向應(yīng)力σa可按照靜止土壓力分布計(jì)算，假定基礎(chǔ)側(cè)壁與土體之間外摩擦角為δ，則作用在基礎(chǔ)側(cè)面上的平均法向應(yīng)力σa和切向剪應(yīng)力τa可分別表示為：

(3)

(4)

式中：K0為土的靜止土壓力系數(shù)；γ為土體重度；Df為基礎(chǔ)外側(cè)埋深.

前面已設(shè)定滑動(dòng)BE面與水平面的夾角為β，β可看作是與基礎(chǔ)埋深有關(guān)的參數(shù).于是，根據(jù)BE面在法線(xiàn)方向和切線(xiàn)方向上的靜力平衡條件可分別得到：

(5)

(6)

其中W4為滑塊Ⅳ自重力，其大小可表示為：

W4=γS4.

(7)

其中S4為滑塊Ⅳ的面積，大小表示為：

(8)

(9)

綜合式(5)和式(6)，可得“等代自由面”上的法向分布應(yīng)力σ0和切向分布剪應(yīng)力τ0，其大小分別表示為：

σ0=

(10)

τ0=

(11)

由于BD滑動(dòng)面上土體處于塑性極限平衡狀態(tài)，BD面上作用有法向分布應(yīng)力σb和切向分布應(yīng)力τb，假設(shè)法向應(yīng)力σb和切向剪應(yīng)力τb為均勻分布，即對(duì)應(yīng)摩爾應(yīng)力圓中e點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)力；BE面上的分布應(yīng)力σ0和τ0則對(duì)應(yīng)摩爾應(yīng)力圓中f點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)力；應(yīng)力圓中的de線(xiàn)與df線(xiàn)形成的夾角∠edf為BD面與BE面夾角μ的2倍，即∠edf=2μ，如圖3所示.

圖3 極限平衡狀態(tài)下的摩爾應(yīng)力圓

分析計(jì)算時(shí)，可預(yù)先假定β為已知，首先由式(10)和(11)計(jì)算出“等代自由面”上的σ0和τ0，σ0和τ0實(shí)際為β的函數(shù)；再由摩爾應(yīng)力圓幾何圖形關(guān)系便可求得BD面與BE面的夾角μ；然后，根據(jù)三角形BDE中正弦定律有：

(12)

R=R0eθtan φ.

(13)

(14)

將式(9)和(14)代入式(12)，可得

(15)

經(jīng)化簡(jiǎn)整理后，即得

(16)

式中：θ1為對(duì)數(shù)螺線(xiàn)的中心角，由幾何關(guān)系

θ1=π-φ-β-μ.

(17)

式(16)表示了β與μ，φ，η，Df和b之間的關(guān)系，根據(jù)前面求出的μ值代入式(17)即可求出θ1值，再代入式(16)可反算和驗(yàn)證β，經(jīng)過(guò)多次迭代直至二者相符為止.

2.2 由黏聚力與埋深所引起的極限承載力

首先，只考慮黏聚力c與埋深Df影響，假定地基土為無(wú)重量介質(zhì)，即γ=0，以滑塊Ⅱ(即BCD)為隔離體進(jìn)行分析，如圖4所示.在滑塊Ⅱ中，BD滑動(dòng)面上作用法向分布應(yīng)力σb和切向分布應(yīng)力τb，假設(shè)分布應(yīng)力為均勻分布，則σb的合力作用線(xiàn)通過(guò)射線(xiàn)BD中點(diǎn)處；BC面上作用有法向分布應(yīng)力σc和切向分布應(yīng)力τc，假設(shè)分布應(yīng)力為均勻分布，則σc的合力作用線(xiàn)通過(guò)BC射線(xiàn)中點(diǎn)處；滑動(dòng)面CD面上由粘聚力c產(chǎn)生在單位長(zhǎng)度dS上的阻力為cdS，它可以分解為徑向分力和與徑向相垂直的分力，前者的作用線(xiàn)通過(guò)對(duì)數(shù)螺線(xiàn)中心點(diǎn)B，對(duì)中心點(diǎn)B點(diǎn)的力矩為0.

圖4 黏聚力與埋深作用下的滑塊Ⅱ受力分析圖

根據(jù)B點(diǎn)應(yīng)力的極限平衡條件和摩爾圓中的幾何關(guān)系，可得

(18)

于是有：

5、工程建設(shè)監(jiān)測(cè)。通過(guò)影像對(duì)比可以看到，涔天河水庫(kù)擴(kuò)建工程在原先大壩下游180 m處修建新的大壩，新大壩的建筑規(guī)模比原先的更為龐大和壯觀(guān)。在涔天河水庫(kù)大壩修建處，共監(jiān)測(cè)推填土240.74畝，主要為大壩修建產(chǎn)生的棄土、以及道路建設(shè)旁的推填土。由于大壩工程建設(shè)現(xiàn)在還未完全竣工，因此本監(jiān)測(cè)點(diǎn)僅對(duì)影像上可識(shí)別出的推填土類(lèi)型進(jìn)行提取，待工程完全建設(shè)好后可對(duì)植被恢復(fù)情況進(jìn)行具體的跟蹤監(jiān)測(cè)。

(19)

從摩爾圓中亦可得：

(20)

將式(18)代入式(20)，即得

(21)

再將τb=c+σbtanφ代上(21)式并經(jīng)整理，得

(22)

σb亦可表示為：

(23)

然后，利用B點(diǎn)的力矩平衡條件，對(duì)B點(diǎn)取矩可得：

(24)

(25)

將式(22)，(14)及(25)代入式(24)，可得

σc=[(c+σbtanφ)e2θ1tan φ-c]cotφ；

(26)

τc=c+σctanφ=(c+σbtanφ)e2θ1tan φ.

(27)

最后，以滑塊Ⅰ(即ABC)為對(duì)象進(jìn)行靜力平衡分析，如圖5(a)所示，由滑塊Ⅰ在垂直方向的靜力平衡條件可得到：

(28)

經(jīng)化簡(jiǎn)可得臨坡條形基礎(chǔ)地基極限壓力值q1，其大小表示為：

q1=σc+τctanφ.

(29)

將式(26)及(27)代入式(29)，可得

q1=[(c+σbtanφ)e2θ1tan φ-c]cotφ+

(c+σbtanφ)e2θ1tan φtanφ．

(30)

再將式(22)代入式(30)，可得由黏聚力c與埋深Df引起的極限承載力q1：

(31)

圖5 滑塊Ⅰ受力分析圖

將式(31)改寫(xiě)成Terzaghi公式的形式，即

q1=cNc+σ0Nq=c(Nq-1)cotφ+σ0Nq．

(32)

式中:Nc,Nq為地基承載力系數(shù)．其大小分別為：

(33)

(34)

2.3 由土重所引起的極限承載力

只考慮土重力作用影響，假定土的黏聚力和埋深影響作用等于0，即c=0，σ0=τ0=0，現(xiàn)將滑塊Ⅲ(即BDE)作為考察對(duì)象進(jìn)行分析，如圖6所示.滑塊Ⅲ中滑動(dòng)面DE面上受到地基土的被動(dòng)土壓力Ep1，按照庫(kù)倫土壓力理論，其方向與作用點(diǎn)法線(xiàn)方向成φ角；Ep2為作用在滑動(dòng)面BD面上的被動(dòng)土壓力，其方向與作用點(diǎn)法線(xiàn)方向成φ角；土體自重力W3垂直向下，位于滑塊體Ⅲ重心處.于是，根據(jù)滑塊Ⅲ的靜力平衡條件，可得

(35)

式中:W3為滑塊Ⅲ自重力．其大小可表示為：

W3=γS3.

(36)

其中S3為滑塊Ⅲ的面積，其大小表示為：

(37)

圖6 滑塊Ⅲ受力分析圖

ε表示BD滑動(dòng)面與垂直線(xiàn)的夾角，大小為:

(38)

以滑塊Ⅱ(即BCD)為對(duì)象進(jìn)行研究，如圖7所示，BC面上作用被動(dòng)土壓力Ep3，其方向與作用點(diǎn)法線(xiàn)方向成φ角，作用點(diǎn)位于BC面的下三分之一處；土體自重力W2垂直向下，位于滑塊體Ⅱ的重心處，λ1為W2作用線(xiàn)距B點(diǎn)的水平距離；CD滑動(dòng)面上作用反力F，F(xiàn)方向與作用點(diǎn)法線(xiàn)成φ角，F(xiàn)作用線(xiàn)剛好通過(guò)中心點(diǎn)B，因此F對(duì)B點(diǎn)的力距為0.利用滑塊Ⅱ處于極限平衡狀態(tài)B點(diǎn)的力矩平衡條件，各力對(duì)B點(diǎn)取矩可得:

(39)

將式(39)整理后，即得

(40)

式中:W2為滑塊Ⅱ自重力．其大小可表示為：

W2=γS2.

(41)

圖7 土重力作用下的滑塊Ⅱ受力分析圖

其中S2為滑塊Ⅱ扇形BCD的面積，其大小表示為：

(42)

最后，根據(jù)滑塊Ⅰ在垂直方向的靜力平衡條件，如圖5(b)所示，可得到:

(43)

將式(43)化簡(jiǎn)整理，可得臨坡條形基礎(chǔ)地基極限壓力值q2，其大小為：

(44)

將式(35)和(40)代入式(44)，可得由土自重引起的極限承載力q2為：

(45)

將式(45)改寫(xiě)成Terzaghi公式的形式，即

(46)

式中：Nγ為地基承載力系數(shù)．其大小為：

(47)

2.4 總極限承載力的計(jì)算

將前面兩種情況計(jì)算所得臨坡條形基礎(chǔ)地基極限承載力q1和q2進(jìn)行疊加，并計(jì)入埋深內(nèi)基礎(chǔ)側(cè)壁與地基土之間的摩擦剪應(yīng)力f1和f2，如圖8所示，可得總的極限承載力Qu為：

(48)

式中：f1=-f2=τa，基礎(chǔ)兩側(cè)的摩擦剪應(yīng)力f1與f2大小相等而方向相反，因此

(49)

圖8 總極限承載力計(jì)算分析圖

3 實(shí)例計(jì)算與分析

為了說(shuō)明本文方法的合理性與可行性，根據(jù)上述建立的臨坡條形基礎(chǔ)地基極限承載力簡(jiǎn)化求解方法，結(jié)合具體工程實(shí)例問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算，并與已有研究方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析與討論.

3.1 工程概況

采用文獻(xiàn)[14]中的工程算例進(jìn)行計(jì)算分析，某臨坡條形基礎(chǔ)地基，基礎(chǔ)寬度b=2 m，基礎(chǔ)內(nèi)外側(cè)埋深Df 2=Df=1 m，深寬比Df/b=0.5，地基為均質(zhì)粘性土層，地基土體重度γ=18 kN/m3，土體黏聚力與內(nèi)摩擦角分別為c=10 kPa和φ=30°，土的靜止土壓力系數(shù)K0=0.45，條形基礎(chǔ)邊緣距坡頂距離L=2 m，坡頂距與基礎(chǔ)寬度比a=1，邊坡坡角η為30°，基礎(chǔ)與周?chē)鼗翆又g的外摩擦角δ=25°.

3.2 計(jì)算分析與結(jié)果

采用本文上述臨坡地基極限承載力簡(jiǎn)化方法計(jì)算該工程臨坡條形基礎(chǔ)地基極限承載力，具體過(guò)程如下：

1)由式(3)和式(4)計(jì)算作用在基礎(chǔ)側(cè)面的平均法向應(yīng)力σa和切向剪應(yīng)力τa，其值分別為σa=4.050 kPa，τa=1.889 kPa.

2)任意假定β=12°，利用式(10)和式(11)計(jì)算“等代自由面”上作用的法向應(yīng)力σ0和切向剪應(yīng)力τ0，其值分別為σ0=14.742 kPa，τ0=3.819 kPa；再由摩爾圓幾何關(guān)系計(jì)算夾角μ，其值為μ=26.6°.

3)根據(jù)μ值求出θ1值，θ1=111.4°，再代入式(16)可反算β，β=10.5°，重復(fù)第2)步，將所得β值代入計(jì)算，經(jīng)過(guò)多次迭代直至β前后值相符為止，最終計(jì)算結(jié)果β=10.8°.

4)根據(jù)最后迭代結(jié)果所得β值，重新計(jì)算σ0，τ0，μ和θ1值，其值分別為σ0=14.652 kPa，τ0=3.519 kPa，μ=26.8°，θ1=112.4°.

5)將以上所求結(jié)果代入式(32)，可得由黏聚力c和埋深Df引起的地基極限承載力q1，其值為q1=594.81 kPa.

6)由式(44)，可求得由土體自重所引起的地基極限承載力q2，其值為q2=314.89 kPa.

7)最后可求得臨坡條形基礎(chǔ)地基總極限承載力Qu，其值為Qu=909.70 kPa.

3.3 比較與討論

同時(shí)，按照上述方法計(jì)算邊坡坡角η分別為45°，35°，25°，15°和5°時(shí)的臨坡地基極限承載力Qu，并將其與文獻(xiàn)[14]研究方法的分析結(jié)果進(jìn)行比較分析，如表1所示.

表1 計(jì)算結(jié)果比較(距離比a=1，深寬比Df/b=0.5)

根據(jù)該實(shí)例采用本文方法及文獻(xiàn)[14]方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，可得如下結(jié)論：

1)以上兩種方法都是基于臨坡條形基礎(chǔ)地基單側(cè)破壞模式采用剛體極限平衡分析方法建立起來(lái)的簡(jiǎn)化分析方法，但是，本文方法能考慮基礎(chǔ)內(nèi)外側(cè)埋置深度的不同和坡頂距及基礎(chǔ)側(cè)壁與土體間的摩擦作用，因此，本文方法具有更廣泛的適用性.

2)當(dāng)邊坡坡角較大時(shí)，本文方法計(jì)算結(jié)果較文獻(xiàn)[14] 計(jì)算方法結(jié)果大，這是由于文獻(xiàn)[14]研究方法沒(méi)有考慮基礎(chǔ)埋深內(nèi)土體抗剪強(qiáng)度對(duì)地基極限承載力的貢獻(xiàn)，說(shuō)明本文分析方法更具合理性.

3)當(dāng)坡角減小到一定程度時(shí)，地基破壞模式逐漸轉(zhuǎn)化為平地地基破壞模式，據(jù)前面取邊坡坡角η=5°計(jì)算，本文方法計(jì)算結(jié)果接近于Meyerhof平地基η=0°的解，并稍大于Terzaghi平地基η=0°的解；文獻(xiàn)[14] 方法在坡角η=5°時(shí)的計(jì)算結(jié)果，大大超過(guò)了Meyerhof和Terzaghi平地基的解.經(jīng)以上比較進(jìn)一步說(shuō)明本文建立的臨坡地基極限承載力分析方法在理論上更為合理，也更具優(yōu)越性.

4 結(jié) 論

目前臨坡地基極限承載力研究分析方法中，計(jì)算基礎(chǔ)埋深影響作用時(shí)普遍采用超載來(lái)代替，沒(méi)有充分考慮埋深內(nèi)土體抗剪強(qiáng)度對(duì)臨坡地基極限承載力的貢獻(xiàn)，而且，受臨坡地基極限承載力問(wèn)題復(fù)雜性的限制，最終分析結(jié)果集中于數(shù)值解，缺乏實(shí)用的簡(jiǎn)化計(jì)算方法.為此，本文直接從臨坡條形基礎(chǔ)地基入手，基于Meyerhof求解基礎(chǔ)埋深內(nèi)土體抗剪強(qiáng)度對(duì)地基極限承載力影響作用的思想，深入研究臨坡條形基礎(chǔ)地基極限承載力的簡(jiǎn)化確定方法，得到如下結(jié)論：

1)在本文構(gòu)建的臨坡條形基礎(chǔ)地基單側(cè)滑動(dòng)破壞模式基礎(chǔ)上，引入剛體極限平衡分析理論，建立出反映基礎(chǔ)內(nèi)外側(cè)埋置深度不同和基礎(chǔ)距坡頂距離及基礎(chǔ)側(cè)壁與土體間摩擦作用影響的臨坡條形基礎(chǔ)地基極限承載力簡(jiǎn)化分析模型，為臨坡地基極限承載力分析計(jì)算提供了新的途徑.

2)基于Meyerhof求解平地基基礎(chǔ)埋深影響作用的思想，用“等代自由面”上的應(yīng)力代替基礎(chǔ)側(cè)面合力及埋深內(nèi)土重力作用，充分考慮了基礎(chǔ)埋深內(nèi)土體抗剪強(qiáng)度對(duì)臨坡地基極限承載力的貢獻(xiàn).

3)采用本文方法進(jìn)行工程實(shí)例計(jì)算并與現(xiàn)有研究分析方法進(jìn)行對(duì)比分析表明，本文臨坡地基極限承載力簡(jiǎn)化分析新方法計(jì)算精度可以滿(mǎn)足工程設(shè)計(jì)要求，且更具合理性與適用性.

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A Simplified Analysis Method for the Ultimate Bearing Capacity of Ground Foundation near Slope Based on the Theory of Meyerhof

HU Wei-dong1, 2?，CAO Wen-gui1

(1.Geotechnical Engineering Institute, Hunan Univ, Changsha，Hunan 410082, China;2. College of Civil Engineering and Architecture,Hunan Institute of Science and Technology , Yueyang，Hunan 414006, China)

In the existing research methods for determining the ultimate bearing capacity of foundation near Slope, the vertical uniform force instead of embedded depth of foundation was adopted，which did not consider the contribution of the soil shear strength in depth enough. In view of the problems, the Meyerhof Theory was introduced. First of all, based on the engineering characteristics of strip footing, the failure mechanism of strip footing near slope was thoroughly analyzed. Meanwhile, the new unilateral sliding failure mode considering the soil shear strength in the strip footing embedded depth of foundation adjacent to slope was established for further in-depth study of the method for determining the bearing capacity of strip footing near slope. Then, on the basis of the failure mode, the ultimate bearing capacity analysis model of strip footing adjacent to slope was derived in the rigid body limit equilibrium analysis method, based on the Meyerhof theory to solve the impact of the soil shear strength in depth. The method reflects not only the soil shear strength in depth, the distance effect from the top of the slope, different embedment depth on both sides of the footing, but also the friction effect between the wall of strip footing and the soil in depth. The simplified calculation formula is simpler and engineering applicative, compared with the existing research results. Finally, the feasibility and rationality of the proposed approach were shown through an engineering example calculation and comparison with current research results.

ground foundation near slope; strip footings; bearing capacity; Meyerhof theory; simplified analysis method

1674-2974(2015)01-0081-09

2014-01-27

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51378198),National Natural Science Foundation of China(51378198)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20130161110017)；湖南省教育廳科研項(xiàng)目(11C0618)

胡衛(wèi)東(1976-)，男，湖南岳陽(yáng)人，湖南大學(xué)博士研究生，湖南理工學(xué)院副教授?通訊聯(lián)系人，E-mail:huweidong506@163.com

TU443

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