莊信武 余志勇 劉光斌 滕向如 陳 亮

（第二炮兵工程大學(xué)，陜西 西安710025）

引 言

電大尺寸特征結(jié)構(gòu)的復(fù)雜腔體內(nèi)的場(chǎng)，往往具有較強(qiáng)的邊界敏感性或不確定性，很難對(duì)下一狀態(tài)進(jìn)行有效的預(yù)測(cè)，這反映了電大尺寸結(jié)構(gòu)的不可積性質(zhì).通常將這種不可積稱為電磁混沌特性［1］.目前主要從三種方法來描述復(fù)雜腔體內(nèi)電磁波的混沌特性：1）利用粒子射線軌跡分布圖來描述場(chǎng)的混沌特性［2-3］.該方法將電磁場(chǎng)視為由無限多個(gè)、各向同性、互相獨(dú)立的粒子組成，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡特征表征了場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)特性，若射線軌跡越具有遍歷性，則腔體就越混沌.但該方法僅考慮了腔體的內(nèi)部幾何結(jié)構(gòu)對(duì)粒子射線軌跡遍歷性的影響，而忽略了腔體材料屬性的影響；2）利用歸一化最近相鄰本征模間隔分布來描述場(chǎng)的混沌特性［4］.若復(fù)雜腔體內(nèi)場(chǎng)的歸一化最近相臨本征模間隔趨近于指數(shù)分布，則為可積的；若復(fù)雜腔體內(nèi)場(chǎng)的歸一化本征模間隔接近于Wigner分布，則為混沌的.而現(xiàn)實(shí)復(fù)雜腔體的歸一化本征模間隔往往介于混沌與可積系統(tǒng)之間，此時(shí)場(chǎng)的混沌特性如何評(píng)估有待于解決；3）利用混響室內(nèi)場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)理論來描述場(chǎng)的混沌特性［5-6］.當(dāng)腔體激勵(lì)模達(dá)到過模狀態(tài)時(shí)，即混響室內(nèi)場(chǎng)滿足各向同性、均勻分布、隨機(jī)極化的要求，混響室內(nèi)場(chǎng)可視為混沌狀態(tài).

綜上，目前對(duì)電大尺寸腔體內(nèi)場(chǎng)的混沌性評(píng)估沒有給出明確指標(biāo)，更多是從場(chǎng)的幅值、幅值均方等方面展開統(tǒng)計(jì)特性研究［7-9］.因此，為了更好地評(píng)估腔體的混沌特性，并擴(kuò)展其運(yùn)用，文章將基于量子力學(xué)中的Schr?dinger方程與電磁學(xué)的Helmholtz方程的相似性原理［10］，采用量子混沌理論，定量地研究腔體內(nèi)場(chǎng)的混沌特性.

1 理論分析

量子混沌理論是模式理論研究的重要內(nèi)容，是電磁學(xué)關(guān)于場(chǎng)混沌特性研究的重要工具，主要包括模式密度、本征頻率、模式間隔分布等.

1.1 模式密度分析

模式密度分布規(guī)律與腔體的形狀、本征頻率的分布有關(guān).若本征頻率越低，則模式密度就越依賴于腔體的幾何結(jié)構(gòu)特征，特別當(dāng)本征頻率低于最低可用頻率時(shí)，這種依賴性就更明顯.Weyl為此總結(jié)了無損腔體模式密度的分布規(guī)律：若腔體內(nèi)部分段邊界是光滑的，則任意無損腔體的平均光滑累積模式密度為［11］

式中：f為本征頻率；Vλ＝V／λ3為電尺寸（λ表示本征頻率處的信號(hào)波長(zhǎng)，V為腔體體積），通常將符合Vλ?1條件的結(jié)構(gòu)稱為電大尺寸結(jié)構(gòu)；c為光在腔體媒質(zhì)中的傳播速度；κ為幾何因子，

式中：Lx、Ly、Lz分別為矩形腔體的長(zhǎng)、寬、高；C為常數(shù)（下同），此時(shí)二面角φ（r）＝π／2

2）球形腔體模數(shù)

式中：R為球形腔體半徑，此時(shí)平均曲率ρ（r）＝R，二面角φ（r）＝π.3）圓柱腔體模數(shù)

式中：r0為圓柱腔體半徑；h為高.

通過對(duì)比分析上述各形狀腔體的模式模型得到：當(dāng)本征頻率足夠高時(shí)，即Vλ?1時(shí)，等式（1）右邊的第二部分與第一部分的比將趨于零，即

該結(jié)果表明：電大尺寸特征下，腔體幾何結(jié)構(gòu)對(duì)模數(shù)的影響可忽略不計(jì).而復(fù)雜腔體內(nèi)本征頻率的統(tǒng)計(jì)分布特征卻與腔體的幾何結(jié)構(gòu)相關(guān).為此，在上述模式模型的基礎(chǔ)上，基于本征模間隔，進(jìn)一步分析腔體的混沌特性.

1.2 本征模間隔分析

若忽略本征頻率的簡(jiǎn)并作用，則在本征頻率fi處累積模數(shù)N（fi）可表示為［12］

式中，符號(hào)＃表示對(duì)所有符合集合條件枚舉的數(shù)量.現(xiàn)實(shí)中累積模數(shù)往往是不平滑的，通常將累積模數(shù)N（f）分解為平滑部分NW（fi）和浮動(dòng)部分Nf（fi）兩部分，即

針對(duì)浮動(dòng)部分對(duì)系統(tǒng)的影響，可由數(shù)值方差Δ2（L）的形式進(jìn)行分析［13］.若系統(tǒng)為可積系統(tǒng)，則包含L個(gè)本征模的數(shù)值方差為Δ2（L）＝L；若系統(tǒng)為混沌，則包含L個(gè)本征模的數(shù)值方差為

方差結(jié)果如圖1所示.從圖中可得到：在給定帶寬范圍內(nèi)，可積系統(tǒng)模數(shù)的方差與該帶寬內(nèi)模數(shù)成正比，斜率k＝1.模數(shù)提高，方差增大，系統(tǒng)模數(shù)的不確定因素增加.然而混沌系統(tǒng)剛好相反，在高頻條件下，斜率趨于0，即

在這種條件下，伴隨著模數(shù)的增加，混沌系統(tǒng)模數(shù)的方差趨于恒定值，這從另一方面反映了混沌系統(tǒng)模數(shù)的不確定性趨于穩(wěn)定值.

綜合分析，采用數(shù)值方差的方法可以較好區(qū)分可積系統(tǒng)與混沌系統(tǒng).然而，因?yàn)閿?shù)值方差方法很難描述小概率抖動(dòng)事件，故不能作為研究混沌場(chǎng)概率的預(yù)測(cè)工具.

圖1 本征模數(shù)分布

隨機(jī)矩陣?yán)碚撟鳛橐环N漸進(jìn)理論，只要獲取足夠多的狀態(tài)，即可精確地預(yù)測(cè)腔體本征模的統(tǒng)計(jì)屬性.為此，采用基于隨機(jī)矩陣?yán)碚?，以最近相鄰本征模間隔sn的統(tǒng)計(jì)分布來表征腔體系統(tǒng)的混沌特性，可得到較為精確的預(yù)測(cè)結(jié)果［14］，即

當(dāng)n足夠大時(shí)，可由隨機(jī)矩陣系綜來描述概率分布函數(shù)［15-16］為

式中，s為歸一化最近相臨本征模間隔sn的隨機(jī)變量，其中α＝Γv＋1［1＋1／（v＋1）］.

通過式（12）可得到，僅利用單參量v可得到系統(tǒng)本征模間隔的分布特征，如：

1）當(dāng)v＝0時(shí)，系統(tǒng)普適性可由泊松系綜來描述，對(duì)應(yīng)的本征模間隔分布可簡(jiǎn)化為

該分布一般用來描述可積系統(tǒng)，該分布又稱為泊松分布.

2）當(dāng)v＝1時(shí)，系統(tǒng)普適性可由高斯正交系綜來描述，對(duì)應(yīng)的本征模間隔分布可簡(jiǎn)化為

該分布一般用來描述不可積系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)的分布又稱為Wigner分布.

兩者的歸一化最近相鄰本征模數(shù)分布規(guī)律如圖1所示.由圖中可以得到：可積系統(tǒng)本征模間隔歸一化分布為指數(shù)分布，“0”間隔的本征值分布概率最大，這反映了可積系統(tǒng)的大部分本征模“簇?fù)怼币惶?，近似相等，這就說明可積系統(tǒng)內(nèi)場(chǎng)的自由度很低；而混沌系統(tǒng)的本征值間隔大部分分布在“1”附近，在兩倍間隔之后迅速下降，這反映了混沌系統(tǒng)的大部分本征模在頻率軸上是以均勻間隔展開的，從而說明了混沌系統(tǒng)內(nèi)場(chǎng)具有較高的自由度.

現(xiàn)實(shí)中腔體往往介于理想規(guī)則腔體和理想混沌之間，即v∈（0，1），隨其值增加，歸一化間隔分布如圖2所示.從圖中可以看出，分布的波峰隨著參量v的變化而變化.當(dāng)參量v越靠近0時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率分布曲線就越接近指數(shù)分布；隨著參量v增加，波峰逐漸向右移動(dòng)，其吻合度越接近于Wigner分布；當(dāng)參量v越靠近1時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率分布曲線就越接近于Wigner分布.因此，若將參量v作為腔體的混沌性考核指標(biāo)，通過分析復(fù)雜腔體內(nèi)的混沌性，可總結(jié)出一般的規(guī)律，這為混沌腔體的設(shè)計(jì)提供了一定的理論指導(dǎo).將稱v參量為混沌度.

圖2 歸一化間隔模數(shù)分布

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了研究腔體的混沌特性，將按照單規(guī)則腔體到多布爾組合體的思路，結(jié)合數(shù)值試驗(yàn)技術(shù)和最小二乘曲線擬合方法，對(duì)腔體的混沌特性展開試驗(yàn)研究.

2.1 試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)

考慮工程的可實(shí)現(xiàn)性問題，以某鋁制矩形混響腔體（7.3m×4.77m×3.25m）為主要研究對(duì)象（腔體側(cè)壁電導(dǎo)率為3.8e7s／m，相對(duì)介電常數(shù)為1，相對(duì)磁導(dǎo)率為1.000 021，腔內(nèi)媒質(zhì)為空氣），將不同尺寸的球形腔體嵌于矩形腔體的頂角處，方案如下：

1）設(shè)定球形半徑的步進(jìn)為0.1m，對(duì)不同半徑的球形腔體本征模分布特征進(jìn)行分析，得到不同半徑球形腔體的混沌度；

圖3 Sinna（左）、Stadium（右）腔體

2）將步驟1）中不同半徑的球形腔體嵌于矩形腔體的各個(gè)頂點(diǎn)處，并進(jìn)行布爾減運(yùn)算，得到Sinna腔體（如圖3（a））.依據(jù)球心放置位置的不同，劃分為4種不同的組合：①球形腔體的球心在矩形腔體的H頂角處為Sinna-1腔體；②球心在A、H頂點(diǎn)的Sinna-2腔體；③球心在A、D、F、G頂點(diǎn)的Sinna-4腔體；④球心在八個(gè)頂點(diǎn)的Sinna-8腔體；

3）依次類推，將球形腔體與矩形腔體進(jìn)行布爾和運(yùn)算，得到的腔體結(jié)構(gòu)如圖3（b），該類腔體稱為Stadium腔體，按照步驟2）的命名方法，對(duì)應(yīng)4類腔體：Stadium-1、Stadium-2、Stadium-3、Stadium-4；

4）根據(jù)矩形腔體及球形腔體結(jié)構(gòu)的相對(duì)位置不同，設(shè)定組合腔體Sinna-1、Sinna-2、Stadium-1、Stadium-2中的球半徑為0.1～3.0m，組合Sinna-4、Sinna-8、Stadium-4、Stadium-8中的球半徑為0.1～1.6m.

利用HFSS軟件中的本征模求解器，對(duì)上述各狀態(tài)下腔體的前201個(gè)本征頻率進(jìn)行求解，將所得的本征頻率帶入上述對(duì)應(yīng)的本征模數(shù)公式（1）得到各個(gè)本征頻率狀態(tài)下腔體的本征模數(shù)，并依據(jù)式（11）對(duì)201個(gè)本征模數(shù)進(jìn)行歸一化模數(shù)間隔處理得到（s1，s2，…，s200），利用Matlab軟件對(duì)歸一化本征模數(shù)間隔進(jìn)行分析，并采用最小二乘法對(duì)式（12）進(jìn)行非線性曲線擬合，得到各個(gè)狀態(tài)下混沌特性.

2.2 混沌特性分析

圖4 矩形腔體歸一化本征模累積概率分布

通過對(duì)矩形腔體、球形腔體的歸一化本征模間隔進(jìn)行試驗(yàn)分析，結(jié)果（如圖4）表明這兩類腔體的混沌特性與尺寸沒有太大的直接關(guān)系.對(duì)累積概率密度進(jìn)行最小二乘曲線擬合后得到矩形腔體的混沌度v≈0.15，這說明了該類腔體屬于低混沌度腔體，本征模數(shù)的歸一化間隔分布趨于指數(shù)分布（泊松分布），因此可利用泊松正交系綜來描述這類系統(tǒng)的普適性.同理，對(duì)不同半徑的球體進(jìn)行混沌度分析，得到混沌度隨半徑變化的分布曲線如圖5.通過分析得到：球形半徑在1.1≤r≤3.0m范圍內(nèi)，混沌度分布在0.0～0.1、0.1～0.2、0.2～0.3之間的概率分別為35%、45%、20%，由此說明球體混沌度大部分落在0.1～0.2之間，基本不隨球半徑的變化而變化，顯然這類球體亦屬于低混沌度的可積系統(tǒng).然而當(dāng)多個(gè)矩形、球形等可積系統(tǒng)組合一起，系統(tǒng)混沌特性將不僅僅是它們之間的線性疊加，而變得更加復(fù)雜，通過仿真試驗(yàn)分析得到Sinna腔體、Stadium腔體的混沌度隨著球半徑變化的分布曲線如圖6.通過對(duì)比分析得到：Sinna-1、Sinna-2腔體的球半徑在1.4m以上時(shí)，混沌度高于0.9的均占該段總數(shù)的13%.在同等條件下，Stadium-1腔體幾乎不可能實(shí)現(xiàn)，而僅以少量出現(xiàn)在0.7～0.8之間，總體上Sinna腔體比Stadium腔體更容易達(dá)到高混沌狀態(tài).

圖5 球形腔體在不同半徑下的混沌特性

圖6 Sinna／Stadium混沌度隨著球半徑變化的分布曲線

通過對(duì)比圖5、6中的混沌度曲線，總結(jié)如下：

1）球形腔體的模數(shù)混沌度以v＝0領(lǐng)域內(nèi)浮動(dòng)，且大部分集中在［-2，2］，其均值為v＝-0.04，屬于低混沌腔體，說明了球形腔體的歸一化本征模數(shù)間隔分布基本不受球形半徑影響，可用泊松系綜描述系統(tǒng)的特性；

2）總體上，Sinna腔體較之Stadium腔體有較強(qiáng)的混沌特性，其中表現(xiàn)最為明顯的是8類腔體，其次是1類和2類，最后是4類腔體；

3）在總結(jié)步驟2）的基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步得到，內(nèi)凹腔體比外凸腔體，具有更明顯的混沌特性.

3 結(jié) 論

基于量子理論對(duì)矩形、球形等常見規(guī)則腔體的混沌特性進(jìn)行分析，結(jié)果表明這些規(guī)則腔體的混沌特性不受尺寸的影響，混沌度基本較低，從而說明它們的可積性，因此可通過泊松系綜矩陣來分析本征模的分布規(guī)律.在此基礎(chǔ)上，對(duì)常規(guī)腔體及其布爾組合進(jìn)行仿真分析，結(jié)果表明相同的球形半徑下Sinna腔體較Stadium腔體具有較強(qiáng)的混沌特性，從另一方面說明了具有內(nèi)凹結(jié)構(gòu)特征的腔體比外凸的具有更高的混沌特性，這為以后復(fù)雜腔體的混沌特性研究奠定了理論基礎(chǔ)，同時(shí)也為混響室設(shè)計(jì)、試驗(yàn)提供了一定的理論指導(dǎo).

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